第4章 实数章末复习检测卷-《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练（苏科版）

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第4章 实数章末复习检测卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．下列各式中计算正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可完成．【详解】解：A、，故选项不正确，不符合题意；B、，故选项正确，符合题意；C、，故选项错误，不符合题意；D、，故选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了平方根的定义与性质，算术平方根与立方根的定义，掌握概念是解题关键．2．在（相邻两个5之间依次多一个1）中，无理数有（      ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；，是有限小数，属于有理数；无理数有（相邻两个5之间依次多一个1）共3个．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．已知x，y为实数，且，则xy的立方根是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性，可得，再代入，即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴xy的立方根是．故选：C【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，求一个数的立方根，根据题意得到是解题的关键．4．若，则代数式的值为（   ）A． B．5 C．6+2 D．【答案】B【分析】先把分解因式,再整体代入求值即可.【详解】解：∵ 当 ∴原式 故选B.【点睛】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，算术平方根的含义，掌握“因式分解在代数式的求值过程中的应用”是解本题的关键.5．有一长，宽、高分别为、、的长方体盒子，在它里面放入一根铅笔（铅笔的粗细、形状忽略不计），要求铅笔不能露出盒子，请你算一算，能放入的铅笔的最大长度是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用勾股定理得出BC，DB的长，进而得出答案．【详解】解：如图所示：连接BC，BD，AB=3cm，AC=4cm，CD=2cm，由题意可得：在Rt△ABC中，BC＝（cm），在Rt△DCB中，DB＝（cm），故能放入的铅笔的最大长度为：，故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确构建直角三角形是解题关键．6．若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（    ）A．2021 B．2020 C．4041 D．1【答案】D【分析】先估算的取值范围，再求出与的取值范围，从而求出a，b的值，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分．7．如图，某同学利用计算器中的，，三个按键设置计算程序，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，程序将按照以下步骤进行，依次按照从第一步到第三步循环计算．若一开始输入的数据为10，那么第2021步之后，显示的结果是（    ）A． B．100 C．0.1 D．0.01【答案】B【分析】先将=10代入程序中，计算出前几步可得出数字的循环规律，利用周期循环规律即可求解．【详解】解：由题意可知：第一步结果为=100，第二步结果为=0.01，第三步结果为=0.1，第四步结果为=0.01，第五步结果为=100，第六步结果为=10，……∴运算结果是以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为一组周期循环的，∵2021÷6=336……5，∴第2021步之后的显示结果与第五步结果相同为100，故选：B．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题关键是通过计算得出数字的循环规律．8．如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）．   根据运算性质，若d（2）=0.301，则d（0.8）的值是（    ）A．-0.097 B．-0.602 C．-0.699 D．-1.097【答案】A【分析】根据题意可得，即，可得，根据题意所给运算法则可得可化为（4）则可得（2）即可化为（2）（2）（2），代入运算即可得出答案．【详解】解：若，，，根据题意与可得，，（4）（2）（2）（2）（2）（2）．故选：A．【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是正确理解题目所给的条件进行运算．9．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，∴重叠部分也为正方形，∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=，∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，∴大正方形边长=，重叠部分边长=，∴空白部分的长=，设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，∴小正方形面积==10，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．10．对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是(   )A．②③④ B．①②④ C．①③④⑤ D．①③④【答案】D【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值；②取特殊值验证，证实或证伪；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④把方程问题转化为不等式问题；⑤分情况讨论，验证[1+a]-[1-a的所有取值．【详解】对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确；对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确；对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确；对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确；对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2；当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1；当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1．故[1+a]-[1-a]的值为-1或1或-2，故⑤不正确．综上所述，正确的是①③④故选：D．【点睛】本题考查取整函数与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整函数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决．二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）11．的平方根是______；的算术平方根是______；的立方根是______．【答案】               【分析】依据立方根、算术平方根、平方根的定义解答即可．【详解】解：，∴的平方根是；，∴的算术平方根是；∵，∴的立方根是．故答案为：①；②；③．【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．12．≈___（精确到十分位）；近似数精确到____位．【答案】          十万【分析】根据近似数的精确度分析求解即可．【详解】解∶精确到十分位为；∵中5在十万位上，∴精确到十万位，故答案为∶；十万．【点睛】本题考查了近似数．解题的关键是掌握近似数的定义∶经过四舍五入得到的数叫近似数，四舍五入到哪一位就精确到那一位．13．对于实数，，先定义一种新运算“※”如下：※，若※，则实数的值为 __．【答案】【分析】分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答．【详解】分两种情况：当时，※，，，或（舍去）；当时，※，，（舍去）；综上所述：，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的新定义运算，分两种情况进行计算是解题的关键．14．已知△ABC的三边a，b，c满足，则△ABC的面积为___．【答案】6【分析】根据算术平方根、绝对值和偶次方的非负性得出，求出a、b和c的值，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出答案即可．【详解】解：∵，∴，解得b=4，c=3，a=5，∴，∴△ABC是直角三角形，∴边c的对角，∴△ABC的面积是．故答案为：6．【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值和偶次方的非负性、勾股定理的逆定理和三角形面积，能求出a、b和c的值是解决本题的关键．15．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式2x＋3y≤10，它的正整数解有________个．【答案】5【分析】先把y作为常数，解不等式得：，根据x，y是正整数，得5-＞0，分情况可解答．【详解】解：2x+3y≤10，，∵x，y是正整数，∴5-＞0，0＜y＜，即y只能取1，2，3，当y=1时，0＜x≤3.5，正整数解为：，，，当y=2时，0＜x≤2，正整数解为：，，，当y=3时，0＜x≤，无正整数解；综上，它的正整数解有5个，故答案为：5．【点睛】本题考查了新定义：二元一次不等式2x+3y≤0正整数解，求出y的整数值是本题的关键．16．在中，有理数有m个，自然数有n个，整数有p个，分数有k个，负数有t个，则m－n－k+t+p=________．【答案】12【分析】根据实数分类，分别求出、、、的值是多少，再应用代入法求值即可．【详解】由题意可得 有理数8个，即，自然数2个，即，分数3个，即，整数5个，即，负数有4个，即 故．【点睛】本题主要考查有理数的分类，以及有理数的乘方，有理数的减法的运算方法，熟练掌握实数的定义和分类是解答此题的关键．17．在求的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：①然后在①式的两边都乘以2，得：②；②﹣①得，，即．则 的值为 _____．【答案】【分析】读懂小明的解题方法，找出数字变化的规律，模仿即可求解．【详解】解：设①，则②，②－①，得，解得S＝．故答案为：．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算过程，灵活应用该方法求和是解题的关键．18．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时．表示非负实数a的整数部分，例如．按此方案，第2021棵树种植在点处，则_______．【答案】674【分析】首先根据题目条件分析的取值情况，探究的规律，继而利用规律求解．【详解】解：由题意可得：当，7，10，时，，当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0，∴，，，．且，∴，故答案为：674．【点睛】本题主要考查了数字之间的关系，解题的关键是读懂题目信息，列举部分数字，找到的规律，利用规律进行求解．三、解答题（10小题，共64分）19．求下列各式中的x(1)(2)【答案】(1)(2)，【分析】（1）先变形，然后根据立方根的定义即可解答此方程； （2）两边同时除以9，然后根据直接开平方法可以解答此方程．（1）解：解得：；（2），．【点睛】本题考查立方根、平方根、解方程，解答本题的关键是明确平方根和立方根的定义，会解方程．20．把下列各数分别填入相应的集合里．，，，0，，，6，π，(1)正数集合：｛                                    …｝；(2)整数集合：｛                                    …｝；(3)分数集合：｛                                    …｝；(4)无理数集合：｛                                  …｝；【答案】(1)，，6，π(2)，0，6(3)，，，(4)π，【分析】（1）大于0的数是正数，据此作答即可；（2）正数包含负整数、正整数和0；（3）分数包含有限小数、无限循环小数，据此作答即可；（4）无限不循环小数是无理数，据此作答即可．（1）正数集合：｛，，6，π，…｝，故答案为：，，6，π；（2）整数集合：｛，0，6…｝，故答案为：，0，6；（3）分数集合：｛，，，，…｝，故答案为：，，，；（4）无理数集合：｛π，，…｝，故答案为：π，．【点睛】本题考查了实数分类，熟练掌握实数的分类（实数包括有理数和无理数；还可分为正数、负数和0）是解题的关键．21．计算(1)已知的算术平方根是2，的立方根是．求a，b的值；(2)某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的算术平方根是2，的立方根是，建立方程组再解方程组即可；（2）由正数的两个平方根互为相反数可求解a，由立方根的含义求解b，再代入求值即可．（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是，∴ 解得：（2）∵某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，二元一次方程组的解法，掌握“由算术平方根的含义与立方根的含义建立方程组”是解本题的关键．22．如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27．(1)求出这个魔方的棱长：(2)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长(3)如图2．把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与-1重合，那么点D在数轴上表示的数为______．【答案】(1)3(2)面积为：5，边长为：；(3)【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，根据大正方形减去4个小三角形求得阴影部分的面积，根据算术平方根求得阴影部分图形的边长，即可得解；（3）用点表示的数减去边长即可得解．（1）设魔方的棱长为，则，解得：；（2）棱长为3，每个小立方体的边长都是1，设正方形的边长为，则解得，∴正方形的面积为，边长为（3）正方形的边长为，点与重合，点在数轴上表示的数为：，故答案为：．【点睛】题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．23．阅读材料：求：， 解：设…①将等式①两边同时乘2，得：…②得：即请你根据以上材料，解答：(1)计算：；(2)已知数列：，，，，，…．①它的第100个数是多少？②求这列数中前100个数的和．【答案】(1)(2)①它的第100个数是；②这列数中前100个数的和为【分析】（1）令和为S，用S乘3减S即可得解；（2）①根据数列中的数的规律： ，进行计算即可；②令和为S，用S乘3加S即可得解．（1）解：设…①，将等式①两边同时乘3，得：…②得：，即；（2）解：①由，，，，，…可知：第个数为：，∴第100个数为：；②设…①，将等式①两边同时乘3，得：…②得：，即．【点睛】本题考查数字类规律探究．通过题目给出的数据和运算方法，抽象概括出数字规律是解题的关键．24．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为，这个数叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2﹣i）+（5+3i）（2+5）+（﹣1+3）i7+2i；（1+i）×（2﹣i）；根据以上伯息，完成下列问题：(1)填空；　 　；　 　；(2)计算：①（3+i）（3﹣i）；②；(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+3y）+3i（1﹣x）﹣yi．（x，y为实数），求x，y的值；(4)试一试：请你参照这一知识点，将（m为实数）因式分解成两个复数的积．【答案】(1)，(2)①，②(3)，(4)【分析】（1）直接将代入式子计算即可；（2）直接根据平方差公式和完全平方公式进行计算，然后将代入即可；（3）根据两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，分别令等号两边的复数的实部和虚部相等即可得出答案；（4）利用平方差公式进行求解即可．（1）解：，，故答案为：，；（2）①（3+i）（3﹣i）；②；（3）（x+3y）+3i（1﹣x）﹣yi，，，解得：，；（4）．【点睛】本题考查了平方差公式、完全平方公式，是信息给予题，解题的步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．25．观察下列等式：，，，将以上三个等式相加得：1－．(1)猜想并写出：＝          ．(2)尝试解决：＋…＋＝       (3)算一算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用所给的变化规律解答即可；（2）利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法即可得出答案；（3）利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法及提公因式法即可得出答案；（1）解：根据以上规律可知，．故答案为：．（2）解：原式==故答案为：．（3）解：∵，∴，n为正整数，∴原式= ===【点睛】本题考查了数字的变化规律，有理数的加减法及提公因式，理解规律是解答此题的关键．26．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n= p × q（p，q是正整数，且p ≤ q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q是n的最佳分解.并规定：F（n）= .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）= .(1)求F（8）和F（20）的值；(2)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1.【答案】(1)；(2)见详解【分析】（1）先将8，20分解因数，进而找出8，20的最佳分解即可；（2）根据是一个完全平方数可得，即可得到是的最佳分解，从而证明F（m）=1．（1）解：∵，，∴是8的最佳分解，∴；∵，，∴是20的最佳分解，∴；（2）∵是一个完全平方数，∴，∴，∵，∴是的最佳分解，∴．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方数以及新定义，本题的解题要点是正确理解“正整数n的最佳分解的含义”．27．如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)在中，若，，试判断是否是“准直角三角形”，并说明理由；(2)如果是“准直角三角形”，那么是______；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）(3)如图，在中，，，BD平分交AC于点D．①若交AB于点E，在①，②，③，④中“准直角三角形”是 （填写序号），并说明理由；②在直线AB上取一点F，当是“准直角三角形”时，求出的度数．【答案】(1)是，理由见解析(2)③(3)①答案：④，②答案：的度数为或者或者或者【分析】（1）先求出∠C的度数，然后根据“准直角三角形”的定义判断即可；（2）根据“准直角三角形”的定义，再结合三角形内角和定理判断即可；（3）①根据“准直角三角形”的定义判断，将其他角度表示出来即可；②注意分类讨论，由（2）得“准直角三角形”是钝角三角形，则可以钝角为依据进行分类讨论，另外，同时注意是哪个角的两倍，再进行分类讨论．（1）解∶是否是“准直角三角形”，，理由如下∵，，∴ ，∴，∴△ABC是“准直角三角形”；（2）解：∵△ABC是“准直角三角形“，∴可设 ，∴ ，∴，∴△ABC为钝角三角形，故答案为；③；（3）解：①∵，，∠A+∠C+∠ABC=，∴∠ABC=，∵BD平分∠ABC，∴，∴ ，∴△ABD是“准直角三角形”，∵，∴，，∵，∴△ADE不满足“准直角三角形”条件，∵，，∴，∴，∴△BDE不满足“准直角三角形”条件，∵，，∴，∴△BDC不满足“准直角三角形”条件，故答案为：④；②由（2）得△BFD为钝角三角形，当∠FDB为钝角时，点F在射线BA上， ∵△BFD为“准直角三角形”，∴，或，∵，∴或，当∠BFD为钝角时，点F在射线AB上，∵△BFD为“准直角三角形”，∴，或，∵，∴或，∴或，当∠DBF为钝角时，此时F点在AB的延长线上，∵，∴，∴或，∴∠DBF为钝角时，△BFD不为“准直角三角形”，综上，的度数为或者或者或者．【点睛】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，根据”准直角三角形“的定义去解题是解题的关键．28．二次根式的学习，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与完全平方，不等式等相结合的一些运算，从而更好地指导我们解决生活实际问题．【问题提出】比较与（，）的大小，【问题探究】我们不妨特殊化问题，分别给a、b进行赋值．(1)比较下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”）______；______；______(2)由（1）中各式猜想______（，），当且仅当a______b时，．猜想证明过程如下：=…请补全上述证明过程；(3)【灵活应用】万众一心齐携手，众志成城抗疫情．其中，高速入检处就解决临时隔离问题用48米长的钢丝网靠墙（墙的长度不限）围建了6间相同的矩形隔离房．设每间隔离房的面积为S（米），当每间隔离房的长、宽各为多少时，每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？【答案】(1)>；；=(2)≥，=；证明见解析(3)每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米．【分析】（1）先计算，再利用估算，比较大小即可；（2）利用完全平方公式配方，根据偶次方的非负性即可证明；（3）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意可列出方程，再结合题干所给材料可得出结论．（1）解：，，∵，∴，∴；=9，，∵，∴，∴；=14，，∴=；故答案为：；；=；（2）解：猜想≥（，），当且仅当a=b时，．证明：∵，∴≥；故答案为：≥，=；（3）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意得：6x+8y=48，即3x+4y=24，∵3x＞0，4y＞0，∴3x+4y≥2，即24≥2，整理得：xy≤12，即S≤12，∴当3x=4y时Smax=12，此时x=4，y=3，即每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米．【点睛】本题属于创新题型，根据阅读材料，考查学生的理解能力和学习能力，在解题的过程中，要注意抓住“当且仅当a=b时等号成立”这一条件，得出取得最大值和最小值时候的条件．