四川省宜宾市叙州区第二中学2023届高三数学（文）三诊模拟试题（Word版附解析）

叙州区二中高2020级高三三诊模拟考试

数学（文史类）

本试卷共4页.考试结束后，只将答题卡交回

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，集合，则（    ）

A. （-2，2） B. （-1，2） C. （-2，3） D. （-1，3）

【答案】B

【解析】

【分析】先求集合，进一步求出答案.

【详解】集合，，

∴.

故选：B.

2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先表示出复数，，再根据复数代数形式的乘法运算化简，根据根据复数的概念得到方程（不等式）组，解得即可；

【详解】解：因为复数，在复平面内对应的点分别为，，

所以，，

所以，

因为为纯虚数，所以，解得；

故选：D

3. CPI是居民消费价格指数（consumer price index）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2017年6月—2018年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较，叫同比；2018年6月与2018年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论错误的是（    ）

A. 2017年8月与同年12月相比较，8月环比更大

B. 2018年1月至6月各月与2017年同期相比较，CPI只涨不跌

C. 2018年1月至2018年6月CPI有涨有跌

D. 2018年3月以来，CPI在缓慢增长

【答案】D

【解析】

【分析】题目中已经给出了相关概念，根据所给信息，逐项分析即可．

【详解】A选项，2017年8月环比0.4，2017年12月，环比0.3，描述正确．

B选项，描述为同比大于0，因为同比图象始终在轴上方，即同比始终为增长，故描述正确．

C选项，从环比来看，2018年2月相对1月有所上升，3月到6月均有所下降，描述正确．

D选项，因为图中所给为同比和环比数据，即为相对值，而非真实值，故无法知道真实CPI的变化趋势．描述错误．

故选：D．

【点睛】本题考查读图、识图的能力，和理解题目所给定义的能力，属于基础题．

4. 正项等比数列中，，，成等差数列，若，则（    ）

A. 4 B. 8 C. 32 D. 64

【答案】D

【解析】

【分析】依题意，，成等差数列，可求出公比，进而由求出，根据等比中项求出的值.

【详解】由题意可知，，，成等差数列，

所以，即，

所以，或（舍），

所以，

，

故选：D.

5. 已知：，；：，，则真命题是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

举例说明全称命题为假命题，存在命题为真命题．由复合命题的真值表判断．

【详解】时，，所以为假命题，时，，所以为真命题，

∴为真命题，

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：

6. 若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算和数量积运算解答.

【详解】因为四边形是边长为2的菱形，，

所以.

所以

故选：A

7. 已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（    ）

A 若且，则

B. 若且，则

C. 若且，则

D. 若不垂直于，且，则不垂直于

【答案】C

【解析】

【分析】A选项，与可能平行、相交或异面， B选项，有或， C选项，由面面垂直的判定定理可知正确.D选项，与有可能垂直.

【详解】对于A选项，若且，则与可能平行、相交或异面，故A错误.

对于B选项，若且，则或，故B错误.

对于C选项，因为，所以由线面平行的性质可得内至少存在一条直线，使得，又，所以，由面面垂直的判定定理可知，故C正确.

对于D选项，若不垂直于，且，与有可能垂直，故D错误.

故选:C.

8. 已知为角终边上一点，且，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由可得，借助三角函数定义可得m值与.

【详解】∵

∴，解得

又为角终边上一点，

∴，∴

∴

故选B

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公式，属于基础题．

9. 已知，图中程序框图的输出结果为5050，则判断框里可填　　

A

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，根据n的取值即可得到判断框内的条件．

【详解】解：模拟程序框图的运行过程，可知：

由于当时，应该不满足判断框内的条件，执行循环体，，

当时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为5050．

可得判断框内的条件为？

故选C．

【点睛】本题考查了程序框图应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案来，是基础题．

10. 已知双曲线：的左焦点为，作直线交双曲线的左支于点，若与轴垂直，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】把代入双曲线方程化简即可得出，的关系，求出离心率．

【详解】解：，代入双曲线方程得：，

即，

即，∴，

解得，或（舍）．

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，属于中档题．

11. 函数的图像向右平移个单位，若所得图像对应的函数在是递增的， 则的最大值是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先求得函数图像向右平移个单位后的解析式，然后结合函数的单调递增区间确定实数a的最大值即可.

【详解】由题意可得：，

则函数图像向右平移个单位的解析式为：

.

函数的单调递增区间满足：，

解得：,

当时，函数的单调递增区间为，

据此可得的最大值是.

故选A.

【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移变换，三角函数的性质，辅助角公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12. 已知函数是定义在R上的增函数, ,,则不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先构造函数，再化简不等式，最后根据函数单调性解不等式.

【详解】令，则，

因此不等式化为选A.

【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量满足，，则的夹角为__________．

【答案】

【解析】

【详解】由题得, 因为,

所以

故填.

14. 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于__________．

【答案】

【解析】

【详解】如图所示，轴表示快递员送货的试卷，轴表示小李到家的时间，图中的矩形区域为所有可能的时间组合，阴影部分为满足小李需要去快递柜收取商品的时间，结合几何概型公式可得小李需要去快递柜收取商品的概率：.

点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.

15. 已知，，且，则的最小值为______．

【答案】6

【解析】

【分析】由，得，然后利用基本不等式“1”的妙用求出最值.

【详解】由，得.

，，

.

当且仅当，即，时，等号成立，

故的最小值为.

故答案为：

16. 已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】利用平面向量的运算，求得，由此求得的取值范围.

【详解】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.

  【点睛】本小题主要考查平面向量加法、数量积运算，考查正弦定理，考查三角形的内角和定理等知识，综合性较强，属于中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分.

17. 在中，角所对的边分别为，已知的面积，．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）求周长的取值范围．

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式可得，利用正弦定理边化角可配凑出余弦定理形式，求得，根据的范围可求得结果；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论可求得，由正弦定理得到，，将三角形周长利用三角恒等变换知识可化为，根据的范围，结合正弦函数的图象与性质可求得的范围，即为所求周长的范围.

【详解】（Ⅰ）由得：

，由正弦定理得：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：   

又    ，

的周长

即

，       

即周长的取值范围为

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、三角形周长取值范围的求解等知识；求解周长的取值范围时，通常利用正弦定理将边化为角，根据三角恒等变换的知识将问题转化为三角函数值域的求解问题；易错点是忽略角所处的范围，造成求解错误.

18. 近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了一小区住户进行调查，各户人均月收入（单位：千元）的频数分布及赞成楼市限购令的户数如下表：

若将小区人均月收入不低于7.5千元的住户称为“高收入户”，人均月收入低于7.5千元的住户称为“非高收入户”

（1）求“非高收入户”在本次抽样调查中的所占比例；

（2）现从月收入在的住户中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；

（3）根据已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.

附：临界值表

参考公式：，.

【答案】（1）   

（2）   

（3）表格见解析，不能

【解析】

【分析】（1）根据频数与总数的比值即可求得.

（2）根据古典概型概率公式即可求出.

（3）根据独立性检验相关公式求出，与参考数据比较，确定结论.

【小问1详解】

因为，所以“非高收入户”本次抽样调查中的所占比例为.

【小问2详解】

因为人均月收入在中，共6户，有5户赞成楼市限购令，分别记为，，，，；l户不赞成楼市限购令，记为.

现从中随机抽取两户，所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个；

事件“所抽取的两户都赞成楼市限购令”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个，

所以所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率为.

【小问3详解】

由题意，可得如下列联表：

∵，

∴不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.

19. 如图，在三棱台中，，且面，，分别为的中点，为上两动点，且.

（1）求证：；

（2）求四面体的体积.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）取的中点,连接,通过证得，通过说明四边形为平行四边形得到以及同理得到，结合得面，即可得结论；（2）令与交于，通过先证面面 ，再证面，即为三棱锥的高，根据可得结果.

试题解析：（1）取的中点,连接,∵,为的中点,

∴,又,∴,

∵,且,∴四边形为平行四边形,∴,

同理，四边形平行四边形，∴.∴四边为平行四边形,

∵面,∴面,

∴,又,∴面,

∵面,∴.

（2）令与交于，∵面,面,∴面面 ,

∵面面,∵,∴,∴面,

∴为点到面的距离，即,

又,

∴.

20. 已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）设，是函数图象上的两个相异的点，若恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1），.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）对求导，根据其导函数与极值的关系即得；

（2）由题得，构造即有，进而转化为在上恒成立，即可求范围.

【小问1详解】

当时，，

由，得或，

，.

【小问2详解】

不妨设，由，得

，即，

设，则有时，，

则在单调递增，在恒成立，

又，，得，

又，当且仅当时，取等号，

，

.

21. 设是椭圆的四个顶点，菱形的面积与其内切圆面积分别为，.椭圆的内接的重心(三条中线的交点)为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

【答案】（1）；   

（2）是，.

【解析】

【分析】（1）由题可得，，进而即得；

（2）当斜率不存在时，可得面积为；当斜率存在时，设方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理法，根据弦长公式，点到直线的距离公式结合条件可得的面积，进而即得．

【小问1详解】

∵菱形的面积与其内切圆面积分别为，，

∴，，又，

解得，，

故所求椭圆的方程为；

【小问2详解】

当直线斜率不存在时，

∵为的重心，

∴为椭圆的左，右顶点，不妨设，

则直线的方程为，可得，到直线的距离，

∴；

当直线的斜率存在时，设直线方程为：，，，

联立，得，

则 ，

即，

所以，，

∴，

∵为的重心，

则点坐标为，

∵点在椭圆上，故有，

化简得，

∴ ，

又点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到）．

∴ ，

综上可得，的面积为定值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22.

已知曲线的极坐标方程是.以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）

（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值.

【答案】（1）（2）或.

【解析】

【详解】试题分析：（1）由曲线的极坐标方程得，根据，，，即可求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到圆的方程，得，结合韦达定理和弦长公式即可求出直线的倾斜角的值.

试题解析：（1）由得

∵，，，

∴曲线的直角坐标方程为，即.

（2）将代入圆的方程，化简得.

设两点对应的参数分别为、，则

∴.

∴

∵

∴，即或.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 已知，.

（1）若且的最小值为1，求的值；

（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得，解出方程即可；（2）易得，即，即且，再根据列出不等式即可得结果.

试题解析：（1）(当时，等号成立）

∵的最小值为 1，∴，∴ 或，又，∴.

（2）由得，，∵，

∴，即 且 且.