四川省宜宾市叙州区第二中学2022-2023学年高二数学（文）下学期期末考试试题（Word版附解析）

叙州区第二中学2023年春期高二期末考试

数学（文史类）

第I卷   选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. i为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘方和除法运算即可求解.

【详解】解：，

故选：B.

2. 已知函数的图象如右图所示，那么函数的导函数的图象最有可能的是下图中的

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由原图象可知，原函数在上增函数，在上为减函数，在上为增函数，再由原函数的单调性与导函数符号间的关系，即可得到答案.

【详解】由原图象可知，原函数在上增函数，在上为减函数，在上为增函数，

可得在上大于0恒成立，在上小于0恒成立，

则函数的导函数的图象最有可能是B，故选B.

【点睛】本题主要考查了利用原函数的图象研究导函数的图象问题，其中解答中熟记原函数的单调性与导函数的符号之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

3. 在我市举办的“讲述抗疫精神，弘扬中国文化”书画活动中，甲乙丙三位同学把他们的书信（每人一封）随机投递到，号信箱中，若每个信箱都被投递，则甲投号箱的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】解：根据题意，先将甲乙丙三位同学分为两组，则有种分法，

甲乙丙三位同学把他们的书信（每人一封）随机投递到，号信箱中，若每个信箱都被投递，则有种投法；

又甲投号箱，则乙丙可以都在2号，也可一个在1号一个在2号，

当乙丙都在2号时，则有种投法，

当乙丙一个在1号一个在2号时，则有种投法，

故甲投号箱共有种投法，

所以甲投号箱的概率为.

故选：D.

4. 已知函数在点处的切线的倾斜角是，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.

【详解】由题意知.

故选：A

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

5. 已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的离心率与右焦点坐标，可求出，进而得出，从而可求出双曲线方程.

【详解】因为双曲线的离心率，且其右焦点为，

所以，则，所以，

因此，双曲线的方程为.

故选：C.

6. 已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性规则判断即可；

【详解】解：对于命题，当时，故命题为假命题，所以为真命题；

对于，恒成立，

所以函数在R上单调递增，故命题为真命题，所以为假命题，

所以为假命题，为假命题，为真命题；

故选：D

7. “”的充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】ABD可以举出反例，C选项可以利用不等式的基本性质进行证明出是的充分不必要条件.

【详解】A选项，若，，满足，但，故推导不出，A错误；

B选项，也是如此，若，，满足，但，B错误；

C选项，因为，故，，不等式两边同乘以（），不等号方向不改变，故，是的充分条件，当时，令，，推导不出；综上：是的充分不必要条件，C选项正确；

D选项，若，，满足，但，D选项错误

故选：C.

8. 甲､乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则（    ）

A. 甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数

B. 甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数

C. 甲的数据的方差大于乙的数据的方差

D. 甲数据的极差小于乙的数据的极差

【答案】C

【解析】

【分析】根据条形图列举出甲乙的数据，应用平均数、中位数、方差、极差的求法求出甲乙的特征数据，进而比较它们的大小即可.

【详解】由题设，甲数据为，乙数据为，

所以甲的平均数为，

乙的平均数为，

甲乙中位数均为，

甲的方差，乙的方差，

甲极差为，乙极差为，

综上，甲乙平均数、中位数相同，甲的方差大于乙的方差，甲的极差大于乙的极差.

故A、B、D错误，C正确.

故选：C

9. 设椭圆（，）的一个焦点为（，），离心率为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据离心率和焦点得到，再根据其关系计算得到答案.

【详解】由题知半焦距，椭圆的焦点在轴上，且离心率为，则， ，

故答案选.

【点睛】本题考查了椭圆的离心率,焦距,注意焦点的位置是解题的关键.

10. 两圆与的公共弦长等于（    ）

A. 4 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．

【详解】解：两圆为①，，②

①②可得：．

两圆的公共弦所在直线的方程是，

的圆心坐标为，半径为，

圆心到公共弦的距离为，

公共弦长．

故选：B．

【点睛】本题主要考查圆的标准方程，求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.

【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.

设平面的法向量为，

则，即

令，得.

又，

点到平面的距离，

故选：.

【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.

12. 已知函数，则方程的根的个数为（   ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的性质并作出图像，再根据关于的一元二次方程根的情况结合函数的图像分类讨论作答.

【详解】函数定义域为R，求导得，

当或时，，当时，，函数在，上递增，在上递减，

当时，函数取极大值，当时，函数取极小值，

函数，当时，恒成立，即函数在上的图像恒在x轴上方，

函数的图像，如图，

令，关于的一元二次方程有异号两个实根，，

方程或的根即是函数的图像与直线或交点的横坐标，

当，时，有一个实根，有两个实根，

当时，，有两个实根，有一个实根，

当时，，无实根，有三个实根，

综上得，，方程恒有三个实根.

故选：C

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图像法：作出函数f(x)的图像，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图像，观察它们的公共点个数.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________.

【答案】

【解析】

【分析】直接利用几何概型的概率公式，转化为面积比求概率.

【详解】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个的圆的面积为，

又由边长为2的正方形的面积为，

根据面积比的几何概型可得概率为.

故答案为：

14. 若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________.

【答案】8

【解析】

【分析】利用方差的性质有，即可求新数据的标准差.

【详解】由题设，，故，

所以新数据的标准差为8.

故答案为：8

15. 已知命题P：[0,1],，命题q：“R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是_____________________；

【答案】

【解析】

【详解】命题P为真： ；命题q为真： ，因为命题“p∧q”是真命题，所以p，q为真，即实数a的取值范围是

点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.

16. 已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数a的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】确定函数为奇函数，增函数，将不等式转化为，根据函数单调性计算得到答案.

【详解】，则，故函数为奇函数.

，函数单调递增，

，故，故，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用导数确定单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）增区间是，减区间是；（2），.

【解析】

【分析】（1）利用导数判断函数的单调性；（2）由（1）可列出函数在上的单调性表格，根据函数的单调性求最值.

【详解】（1）函数的定义域为，,

由解得，

由，可得，所以函数增区间是，

由，可得，所以函数减区间是.

（2）

由上表可知：，.

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于基础题.

18. 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.

（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

（2）从开车时使用手机的样本中依据性别采取分层抽样抽取了6名司机，再从抽取的6名司机中随机的抽取3名司机了解具体情况，求抽取的3名司机中至少有2名男司机的概率.

参考公式附：其中.

参考数据：

【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件完善列联表，由卡方公式求出卡方值，比较参照值即可得结论；

（2）由（1）知6名司机中4名男性，2名女性，利用组合计数、古典概型的概率求法求概率即可.

【小问1详解】

所以，

故有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关.

【小问2详解】

由（1）知：6名司机中4名男性，2名女性，

所以6名司机中随机的抽取3名司机中至少有2名男司机的概率为.

19. 如图，直三棱柱中，，且，为线段上动点.

（1）证明：；

（2）判断点到面的距离是否为定值，并说明理由，若是定值，请求出该定值.

【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，理由见解析，.

【解析】

【分析】（1）由，证得面，从而，结合，证得面，从而证得.

（2）点到面的距离即为到面的距离，可转化为点到面的距离，由条件证得面，则为点到面的距离，求得即可.

【详解】解：（1）连，，四边形为正方形，

又，直棱柱中，，，

面，

面，

又，

面，

面，

（2）点到面的距离为定值.

，面，

面，

点到面的距离即为到面的距离，可转化为点到面的距离

令，则，

又面，面，

，

，

，

面，

为点到面的距离

在等腰中，，

到面的距离为定值，且定值为

20. 已知函数．

（1）时，求的极值；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.

【解析】

【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到导函数的单调性，又，即可得到的单调性，从而得到其极值；

（2）依题意可得，求出函数的导函数，从而得到函数的单调性与最值，依题意可知，即可得到，其中，再根据的性质求出的取值范围，从而求出参数的取值范围；

【详解】解：（1）时，，，则，

可知为的增函数，且，

当，，单调递减；当，，单调递增，

所以时，取得极小值，无极大值．

（2）由题知，，，

可知在区间上单调递增，

且当时，，当时，，

所以，存在，使得，即，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以，，

即，由，得，即，

所以，即，

由于为的单调递增函数，且，

则有，

因为，，所以为上的增函数，则当时，，

所以的取值范围为．

21. 已知椭圆的右焦点为且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点，且.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；（2）.

【解析】

【详解】分析：（1）根据题意，结合性质 ， ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆方程；（2）可设存在满足条件的直线的方程为，带入椭圆的方程得,由

利用韦达定理可得, 从而可得直线的方程为.

详解：（1）由，

又原点到直线的距离为，，

又，

故椭圆方程为.

（2）显然当直线与轴垂直时不可能满足条件,

故可设存在满足条件的直线的方程为，带入椭圆的方程得

,

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为

,

因为，即,

所以即,

所以，

解得

因为为不同的两点，所以

,

所以 ,故,

所以存在满足条件的直线，且其方程为.

点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）直线与曲线交于两点，点，求的值.

【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由参数方程消去参数可得直线的普通方程，由，，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程，代入圆的普通方程整理，根据参数的几何意义，把整理为，利用韦达定理代入数据整理可得答案.

【小问1详解】

将直线的参数方程消去参数得，

所以直线的普通方程为，

因为曲线的极坐标方程是，又，，，所以曲线的直角坐标方程为；

【小问2详解】

将直线的参数方程（t为参数），代入曲线的直角坐标方程中，并整理得，

设两点对应的参数分别为，由韦达定理得，，

.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 设函数.

（1）证明；

（2）若当时，关于实数x的不等式恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用绝对值不等式性质和基本不等式证明即可；

（2）用绝对值的性质对式子进行分段表示，然后求出最小值，根据题意列出关于实数t的不等式，解不等式即可.

【详解】证明：.    

当且仅当且等号成立

（2）当时.

当时，；

当时，；

当时，，

∴.

若恒成立.

则只需，解得.

综上所述实数t的取值范围是.

【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，考查了基本不等式的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.