2021_2023年高考数学真题分类汇编专题11平面向量填空题

专题11平面向量（填空题）

近三年高考真题

知识点1：平面向量运算

1．（2023•上海）已知向量，，则．

【答案】．

【解析】因为向量，，

所以，，．

故答案为：．

2．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为　　．

【答案】．

【解析】中，，，是中点，，如图：

．

3．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则．

【答案】

【解析】由题意，有，则，设，

则得，，

由同角三角函数的基本关系得：，

则，

，

则．

故答案为：．

4．（2023•上海）已知向量，，则．

【答案】4．

【解析】向量，，

．

故答案为：4．

5．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求．

【答案】9

【解析】由数量积的定义，可得，

因为，所以．

故答案为：9．

6．（2022•甲卷（文））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．

【答案】11

【解析】由题意可得，

则．

故答案为：11．

7．（2021•新高考Ⅱ）已知向量，，，则．

【答案】．

【解析】方法1：由得或或，

或或，

又，，，，，

，，，．

故答案为：．

方法．

故答案为：．

8．（2021•北京）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则　　．

【答案】0．

【解析】以正方形网格左下角顶点为原点，以横向线段所在直线为轴，向右为正方向，以纵向线段所在直线为轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．

则，，，，，

知识点2：求模问题

9．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则．

【答案】．

【解析】，，

，，

，，

．

故答案为：．

10．（2021•甲卷（理））若向量，满足，，，则．

【答案】．

【解析】由题意，可得，

因为，，所以，

所以．

故答案为：．

知识点3：平行垂直问题

11．（2022•甲卷（文））已知向量，．若，则．

【答案】．

【解析】向量，．，

，

则，

故答案为：．

12．（2021•乙卷（文））已知向量，，若，则．

【答案】

【解析】因为向量，，

则，

又，

所以，

解得．

故答案为：．

13．（2021•甲卷（文））已知向量，，．若，则．

【答案】

【解析】因为向量，，，

由，则，

解得．

故答案为：．

14．（2021•乙卷（文））已知向量，，若，则．

【答案】．

【解析】因为，，，

所以，解得．

故答案为：．

知识点4：平面向量取值与范围问题

15．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为．

【答案】．

【解析】设，，，

，不妨设，，，则，

因为，

所以，可得，，

所以，解得，

故．

故答案为：．

16．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是．

【答案】，．

【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，，，

设，

则，

，，

，

，

即的取值范围是，，

故答案为：，．

17．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．

【答案】．

【解析】建立平面直角坐标系如下，

则，，，

直线的方程为，即，

点在直线上，设，

，，

，

的最小值为．

故答案为：．

18．（2021•天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为　　，的最小值为　．

【答案】1，．

【解析】如图，设，

是边长为1等边三角形，，

，，，，

，是边长为等边三角形，，

，

则，

，，

的最小值为．

故答案为：1，．

19．（2021•浙江）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是．

【答案】

【解析】令，

因为，故，，，，令，

平面向量在，方向上的投影分别为，，设，

则：，

从而：，故，

方法一：由柯西不等式可得，

化简得，当且仅当，即时取等号，

故的最小值为．

方法二：则表示空间中坐标原点到平面上的点的距离的平方，

由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：

．

故答案为：．