初中数学沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用精练

二次函数的应用

一、单选题

1．如图，小明以抛物线y=x2-2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB=4，DE=2，则杯子的高CE为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

2．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（     ）

A．18m2 B．12 m2 C．16 m2 D．22 m2

3．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（    ）

A．180m B．200m C．220m D．240m

4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（    ）．

A． B． C． D．

5．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元．

A．60 B．65 C．70 D．75

6．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）

A．米 B．8米 C．10米 D．2米

8．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　　）

A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界

C．球会过球网并会出界 D．无法确定

9．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（　　）

A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1

B．水流喷射的最远水平距离是40米

C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米

D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌

10．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （    ）

A． B．

C． D．

11．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此可以推测（　　）

A．甲车超速 B．乙车超速

C．两车都超速 D．两车都未超速

12．如图，菱形的边长是，，动点P从点A出发，以的速度沿运动至点C，动点Q从点A出发，以的速度沿运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时间为，的面积为（当B，P，Q三点共线时，不妨设），则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（    ）

A． B．

B．C．          D．

二、填空题

13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．

14．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒．

15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．

16．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___．

17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．

三、解答题

18．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．

（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．

（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．

19．一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个高为9米的柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如果抛物线的最高点M离柱形喷水装置1米，离地面12米，若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少米时，才能使喷出的水流不落在池外？

20．某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元作为定价售出．已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多．

（1）求第一次加价的增长率；

（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个．如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件．那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？

21．在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？

22．如图，是等腰直角三角形，，，点P是边上一动点，沿的路径移动，过点P作于点D，设，的面积为y．

（1）当时，求y的值；

（2）在这一变化过程中，写出y关于x的函数解析式及x的取值范围；

（3）当x取何范围时，（直接写出结果即可）．

参考答案

1．C

解：∵=（x-1）2+3，

∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），

∵AB=4，

∴BC=2，

点B的横坐标为x =3，把x =3代入得y=7，

∴CD=7-3=4，

∴CE=CE+DE=4+2=6，

故选：C.

2．A

解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，

则这个花园的面积是：S=x（12-2x）=，

∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，

故选：A．

3．B

解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：

，，，

设抛物线的解析式为，将代入，得：

，

解得：，

，

抛物线顶端的坐标为，

此抛物线顶端到连桥距离为．

故选：B．

4．D

解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：
0=a×4+2，
解得：a=-．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2，
解得：x=±．
∵-（-）=2，
∴水面宽度为2m．
故选：D．

5．C

解：每顶头盔降价x元，利润为w元，

由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，

∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，

即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，

故选：C．

6．B

解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得： 即y=（x-35）（400-5x），
故选：B．

7．B

解：当y＝0时，即＝0，

解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，

所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，

故选：B．

8．C

解：根据题意,将点A(0,2)代入

得：36a+2.6=2，

解得： 

∴y与x的关系式为

当x=9时, 

∴球能过球网，

当x=18时, 

∴球会出界.

故选C.

9．D

解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，
把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，

解得：，

∴解析式为；

故A不符合题意；

B、当y=0时，；

解得x= 2 +20，

∴水流喷射的最远水平距离是2 +20米；

故B不符合题意；

C、当x=20时，y=11，

∴11-2=9

∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米

故C不符合题意；

D、向后平移后的解析式为，

当x=37时，y=8.5

8.5-3=5.5＞2.3，

∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；

故选：D

10．A

解：第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，

第三个月的增长率为

第一个月投放辆单车，

第二个月投放辆

第三个月投放量

故选：A．

11．B

解：由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：

从图象可得，x是在A点的左侧以及B点的右侧，即或．

由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：

从图象可得，x是在C点的左侧以及D点的右侧，即或．

由于，从而可得：

，．

经比较：乙车超过限速．

故选：B．

12．B

解：当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP= t,点P到AB的距离为t，

S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，

∴该函数图象开口向下，

当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4，

∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大，

当4＜t≤8时，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，

∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小．

故选：B．

13．4

解：设OP=x，则OQ=8-x，

过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，

∵

∴

∴

∵

∴函数图象开口向下，有最大值，为4，

故当OP=4时，花坛的面积最大．

故答案为：4．

14．46

解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，

∴MN的对称轴为直线x==23，

∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．

故答案为：46．

15．1264

解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．

据题意：

∴

∵

∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元

故答案为：1264

16．7m

解：由题意，得

当y＝0时，，

化简，得：，

解得：（舍去），

故答案为：7m．

17．

解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，

∴△BDC≌△AEC，

∴∠B=∠CAE，

∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，

∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，

∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，

设BD=AE=x，则AD=（2-x），

∴，

∵，函数开口向下，函数有最大值，

当x=1时，．

故答案为：．

18．（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．

解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，

整理，得3x+4y＝5.4，

∴y＝﹣0.75x+1.35，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，

由题意，得，

解得1≤x≤1.3，

即x的取值范围是1≤x≤1.3；

（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，

由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，

配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，

∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，

∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，

∵1≤x≤1.3，

∴当x＝1时，S有最大值，

S最大＝1.2，

答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．

19．3米

解：由题意可得：抛物线顶点坐标为（1，12），A点坐标为（0，9），

故设抛物线解析式为：，

则，

解得：a＝﹣3，

故抛物线解析式为：，

当y＝0时，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

则水池的半径OB至少为3米时，才能使喷出的水流不落在池外．

20．（1）50%；（2）当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元

解：（1）解：设第一次加价的增长率为x，由题意得

解得：（不合题意，舍去）

答：第一次加价的增长率为．

（2）解：当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，由题意得

∵

∴当时，y可取得最大值为1440

答：当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．

21．他垂直起跳的高度至少要达到米

解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，

与抛出点的坐标为，

设抛物线的解析式为：，

顶点坐标代入得：，

抛出点坐标代入得：，

解得：，

∴抛物线得解析式为：，

当时，，

米，

故他垂直起跳的高度至少要达到米．

22．（1）；（2）；（3）x的取值范围为：或

解：（Ⅰ）是等腰直角三角形，则，

因为PD⊥BC ，

则为等腰直角三角形，

故，

则，

当时，；

（Ⅱ）当点在上运动时，

由（1）知，，

当点在上运动时，

同理可得为等腰直角三角形，则，

则，

故；

（Ⅲ）①当时，

则，

当时，即，解得（舍去负值），

当时，即，解得（舍去负值），

故；

②当时，

则，

当时，即=，解得： ，

当时，即，解得： ，

故；

综上，x的取值范围为：或．