2022-2023学年浙江省温州市乐清市山海联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省温州市乐清市山海联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省温州市乐清市山海联盟八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是(    )
A. x≥0 B. x>1 C. x≥1 D. x<1
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是(    )
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形图
C. 斐波那契螺旋线 D. 杨辉三角图
3. 下列等式正确的是(    )
A. 34= 32 B. 16=±4 C. (−5)−2=−5 D. 32−22=1
4. 某学校考查各个班级的教室卫生物况时包括以下三项：地面、黑板，门窗，其中“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，根据这个要求，对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为(    )
A. 20%，30%，50% B. 50%，30%，20%
C. 50%，20%，30% D. 30%，50%，20%
5. 一元二次方程x2−2x−6=0的根的情况是(    )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根为0 D. 没有实数根
6. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是(    )
A. 135° B. 60° C. 120° D. 45°
7. 已知t为一元二次方程x2−1011x+3=0的一个解，则2t2−2022t值为(    )
A. −3 B. −2 C. −6 D. −4
8. 如图是单位长度为1的正方形网格，点A，B，C都在将点上，则点A到BC所在直线的距离为(    )
A. 108
B. 4 105
C. 2 105
D. 104
9. 欧几里得的《原本》记载，形如x2+bx=a2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b2，再在斜边AB上截取AD=b2，则该方程的一个正根是(    )
A. AC的长 B. AD的长 C. BC的长 D. BD的长
10. 在▱ABCD中，∠ACB=45°，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE并延长交AC于点G，交CD于点H，已知AB=AE，AF=3，EF=1，则下列结论：①∠BAE=2∠CBH；②S△ABE=4 7；③BE= 2CO；④GH=CH中正确的个数是(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 当x=2时，二次根式 x−1值为______ ．
12. 若一组数据1，3，a，2，5的平均数是3，则这组数据的方差是______ ．
13. 已知一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形的边数为______．
14. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为______．
15. 已知x2+2 3x+1=0，则x+1x= ______ ．
16. 关于x的方程(k−1)x2−2(k−2)x+k+1=0有实数根，则实数k的取值范围是______．
17. 如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=14BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是______．


18. 如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10，在旋转过程中，当∠ADM=90°时，则AM的长为______ ，若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，则BD2的长为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算 6× 2− 13；
(2)解方程：(x+2)2=3(x+2)．
20. (本小题6.0分)
如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，O均在格点上．
(1)在图1中，作一个各顶点均在格点上的▱ABCD，使得点O为对角线交点．
(2)在图2中，作一个各顶点均在格点上的▱ABCD，使其面积等于8，且该平行四边形的一条边等于其一条对角线．

21. (本小题6.0分)
某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了50名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是1−8这8个整数，现提供统计图的部分信息如图，请解答下列问题：

(1)根据统计图，求这50名工人加工出的合格品数的中位数；
(2)写出这50名工人加工出的合格品数的众数的可能取值；
(3)厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3件为技能合格，否则，将接受技能再培训．已知该厂有同类工人400名，请估计该厂将接受技能再培训的人数．
22. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=3，BC=5，E是边CD的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于点F．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形．
(2)若BD=BC，求四边形BDFC的面积．

23. (本小题8.0分)
物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？

24. (本小题10.0分)
如图1，在▱ABCD中，∠B为锐角，AB=AD，点P，H分别在边AD，CB上，且DP=BH，连接PH交对角线AC于点F．
(1)请说明AF与FC的大小关系，并说明理由．
(2)如图2，在AB边上取点M，N (点N在BM之间)使AM=5BN，点P从点D匀速运动到点A时，点Q恰好从点M匀速到点N，连接PQ，交对角线AC于点E，记QM=x，AP=y，已知y=−2x+12，请分别求出AD，BN的长．
(3)如图3，在第(2)题的条件下，连接QF，QH，若∠B=60°，则△FQH面积的最小值为______ (请直接写出答案)．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由题意得，x−1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

3.【答案】A 
【解析】解：A． 34= 32，故此选项正确，符合题意；
B. 16=4，故此选项错误，不符合题意；
C. (−5)−2= 125=15，故此选项错误，不符合题意；
D. 32−22= 5，故此选项错误，不符合题意．
故选：A．
直接利用二次根式的性质与化简，负整数指数幂分别判断即可求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简、负整数指数幂，正确掌握二次根式乘法运算法则是解题关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，
∴对地面、黑板、门窗三项考察比较合适的比例设计分别为50%，30%，20%，
故选：B．
根据题意可知：“地面”最重要，“黑板”次之，“门窗”要求最低，再观察各个选项，可知选项B比较合适．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确权的意义．

5.【答案】A 
【解析】解：∵Δ=b2−4ac=(−2)2−4×(−6)=28>0，
∴一元二次方程x2−2x−6=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
根据一元二次方程根的判别式求解即可得出．
此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．

6.【答案】D 
【解析】解：设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，
则x+3x=180，
解得：x=45°，
∴其中较小的内角是45°．
故选：D．
首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x=180，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．

7.【答案】C 
【解析】解：∵t为一元二次方程x2−1011x+3=0的一个解，
∴t2−1011t+3=0，
∴t2−1011t=−3，
∴2t2−2022t=2(t2−1011t)=2×(−3)=−6．
故选：C．
利用一元二次方程的解，可得出t2−1011t=−3，再将其代入2t2−2022t=2(t2−1011t)中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵S△ABC=32−12×2×2−12×1×3×2
=9−2−3
=4，
设点A到BC所在直线的距离为h．
∵BC= 12+32= 10，
S△ABC=12BC⋅h=12× 10h=4，
∴h=8 10=4 105．
故选：B．
根据△ABC的面积=边长为3的正方形面积−直角边为2的等腰三角形的面积−2个直角边分别为1和3的三角形面积，△ABC的面积=12BC⋅h，列等式求出h．
本题考查了勾股定理、分母有理化，掌握用等面积法求点A到BC所在直线的距离是解题关键．

9.【答案】D 
【解析】解：在Rt△ABC中，
根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∵BC=a，AC=AD=b2，
∴(b2)2+a2=(BD+b2)2，
整理得：BD2+bBD=a2，
比较方程x2+bx=a2，可得BD是方程x2+bx=a2的一个正根．
故选：D．
在直角△ABC中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可确定出所求．
此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：①如图1，过A作AM⊥BC于M，交BH于点P，

∵AB=AE，
∴∠BAE=2∠EAM，
∵AE⊥BH，AM⊥BC，
∴∠AFP=∠BMP=90°，
∵∠APF=∠BPM，
∴∠EAM=∠CBH，
∴∠BAE=2∠CBH；
故①正确；
②∵AF=3，EF=1，
∴AB=AE=3+1=4，
Rt△ABF中，由勾股定理得：BF= AB2−AF2= 42−32= 7，
∴S△ABE=12⋅AE⋅BF=12×4× 7=2 7，
故②不正确；
③在Rt△BFE中，BF= 7，EF=1，
∴BE= BF2+EF2= ( 7)2+12=2 2，
∴S△ABE=12⋅BE⋅AM=2 7，
∴12×2 2AM=2 7，
∴AM= 14，
∵∠ACB=45°，∠AMC=90°，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴AC= 2AM= 2× 14=2 7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=12AC= 7，
∴ 2OC= 2× 7= 14≠BE；
故③不正确；
④如图2，过A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，

则∠AMB=∠AME=∠BNG=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MAC=∠NCG=45°，
∵AB=AE，
∴∠BAM=∠EAM，
设∠BAM=α，则∠MAE=∠NBG=α，则∠BAG=45°+α，∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α，
∴∠BAG=∠AGB，
∵AB//CD，
∴∠BAG=∠GCH，
∵∠AGB=∠CGH，
∴∠CGH=∠GCH，
∴GH=CH；
所以④正确；
所以本题正确的结论有2个，是①④．
故选：B．
①如图1，过A作AM⊥BC于M，交BH于点P，根据等腰三角形三线合一的性质得：∠BAE=2∠EAM，再根据三角形的内角和定理可得∠EAM=∠CBH，可得结论；
②根据三角形的面积公式进行计算即可；
③先根据勾股定理计算BE的长，利用面积法可得AM的长，分别计算AC，OC的长，可作判断；
④证明∠BAG=∠AGB，从而得∠CGH=∠GCH，则GH=CH．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．

11.【答案】1 
【解析】解：当x=2时，
x−1= 2−1=1．
故答案为：1．
把x=2代入二次根式进行计算即可．
本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的关键．

12.【答案】2 
【解析】解：∵数据1，3，a，2，5的平均数是3，
∴a=5×3−1−3−2−5=4，
则这组数据的方差是S2=15×[(1−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(2−3)2+(5−3)2]=2；
故答案为：2．
根据平均数的计算公式先求出a，再利用方差公式进行计算即可．
此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所以数据的和除以所有数据的个数，熟记方差公式是关键．

13.【答案】九 
【解析】解：外角的度数是：180−140=40°，
则多边形的边数为：360÷40=9．
故答案是：九．
首先求得每个外角的度数，然后利用360度除以外角的底数即可求解．
此题比较简单，理解任意多边形的外角和都是360度是关键．

14.【答案】11 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：12x(x−1)=55，
整理，得：x2−x−110=0，
解得：x1=11，x2=−10(不合题意，舍去)．
答：参加酒会的人数为11人．
故答案为：11．  
15.【答案】−2 3 
【解析】解：∵x2+2 3x+1=0，
∴x+2 3+1x=0，
∴x+1x=−2 3，
故答案为：−2 3．
根据x2+2 3x+1=0，方程两边同时除以x，即可得到x+1x的值．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

16.【答案】k≤54 
【解析】解：关于x的方程(k−1)x2−2(k−2)x+k+1=0有实数根，
当是一元一次方程时，k−1=0，方程为2x+2=0，方程的解是x=−1，此时方程有实数解
当方程为一元二次方程时，△=[−2(k−2)]2−4(k−1)(k+1)≥0且k−1≠0，
解得：k≤54且k≠1，
所以当k≤54时，关于x的方程(k−1)x2−2(k−2)x+k+1=0有实数根，
故答案为：k≤54．
根据已知方程有实数根得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了一元二次方程和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．

17.【答案】4 
【解析】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，
则有h=h1+h2．
S△ABC=12BC⋅h=16，
S阴影=S△AGH+S△CGH=12GH⋅h1+12GH⋅h2=12GH⋅(h1+h2)=12GH⋅h．
∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=14BC，
∴GH=BD=14BC，
∴S阴影=14×(12BC⋅h)=14S△ABC=4．
故答案为：4．
设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2.利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=14S△ABC，由此即可得出结论．
本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找出S阴影=14S△ABC.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键．

18.【答案】10 10  30 6 
【解析】解：在Rt△ADM中，
∵∠ADM=90°，AD=30，DM=10，
∴AM= AD2+DM2
= 302+102
= 1000
=10 10；
连接D1C.
∵△ABC是底边为BC的等腰直角三角形，
∴BA=CA．
∵∠D1AD2=90°，D1A=AD2=30，
∴D1D2= D1A2+D2A2=30 2，∠AD2D1=45°．
∵∠AD2C=135°，
∴∠D1D2C=∠AD2C−∠AD2D1=135°−45°=90°．
∴D1C= D1D22+D2C2= (30 2)2+602=30 6．
∵∠BAD2+∠D2AC=90°，∠D1AC+∠D2AC=90°，
∴∠BAD2=∠CAD1．
在△BAD2和△CAD1中，
D2A=D1A∠BAD2=CAD1BA=CA，
∴△BAD2≌△CAD1(SAS)．
∴BD2=CD1=30 6．
故答案为：10 10；30 6．
利用勾股定理可直接求出AM，在Rt△D2AD1、Rt△D2CD1中，先求出D1D2、CD1，再通过证明△BAD2≌△CAD1得结论．
本题主要考查了三角形全等，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质是解决本题的关键．

19.【答案】解：(1)原式=2 3− 33
=5 33；
(2)∵(x+2)2=3(x+2)，
∴(x+2)2−3(x+2)=0，
则(x+2)(x−1)=0，
∴x+2=0或x−1=0，
解得x1=−2，x2=1． 
【解析】(1)先计算乘法、化简二次根式，再计算加减即可；
(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

20.【答案】解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求作；
(2)如图2中，▱ABCD即为所求作．
 
【解析】(1)根据要求作出图形即可．
(2)画底为4，高为2，且AB=BD即可．
本题考查作图−应用与设计作图，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．

21.【答案】解：(1)∵把合格品数从小到大排列，第25，26个数都为4，
∴中位数为4；
(2)众数要看剩余的18人可能落在合格品数的哪一组，有以下几种可能：
 ①合格品数是5、6的均为9人，则合格品数的众数为4;
 ②合格品数是5的有10人，合格品数是6的有8人，则合格品数的众数为4和5;
 ③合格品数是5的有8人，合格品数是6的有10人，则合格品数的众数为4和6;
 ④合格品数是5的超过10人，合格品数是6的不足8人，则合格品数的众数为5;
 ⑤合格品数是5的不足8人，合格品数是6的超过10人，则合格品数的众数为6．
总之，合格品数的众数可能为4;5;6;4和5;4和6;
(3)这50名工人中，合格品低于3件的人数为2+6=8(人)，
故该厂将接受再培训的人数约有400×2+650=64(人)． 
【解析】(1)将合格品数从小到大排列，找出第25与26个数，求出平均数即可求出中位数；
(2)众数要看剩余的18人可能落在合格品数的哪一组，分五种情况进行讨论： ①合格品数是5、6的均为9人; ②合格品数是5的有10人，合格品数是6的有8人; ③合格品数是5的有8人，合格品数是6的有10人; ④合格品数是5的超过10人，合格品数是6的不足8人; ⑤合格品数是5的不足8人，合格品数是6的超过10人;
(3)50名工人中，合格品低于3件的有2+6=8(人)，除以50人求出百分比，再乘以400即可求出所求．
此题考查了条形统计图，用样本估计总体，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC//AD，
∴∠CBE=∠DFE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
在△BEC与△FED中，∠CBE=∠DFE ∠BEC=∠FED CE=DE ，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE
∴四边形BDFC是平行四边形；
(2)解：∵BD=BC=5，
∴AB= BD2−AD2= 52−32=4，
∴四边形BDFC的面积=BC⋅AB=5×4=20． 
【解析】(1)根据同旁内角互补两直线平行求出BC//AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
(2)利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

23.【答案】解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256(1+x)2=400，
解得：x1=14，x2=−94(不合题意舍去)．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；

(2)设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
(40−25−m)(400+5m)=4250，
解得：m1=5，m2=−70(不合题意舍去)．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元． 
【解析】(1)由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256(1+x)；三月份的销售量为：256(1+x)(1+x)，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
(2)利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

24.【答案】19 32 
【解析】解：(1)∵四边ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠FAP=∠FCH，∠APF=∠FHC，
∵PD=BH，
∴AD−PD=BC−BH，
即AP=HC．
∴△APF≌△CHF(ASA)．
∴AF=FC．
(2)当x=0时，y=12即AD=12，
当y=0时，x=6即MN=6，
AB=AD=12，
∴AM+BN=12−6=6，
∴5BN+BN=6，
∴BN=1．
(3)过点A作AR⊥BC，

由题意得CH=AP=12−2x，BQ=x+1，AQ=11−x，
∵S△FQH=S△ABC−S△BQH−S△AFQ−S△HFC
=36 3−12⋅2x⋅ 32(x+1)−12⋅(12−2x)⋅3 3−12⋅(11−x)⋅3 3
=36 3− 32x2− 32x−18 3+3 3x−33 32+3 32x
=− 32x2+4 3x+3 32
=− 32(x−4)2+19 3219 32，
∴当x=4时，S△FQH最小=19 32．
故答案为：19 32．
(1)根据ASA证得△AFP≌△CFH，从而得出结论；
(2)令x=0，y=0，得AD=12，MN=6即可求解；
(3)连接QH，过点A作AR⊥BC，由题意得，CH=AP=12−2x，BQ=x+1，4Q=11−x，根据S△FQH=S△ABC−S△BQH−S△AFQ−S△HFC由二次函数求最值即可．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、二次函数的最值问题等知识；本题综合性强，难度较大．