沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用教案设计

二次函数的应用

【第一课时】

【教学目标】

1．经历数学建模的基本过程。

2．会运用二次函数求实际生活中的最值问题。

3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

【教学重点】

二次函数在最优化问题中的应用。

【教学难点】

从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课。

由课文中的问题1引入。

例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？

问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。

二、讲授新课。

在前面的学习中我们已经知道S=-x2+20x，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式。通过配方，得到S=-（x-10）2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是（10，100）。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m²）。

所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m²。

总结得出解这类题的一般步骤：

（一）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（二）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

三、例题讲解。

例3：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s²，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。

（一）问排球上升的最大高度是多少？

（二）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。

分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题，配方得到，抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5米。第二个问题只要令h=2.5，求出方程h=10t-5t2的解，t1≈0.3（s），t2≈1.7（s）。在结合实际情况，要快攻，所以最后确定选择较小的根。

四、课堂练习。

课本练习2的1、2。

五、课堂小结。

本节课，我们将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的知识解决了实际生活中的最值问题。

【第二课时】

【教学目标】

1．通过图形之间的关系列出函数解析式。

2．用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题。

【教学重点】

用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题。

【教学难点】

通过图形之间的关系列出函数解析式。

【教学过程】

（一）创设情景。

欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。（挂图展示）

（二）新课教学。

例题讲解：

1．例2：如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。

（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；

（2）计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长。（精确到0.1m）

分析：第（1）题的关键是设立合适的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为（0，0.5），且关于y轴对称，则可以设函数关系式为y=ax²+0.5，再将（450，81.5）带入解析式中，即可求出a的值。第（2）题要注意不能直接将100、50当作横坐标代入。

解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax²+0.5，将（450，81.5）代入，得

81.5=a·4502+0.5

解方程，得

因而，所求抛物线的函数关系式为（-450≤x≤450）。

（2）当x=450-100=350（m）时，得

；

当x=450-50=400（m）时，得

。

因而，距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。

2．例：卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分。在大桥截面1:11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB。如图（一）在比例图上，以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系：如图（二）。

（1）求出图（一）上的这一部分抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域；

（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长。

（备用数据：≈1.4，结果精确到1米）

解：（1）由图（二）建立坐标系，可知C（0，0.9），A（2.5，0），B（2.5，0）。

设函数表达式为y＝a（x2.5）（x＋2.5），将（0，0.9）代入，得

0.9＝6.25a 

a＝

因而，所求函数关系式为y＝（x－2.5）（x＋2.5）＝－x²＋（－2.5≤x≤2.5）

（2）∵D、E的纵坐标为0.45=，

∴＝－x²＋得x＝±。

∴点D的坐标为（－，），点E的坐标为（，）。

∴DE＝－（－）＝。

因此卢浦大桥拱内实际桥长为×11000×0.01＝275≈385（米）。

（三）课堂练习。

课本练习1的1、2。

（四）课堂小结。

本节课我们学习了通过图形之间的关系列出函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题。

【第三课时】

【教学目标】

学会利用二次函数解决实际问题。

【教学重难点】

利用二次函数解决实际问题。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课。

上节课我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题。

二、例题讲解。

例4：行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：

现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？

分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。

解：以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图：

观察图中描点处的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此y（制动距离）与x（制动时车速）的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设：

y=ax²+bx+c

在已知数据中，任选三组，如取（0，0）、（10，0.3）、（20，1.0）分别代入所设函数关系式，得，解方程组，得

因而，所求函数关系式为y=0.002x²+0.01x。

把y=46.5m代入函数关系式，得：

46.5=0.002x²+0.01x。

解方程，得x1=150（km/h），x²=155（km/h）（舍去）。

因而，制动时车速为150km/h（>110km/h），即在事故发生时，该车属超速行驶。

三、课堂练习。

习题21.4的3、4、5。

四、课堂小结。

二次函数与实际问题联系紧密，这就要求我们在解决实际问题时，善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去分析，用数学的方法去解决，运用函数知识去解决实际问题是十分普遍和重要的。