【中职专用】高中数学 高教版2021·拓展模块一上册 3.2.2双曲线的几何性质（练习）（解析版）

3.2.2双曲线的几何性质

同步练习

1．双曲线的焦距等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．6

【答案】D

【分析】由题意可知， ，，解出，即可知焦距.

【详解】由题意可知： ， ，

，解得，

即双曲线的焦距等于，

故选：D.

2．双曲线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将双曲线方程化成标准式，即可得到，，从而求出，即可得到焦点坐标；

【详解】解：双曲线，即，所以，，

所以，即，所以焦点坐标为；

故选：B

3．双曲线的离心率为（     ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】按照双曲线的离心率定义以及a，b，c之间的关系计算即可.

【详解】由题意， ，   ， ；

故选：A.

4．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线方程，求得，即可直接写出渐近线方程.

【详解】对双曲线，焦点在轴上，且，故，

则其渐近线方程为：.

故选：C.

5．双曲线的离心率为__________.

【答案】

【分析】根据双曲线中的关系以及离心率公式直接求解.

【详解】由题可得，所以，

所以离心率.

故答案为: .

6．若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（    ）．

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】由渐近线方程求，再求双曲线的离心率.

【详解】由渐近线方程可知，则.

故选：A.

1．已知双曲线方程，那么它的焦距是（    ）

A．6 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线定义求出，焦距为

【详解】由题意，，故焦距为.

故选：C

2．双曲线的焦点坐标为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据双曲线的方程确定焦点的位置和的值，进而得到双曲线的焦点坐标，得到答案.

【详解】方程可化为，所以双曲线的焦点在轴上，且，，所以，

所以双曲线的焦点坐标为，．

故选：D．

3．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线的方程即可求出双曲线渐近线.

【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，所以，即，

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：B

4．若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为______．

【答案】

【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到，，根据题意列出方程，求出的值.

【详解】化为标准方程：，

则，故，则可得：，

解得：，

故答案为：

5．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则______．

【答案】4

【分析】求出椭圆的焦点，再解方程，即得解.

【详解】解：由题意得椭圆的焦点为和，

所以，所以．

故答案为：4

6．求双曲线的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程.

【答案】答案见解析

【分析】将双曲线方程化为标准方程，由此求得，根据可求得所求内容.

【详解】双曲线方程可化为：，

则双曲线焦点在轴上，，，；

，，，

顶点坐标为；焦点坐标为；实轴长为；虚轴长为；离心率；渐近线方程为.

1．与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程.

【详解】设椭圆方程为，

双曲线的焦点坐标为，

又短轴长为2，故，解得：，

则，故椭圆方程为.

故选：C

2．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．

【详解】解：双曲线的，，，

所以，一个焦点设为，一条渐近线设为，

所以，焦点到渐近线的距离为.

所以，根据双曲线的对称性可知, 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是.

故选：D.

3．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____________.

【答案】

【分析】由双曲线方程写出顶点、焦点坐标，根据题设写出椭圆方程即可.

【详解】由双曲线方程知：顶点坐标为，焦点坐标为，

所以所求椭圆的焦点为，左右顶点为，即，

故，则椭圆方程为.

故答案为：

4．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为___________.

【答案】2

【分析】根据题设可知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，则有且，解之即得所求

【详解】依题意，椭圆与双曲线的焦点都在轴上

则且

解之得，（舍）

故答案为：

5．已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为___________．

【答案】

【分析】根据渐近线过点，得到，从而求出离心率.

【详解】的渐近线为，

由题意得：，所以，

故离心率

故答案为：

6．求满足下列条件的双曲线的标准方程：

(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；

(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.

（2）根据椭圆的焦点和顶点，求得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.

【详解】（1）设双曲线的方程为.

由，，得，，，

所以双曲线的方程为.

（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.

设双曲线的方程为，则，，，

所以双曲线的方程为.