2023届四川省宜宾市叙州区高三上学期期末考试数学（文）试题（Word版含答案）

宜宾市叙州区2022-2023学年高三上学期期末考试

文科数学

本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡一并交回

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，，则

A．B．C． D．

2．i为虚数单位，则

A． B． C． D．

3．如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是

A．甲家庭用电量的中位数为33

B．乙家庭用电量的极差为46

C．甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差

D．甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值

4．已知，，则

A． B． C． D．

5．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，其中指数增长率，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（）

A．4天 B．6天 C．8天 D．10天

6．已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为

A． B． C． D．

7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则

A．乙可以知道其他两人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩

8．设是定义域为R的奇函数，且.若，则

A． B． C． D．

9．已知圆C的方程为，点P在直线上，线段AB为圆C的直径，则的最小值为

A． B． C． D．3

10．在中，，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为

A． B． C． D．

11．已知球是直三棱柱的外接球，若，，则球的体积为

A． B． C． D．

12．已知函数，若存在，使，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若则的最小值是___________.

14．已知等比数列的前项和为，且，，则_________.

15．若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．

16．若指数函数（且）与五次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。

17．（12分）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人．为了了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间．将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值，并估计该校学生分数的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．

参考公式：，其中．

18．（12分）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角C的值；

(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．

19．（12分）如图，在三棱柱中，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

20．（12分）已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，比较与的大小．

21．（12分）已知函数

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）当时，是否存在两个极值点，若存在，求实数的最小整数值；若不存在，请说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若射线与曲线交于点（不同于极点），与直线交于点，求的最大值．

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围．

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文科数学参考答案：

1．C2．B3．C4．C5．B6．D7．D8．C9．B10．D11．A12．B

13． 14．6415．16．

17．（1），解得．

众数估计值为600分．

平均数估计值为（分）

分数分布在450~650分之间时，频率为，

故中位数估计值为650分．

（2）由题意可知，样本中男生有40人，女生有60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人．

因此，得到2×2列联表如下：

因此，的观测值，

所以有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．

18．（1）由，

，

，，，．

（2），

由余弦定理有：，，

所以，，

由正弦定理，，，，

，

，因为为锐角三角形，所以且，

则，,则，．

19．（1）如图，取的中点，连，，

因为，，

所以，，

又因为，所以，

在中，由，满足，

所以，且，，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面，

又平面平面，所以平面平面.

（2）由（1）可知平面，，

所以四棱锥的体积.

20．（1）根据已知设椭圆的方程为，.

在轴上方使成立的点只有一个，

∴在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点.

当点是短轴的端点时，由已知得，解得.

∴椭圆的方程为.

（2）.

若直线的斜率为0或不存在时，且或且.

由，

得.

若的斜率存在且不为0时，设：，由得，

设，，则，，

于是.同理可得.

∴.∴.综上.

21．（1）函数导数当时，

即在点（1，）处的切线斜率，

则对应的切线方程为即．

（2）当时，若存在两个极值点，则有两个不同的解，

即有两个根，即有两个不同的根，

设当时，

所以在上单调递增，不符合题意．当时，

，

所以在上单调递减，在上单调递增

要使函数与轴有两个不同的交点，必须，得

设，则，

即在（1，+∞）上为减函数，

存在使得.即当时，

此时有最小正整数，使得函数与轴有两个不同的交点.

即当时，是存在两个极值点，此时最小的的整数值为4

22．解：（1）曲线的参数方程为为参数），

消去参数得曲线的普通方程为，即，

由，，得曲线的极坐标方程为，

即．

因为直线的极坐标方程为，所以，所以，所以

（2）设，，，，则，

所以，

由，得，所以，所以的最大值为．

23．（1）当时，，即=，

所以不等式的解集为

（2）

若恒成立，则

即或

解得：

∴实数的取值范围是.