2021_2023年高考数学真题分类汇编专题17计数原理填空题

专题17 计数原理（填空题）

近三年高考真题

知识点1：利用二项式定理求项的系数

1．（2023•天津）在的展开式中，项的系数为．

【答案】60．

【解析】二项式的展开式的通项为，

令得，，

项的系数为．

故答案为：60．

2．（2022•上海）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则．

【答案】10．

【解析】二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，

即，即，

，

故答案为：10．

3．（2022•浙江）已知多项式，则　　．

【答案】8，．

【解析】，

；

令，则，

令，则，

．

故答案为：8，．

4．（2022•新高考Ⅰ）的展开式中的系数为（用数字作答）．

【答案】．

【解析】的通项公式为，

当时，，当时，，

的展开式中的系数为．

故答案为：．

5．（2022•天津）的展开式中的常数项为．

【答案】15．

【解析】的展开式的通项是

要求展开式中的常数项只要使得，即

常数项是，

故答案为：15

6．（2022•上海）在的展开式中，则含项的系数为．

【答案】66．

【解析】展开式的通项公式为，由，得，

得，

即，即含项的系数为66，

故答案为：66．

7．（2021•天津）在的展开式中，的系数是．

【答案】160．

【解析】的展开式的通项公式为，

令，解得，

所以的系数是．

故答案为：160．

8．（2021•浙江）已知多项式，则　，　．

【答案】5；10．

【解析】即为展开式中的系数，

所以；

令，则有，

所以．

故答案为：5；10．

9．（2021•上海）已知二项式展开式中，的系数为80，则．

【答案】2．

【解析】的展开式的通项公式为，

所以的系数为，解得．

故答案为：2．

10．（2021•北京）在的展开式中，常数项是．（用数字作答）

【答案】．

【解析】设展开式的通项为，则

令得．

展开式中常数项为：．

故答案为：．

知识点2：利用二项式定理求系数和问题

11．（2021•上海）已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为．

【答案】64．

【解析】由题意，，且，

所以，

所以令，的系数和为．

故答案为：64．

12．（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为．

【答案】49．

【解析】二项式的通项为，，1，2，，，

二项式的通项为，，1，2，，，

，，1，2，，，

若，则为奇数，

此时，

，

，

，

又为奇数，

的最大值为49．

故答案为：49．

知识点3：排列组合综合运用

13．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．

【答案】64．

【解析】若选2门，则只能各选1门，有种，

如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，

则有，

综上共有种不同的方案．

故答案为：64．