四川省宜宾市叙州区第一中学2022-2023学年高二理科数学下学期期中试题（Word版附解析）

叙州区第一中学2023年春期高二期中考试

数学（理工类）

第I卷   选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】分析：首先根据题中所给的复数z，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得，从而求得结果.

详解：根据，可得，且，所以有，故选C.

点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.

2. 某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为

A. 15,5,2 B. 15,15,15 C. 10,5,30 D. 15，10，20

【答案】D

【解析】

【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各

年级中抽取的人数．

【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，

则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，

高三年级抽取的人数是400×=20人，

故答案为D

【点睛】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．

3. 是边长为1正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.

【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，

画对应的轴，轴，使，如下图所示，

结合图形，的面积为，

作，垂足为，

则，，

所以的面积，

即原图和直观图面积之间的关系为，

所以，的面积为.

故选：A.

【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.

4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由函数，可求周期为4，，由题意可知

【详解】由函数的周期为，

，，

，，

.

故选：C

【点睛】本题考查了程序框图求和，正弦型三角函数的周期等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

5. 十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对.每对生肖相辅相成，构成一种完美人格.现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份.甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，如果甲、乙、丙三位同字选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有（    ）

A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种

【答案】B

【解析】

【分析】对甲选择的吉祥物分成选择牛或马两种情况，分别讨论在每种情况下的选择种类数，相加即可得到总的选法种数.

【详解】对甲选择的吉祥物分成选择牛或马两种情况；

当甲选择鼠和牛这份吉祥物时，乙从马和羊吉祥物、狗和猪吉祥物中二选一，丙从余下的4份中选择一份，即，

当甲选择马和羊这份吉祥物时，乙从鼠和牛吉祥物、狗和猪吉祥物中二选一，丙从余下的4份中选择一份，即，

则如果甲、乙、丙三位同字选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有种；

故选：B

6. 设直角三角形的直角边长，均为区间内的随机数，则斜边长小于的概率为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．

【详解】根据题意可得，斜边长.

∵斜边长小于

∴

∴直角三角形的直角边长，均为区间内的随机数，则斜边长小于的概率为.

故选：A.

考点：几何概型.

7. “”是“直线 与圆相切”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线和圆相切可得，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．

【详解】因为直线与圆相切，所以，.

所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查了直线和圆位置关系，以及充分条件和必要的条件，属于基础题．

8. 已知函数的图象在处的切线为，则与坐标轴围成的三角形的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由函数解析式得且，，可求，进而求与坐标轴的交点坐标，即可求与坐标轴围成的三角形的面积.

【详解】由题意，且，，得，，

∴的方程为，则与坐标轴的交点的坐标分别是(0,2)，，

∴故与坐标轴围成的三角形的面积．

故选：B.

9. 某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”.已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知乙、丁说的同真或同假，然后分同真、同假分别推理即可得答案

【详解】注意到乙、丁说的同真或同假，当同真时，甲说的也真，不成立，故同假，所以甲、丙说的同真，故甲未及格.

故选：A

10. 已知点是双曲线上的动点，点为圆上的动点，且，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由，由此得出，由于为定值，则取最小值时，则取最小值，根据双曲线的性质得出点在为双曲线的顶点时，取最小值，再由勾股定理以及离心率公式求解即可.

【详解】因为，所以，即，且

若取最小值，则取最小值

由双曲线的性质可知，当点在为双曲线的顶点时，取最小值

此时，此时，

所以

故选：C

【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及了向量数量积公式的应用，属于中档题.

11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，设直线的方程为，由直线与圆相切可得，再联立直线与抛物线方程，结合焦半径公式即可得到结果.

【详解】由题意知，设直线的方程为.

因为直线与圆相切，

所以圆心到的距离，解得，

所以直线的方程为，联立，得，则，

所以的中点到的准线的距离为

.

故选:D

12. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

，令，计算函数的单调性，得到，计算得到答案.

【详解】，令，则，

故当时，，单调递减，当时，单调递增，，从而当时，，在区间上单调递增.

设，

则在上单调递减，在上单调递增，，

存在，使成立，等价于.

，解得.

故选：D.

【点睛】本题考查了能成立问题，转化为函数的值域问题是解题的关键，得出参数与函数的最值的大小关系.

第II卷  非选择题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）

【答案】-189

【解析】

【详解】由二项式定理得，令r = 5得x5的系数是．

14. 下面是两个变量的一组数据：

这两个变量之间的线性回归方程为，变量中缺失的数据是___________．

【答案】4；

【解析】

【分析】

由于线性回归直线一定过样本中心点，所以将中心点坐标代入可求得结果

【详解】解：设变量中缺失的数据为，

则，

，

因为这两个变量之间的线性回归方程为，

所以，解得，

故答案为：4

15. 某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p＝______________.

【答案】##

【解析】

【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.

【详解】由题意可知，解得.

故答案为：.

16. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用圆柱的表面积求出球的表面积，然后求出球的半径，最后求出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和球的体积差，求出水的体积即可.

【详解】设球的半径为，由题意得球的表面积为，

所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4，

所以最多可以注入的水的体积为．

故答案为：

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17. 某学科的试卷中共有12道单项选择题，（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分）．某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这12道选择题，试求：

（1）该考生得分为60分的概率；

（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．

【答案】（1）

（2）ξ的分布列为

【解析】

【详解】解：（1）要得60分，其余四道题必须全做对，所以得60分的概率为

（2）依题意，该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错，故求概率为；

同样可求得得分为45分的概率为

；

于是ξ的分布列为

故

该考生所得分数的数学期望为 ……

18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，.

（1）求证：BC//平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理逆定理得到，进而得到//，然后利用线面平行的判定定理证得；

（2）由线面垂直的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解.

【详解】（1）因为，

所以.所以.

因为，所以//.

因为平面.

因为平面，

所以BC//平面；

（2）过作的垂线交于点.

因为平面，

所以，.

如图建立空间直角坐标系.

则，，，.

因为为中点，所以.

所以，，.

设平面的法向量为，则

即

令，则，,于是.

设直线与平面所成的角为，

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

19. 已知函数，

（1）若曲线与在处相切，求的表达式；

（2）若在内是减函数，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】(1)分别对与求导,利用导数的几何意义列出斜率的关系求解即可.

(2)由题知在内恒成立,再参变分离构造函数求最值即可.

【详解】（1），.

又曲线与在处相切，（2），即

又，即，，.

（2）在内是减函数，

在内恒成立，

，∴只需在内恒成立，，.

，当且仅当时取等号，，即.

故实数m的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性与恒成立的问题,属于中等题型.

20. 如图，已知椭圆与抛物线，过椭圆下顶点作直线与抛物线交于、两点，且满足，过点作于直线倾斜角互补的直线交椭圆于、两点.

（1）证明：点的纵坐标为定值，并求出该定值；

（2）当的面积最大时，求抛物线的标准方程.

【答案】（1）证明见解析，定值；（2）.

【解析】

【分析】（1）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，求得，由可得出，可得出，代入抛物线方程可求得的值，即可得出结论；

（2）根据（1）中结论可得出直线的方程为，设，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出，计算出点到直线的距离，可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出抛物线的方程.

【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，可设直线，、，

联立直线与抛物线的方程得，整理得，所以.

由，得，则.

因为点在抛物线上，所以，所以.

因此，点的纵坐标为定值；

（2）连接、，

因为，所以.

由直线与直线的倾斜角互补，可得直线，

又，故.

令，则，

与抛物线的方程联立得，整理得，

由题意得，得，

设、，则，，

则，

又点到直线的距离，

所以，

当且仅当，即时，的面积最大.

由，得，故，

得抛物线的标准方程为.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

21. 已知函数

（1）讨论的极值；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值；（Ⅱ）

【解析】

【详解】【试题分析】（1）先对函数，求导，再分和两种情形讨论导函数值（）的符号，进而判定函数单调区间，求出函数的极值；（2）先将原不等式等价转化为，进而构造函数（），将问题转化为求出.然后借助题设条件先对函数（）求导，再对实数分类运用导数的知识求出=0，进而确定所求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）依题意（），

①当时，，在上单调递增，无极值；

②当时，，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递增；

所以，无极小值.

综上可知，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值.

（Ⅱ）原不等式可化 ，

记（），只需.

可得.

（1）当时，，，所以，在上单调递增，所以当时，，不合题意，舍去.

（2）当时，，

①当时，因为，所以，所以，

所以在上单调递减.

故当时，，符合题意.

②当时，记（），

所以，在上单调递减.

又，，

所以存在唯一，使得.

当时，，

从而，即在上单调递增，

所以当时，，不符合要求，舍去.

综上可得，.

点睛：解答本题的第一问时，先对函数，求导，再分和两种情形讨论导函数值（）的符号，进而判定函数单调区间，求出函数的极值；解答本题的第二问时，先将原不等式等价转化为，进而构造函数（），将问题转化为求.然后借助题设条件先对函数（）求导，再对实数分类运用导数的知识求出=0，进而确定所求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

（2）已知点P的直角坐标为，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．

【答案】（1）；；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由曲线的参数方程消去即可得曲线的普通方程；由直线的极坐标方程为及，即可得直线的直角坐标方程；

（2）根据题意得直线标准参数方程为（为参数），把它代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数的几何意义解题即可.

【小问1详解】

由曲线C的参数方程得．

∴曲线C的普通方程为．

直线 l 的极坐标方程化简为．

由极坐标与直角坐标的互化关系，，

得直线 l 的直角坐标方程为．

【小问2详解】

设直线 l 的参数方程为（m为参数）．

将直线 l 的参数方程代入曲线C的普通方程，

整理可得．

．

设，是方程的两个实数根．

则，．

∴．

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）求的解集；

（2）记函数的最小值为M，若，且，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）8

【解析】

【分析】（1）通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；

（2）由绝对值不等式的性质即可求得的最小值为，从而可得的值，再由不等式的基本性质即可求解的最小值．

【小问1详解】

（1）由得或或，

解得或，∴解集为．

【小问2详解】

，∴的最小值，

则，又，

所以，

当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8.