2023年宁夏银川市兴庆区英才学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年宁夏银川市兴庆区英才学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  有理数的相反数等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  电影长津湖讲述了参加抗美援朝战争的志愿军战士在长津湖战役中不畏严寒、保家卫国的故事，让无数影迷感动落泪．电影获得了巨大成功，并以亿元取得中国电影票房冠军．其中亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  桌上放着一个茶壶，个同学从各自的方向观察，则小明看到的图形是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的名学生参赛成绩统计如图所示，对于这名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是(    )

A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是

7.  关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

8.  如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  因式分解： ______ ．

10.  一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球，个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为______．

11.  如图，在内接四边形中，若，则 ______
 

12.  小米的爸爸为了了解她的数学成绩情况，现从中随机抽取她的三次数学考试成绩，分别是，，，则三次数学成绩的方差是______ ．

13.  函数的自变量的取值范围是______ ．

14.  如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是______．

15.  如图，，，，则______
 

16.  如图，已知点在反比例函数的图象上，作，边在轴上，点为斜边的中点，连结并延长交轴于点，若的面积为，则______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  化简求值：，其中．

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：，并写出它的正整数解．

19.  本小题分
自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：利用影长求物体高度，制作视力表，设计遮阳棚，制作中心对称图形，四类数学实践活动课规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息解决下列问题：
本次共调查______ 名学生，扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为______ 度；
补全条形统计图；
选修类数学实践活动的学生中有名女生和名男生表现出色，现从人中随机抽取人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是名女生和名男生的概率．

20.  本小题分
如图，在图中求作，使满足以线段为弦且圆心到两边的距离相等要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

21.  本小题分
每个小方格是边长为个单位长度的小正方形，菱形在平面直角坐标系的位置如图所示．
以为位似中心，在第一象限内将菱形放大为原来的倍得到菱形，请画出菱形，并直接写出点的坐标；
将菱形绕原点顺时针旋转菱形，请画出菱形，并求出点旋转到路径长．

22.  本小题分
如图，在▱中，，分别为边，的中点，连接、、．
求证：≌．
若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．

23.  本小题分
如图，点是以为直径的圆上一点，直线与过点的切线相交于，点是的中点，直线交直线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

24.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
求，两点的坐标；
将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
 

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点，，，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．
若点是反比例函数为常数，的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
函数为常数的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由．

26.  本小题分
如图，已知中，，，点由出发沿方向向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为以、为边作平行四边形，连接，交于点设运动的时间为单位：解答下列问题：
用含有的代数式表示 ______ ．
当为何值时，平行四边形为矩形．
如图，当为何值时，平行四边形为菱形．
是否存在某一时刻，使四边形的面积最小？若存在，请求出的值及最小面积；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：有理数的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于亿有位，所以可以确定．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：小明同学看到的是，
故选：．
根据小明所在位置找到所看到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，关键是注意所看位置．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故A选项不符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.，故C选项符合题意；
D.，故D选项不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，二次根式的性质以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，牢记完全平方公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式的化简是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
分两种情况：
当，时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合．
当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选B．
根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：平均数是；
故A错误；
出现了次，出现的次数最多，
众数是；
故B正确；
共有个数，
中位数是第、个数的平均数，
中位数是；
故C正确；
方差为，
故D错误．
故选：．
根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，原方程可化为，
，
方程有两个实数根，
，
解得：，
的取值范围为：．
故选：．
由方程有实数根，可得且，即可求得的取值范围．
此题考查了根的判别式．注意当时，方程有两个实数根．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理，关键是求出，属于基础题．
连接，易得，进而利用圆周角定理得出即可．
【解答】
解：连接，

，，
，，，
，
易得，
，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有种结果，
摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
用红球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
．
故答案为：．
直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据题目中的数据可以求得相应的平均数，从而可以求得相应的方差，本题得以解决．
本题考查方差，解答本题的关键是明确方差的计算方法．
 

13.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，求解即可．
【解答】
解：由题意得：，，
解得：且．
故答案为：且．  

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：需添加的一个条件是，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一．
先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行线的性质，邻补角和三角形的内角和定理根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，再由邻补角互补和三角形内角和为即可得到答案．
【解答】
解：如图，

，，
，
，
，
，
，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：为的斜边上的中线，
，，
又，
，
又，
∽，
，即．
又，
，
即．
反比例函数图象在第一象限，．
．
故答案是：．
先根据题意证明∽，根据相似比及面积公式得出的值即为的值，再由函数所在的象限确定的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义．反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】解：，
不等式的解集为：．
不等式的解集为：．
不等式组的解集为：．
不等式组的的正整数解为：，． 

【解析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生人数为名，
则扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为．
故答案为：，．
类别人数为人，则类别人数为人，
补全条形图如下：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是名女生和名男生的结果数为，
所以所抽取的两人恰好是名女生和名男生的概率为．
用类别人数除以其所占百分比可得总人数，用乘以类别人数占总人数的比例即可得；
总人数乘以类别的百分比求得其人数，用总人数减去，，的人数求得类别的人数，据此补全图形即可；
画树状图展示种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是名女生和名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】解：如图所示．

圆即为所作的圆． 

【解析】作的角平分线，作的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心到点或点的距离为半径作圆．
本题考查作图复杂作图，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质与角平分线的作法，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质和线段垂直平分线的作法，熟练掌握各性质与基本作图是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，菱形为所作，，，；

如图，菱形为所作，
，
点旋转到路径长为 

【解析】把点、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应，从而得到菱形，再计算出的长，然后根据弧长公式计算点旋转到路径长．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了菱形的性质和旋转变换．
 

22.【答案】证明：在平行四边形中，，，
、分别为、的中点，
．
在和中，
≌；

解：若，则四边形是菱形．
证明：，
是直角三角形，且．
是的中点，
．
在▱中，，分别为边，的中点，
且，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形． 

【解析】根据题中已知条件不难得出，，，、分别为边、的中点，那么，这样就具备了全等三角形判定中的，由此可得出≌．
直角三角形中，是斜边上的中线，因此，又由，那么可得出四边形是个菱形．
本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．
 

23.【答案】证明：连、，如图，
为的切线，
，
，
是直径，
，
，
是斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
是的切线；

解：由得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
即的半径为． 

【解析】连、，根据切线的性质得，根据圆周角定理由是直径得到，即，则根据直角三角形斜边上的中线性质得，于是得到，然后根据切线的判定定理得是的切线；
，于是得到，然后证∽，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理．
 

24.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
，解得，
，；
直线向下平移个单位长度，
直线解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，

点在直线上，
，
，
点的坐标是．
点在反比例函数的图象上，
，
解得负值舍去，
． 

【解析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据正比例函数与反比例函数，即可求出两交点坐标；
根据直线向下平移个单位长度，可得直线解析式为：，所以点的坐标为，过点作轴于点，根据，可得，所以，可得点的坐标是然后利用反比例函数即可解决问题．
 

25.【答案】解：点是反比例函数为常数，的图象上的“梦之点”，
，
，
，
这个反比例函数的解析式为；
存在．
理由：设“梦之点”是，把代入得，，
解得，
即当时，一次函数为常数，的图象上不存在“梦之点”；
当时，“梦之点”是 

【解析】根据“梦之点”的定义得出的值，代入反比例函数的解析式求出的值即可；
根据“梦之点”的横坐标与纵坐标相同，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，中，，，．
由勾股定理得：，
点由出发沿方向向点匀速运动，速度均为，
，
，
四边形为平行四边形，
；
故答案是：；

如图，当▱是矩形时，，
，
∽  
，即，
解之  ，
当时，▱是矩形；

当▱是菱形时，，
则 ，即 ，
解之  ，
所以当时，是菱形；

存在某一时刻，使四边形的面积最小．
如图，过点作于．
则，即，
故．
则，
，
．
即．
所以当时，．
首先利用勾股定理求得，然后表示出，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段即可；
利用矩形的性质得到∽，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得值；
利用菱形的对角线相互垂直平分解答；
过点作于则，据此列出关于的二次函数，由二次函数的最值的求法得到答案．
本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．