【中职专用】高中数学 人教版2021·基础模块上册 2.2.3一元次二不等式的解法（教案）

2.2.3  一元二次不等式的解法

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第二章；

教材内容：包括实数大小、不等式的基本性质、不等式解法、不等式的应用；

地位与作用：本节内容为高中一年级基础模块上册第二章开端，系学生高中数学在集合知识基础之后内容，难度较易，主要培养学生通过不等式的思维重新认识数学学科及问题的新型方式，并运用不等式知识解决现实生活中遇到的问题。

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；
2. 通过一元二次不等式的概念及其解集的学习，掌握一元二次不等式的解题方法，提高运用一元二次不等式知识解决实际问题能力；
3. 职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过初中所学一元二次方程来渗透一元二次不等式知识，进而掌握一元二次不等式的解题方法。

学习目标

1. 理解一元二次不等式概念及其解集的学习，掌握一元二次不等式的解题方法；
2. 学生运用分组探讨、合作学习，掌握一元二次不等式的解题方法，提高运用一元二次不等式知识解决实际问题能力；
3. 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。

学习重难点

1. 理解一元二次不等式的概念
2. 理解一元二次不等式解集的概念
3. 掌握一元二次不等式的解题思路与方法

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

问题导入：如图2-6所示，某职业学校的因艺社团计划用30m的栅栏材料，国一个面积不小于50m的矩形区城种植花卉，求满足条件的矩形区城的长的范围.

根据问题思考，

并尝试利用初中所学知识解答。

通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

我们设花坛的长为m，则宽是（15-x)m,根据题意，得

           x(15-x)≥50, 0＜x＜15,

整理得

               x2-15x+50≤0.            ①

像①式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式．它的一般形式是

       ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a≠0).

    满足一元二次不等式的未知数的取值集合，通常称为这个不等式的解集．以上问题就是求一元二次不等式①的解集，如何求呢？

我们知道，一元二次方程x2-15x+50=0的判别式

△=(-15）2-4×1×50 = 25＞0,

由求根公式，得

故

x1=5, x2=10.

因此，把左边的二次三项式x2-15x+50因式分解，得

x2-15x+50 =（x-5）( x-10），

不等式①转化为

（x-5）( x-10）≤0.         

我们知道，两数乘积小于0时，相乘的两数异号，所以解不等式相当于解下面两个不等式组：

解不等式组（I），得

5≤x≤10.

解不等式组（II），可以看出满足不等式组（II）的未知数不存在。考虑到 0＜x＜15，综上，问题情境中x的取值范围是

5≤x≤10.

即[5,10].

分组讨论，尝试归纳总结一元二次不等式的概念，明确一元二次不等式的解题方法

通过分组讨论方法，理解一元二次不等式的概念，明确一元二次不等式的解题方法步骤与方法，使学习效率更高效

活动三：

巩固练习

素质提升

例：

1. 解下列不等式：

（1）x2-x-12＞0；（2）x2-x-12＜0.

分析  方程x2-x-12=0的判别式

△=（-1）2-4×1×（-12）=49＞0，

于是可求出它的两个根为﹣3,4.
把二次三项式x2-x-12进行因式分解，得
        x2-x-12=(x+3)(x-4).

我们把(x+3)和(x-4)看成两个数，根据两个实数

相乘的运算法则，两数的积大于0时，它们同号（同

为正或同为负）；两数的积小于0时，它们异号．因此，

解原不等式（1）就可转化为解下列两个不等式组：

解原不等式（2）就可转化为解下列两个不等式组：

解：（1）将所给不等式转化为不等式组：

(I)的解集是{x丨x＞4}，(II)的解集是{x丨x＜-3}，

所以原不等式的解集为{x丨x＞4或x＜-3}，即

（-,-3)u（4，+）.

（2）将所给不等式转化为不等式组：

( Ⅲ)的解集是{x丨-3＜x＜4}，(IV)的解集是 ∅.

所以原不等式的解集为{x丨-3＜x＜4}，即

（-3,4）.

从上例，我们可看到，某些一元二次不等式可转化为一元一次不等式组求解．另外，对于一些特殊的一元二次不等式，要根据具体情况灵活解题.

2. 解下列不等式：

（1）x2-4x+4＞0；（2）x2-4x+4＜0.

分析  方程x2-4x+4 =0的判别式

△=（-4）2-4×1×4=0，

即方程x2-4x+4 =0有两个相等的根，即x1=x2=2.(1)和(2)

中的不等式可转化为

(x-2)2＞0,(x-2)2＜0.

于是可求出它的两个根为﹣3,4.把二次三项x2-x-12

进行因式分解，得
        x2-x-12=(x+3)(x-4).

解（1）因为任何一个实数的平方大于等于0，所以当x≠2时，都有

(x-2)2＞0，

所以原不等式的解集是{x丨x≠2}，即

（-,2)u（2，+）；

（2）由（1）可知，没有一个实数x使得不等式

(x-2)2＜0

成立，所以原不等式的解集是 ∅.

3. 解下列不等式：

（1）x2-2x+3＞0；（2）x2-2x+3＜0.

分析  方程x2-2x+3 =0的判别式

△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，

即方程x2-4x+4 =0无解，用配方法将原不等式分别转化

为

(x-1)2+2＞0,(x-1)2+2＜0.

解 （1）对于任意一个实数x，都有

x2-2x+3=(x-1)2+2＞0，

即不等式对于任意实数都成立，所以原不等式的解

集是R；

（2）对于任意一个实数x，不等式

(x-1)2+2＜0

都不成立，所以原不等式的解集是 ∅.

一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c＞0或

ax2+bx+c＜0(a≠0).由上面例子，我们把解一元二次不等式

ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a＞0)

的步骤归纳如下：

S1 求出方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac

的值.

S2  (1)△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个不等的根x1,x2(设x1＜x2)则

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).

不等式a(x-x1)(x-x2)＞0的解集是

（-,x1)u（x2，+）；

不等式a(x-x1)(x-x2)＜0的解集是

（x1，x2）.

S3  (2)△=0，ax2+bx+c通过配方得

由此可知ax2+bx+c＞0的解集是

ax2+bx+c＜0的解集是 ∅.

S4 (3)△＜0，ax2+bx+c通过配方得

          由此可知ax2+bx+c＞0的解集是R；ax2+bx+c＜0的解集是 ∅.

对于a＜0的情况，通过在已知不等式两端乘以-1，可化为a＞0的情况求解.

注：之后我们将学习通过二次函数的图像求解一元二次不等式的方法，了解二次函数与一元二次不等式的关系.

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

分组讨论，尝试理解课本旁白处“注”中文字的含义

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

引导学生通过分组讨论方式，探索教材旁白处“注”中运用二次函数的图像求解一元二次不等式的方法，了解二次函数与一元二次不等式的关系，将知识系统化

活动四：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P55  ——  A组1. /2. /3.

                            B组1.

活动五：

板书设计

2.2.3 一元二次不等式的解法

一、一元二次不等式的概念                                   例题                 小结  

二、一元二次不等式的解集                                    练习                 作业

三、求解一元二次不等式）的步骤

活动六：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。