2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件

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知识梳理两个基本计数原理
微点拨1.分类加法计数原理中,完成一件事的各种方法是相互独立的.从集合角度看,如果完成一件事有A,B两类方案,集合A与B的交集为空集,在A中有m1个元素(m1种方法),在B中有m2个元素(m2种方法),则完成这件事的不同方法的种数即为集合A∪B的元素个数,即m1+m2.2.分步乘法计数原理中,必须且只需连续完成n个步骤后才能完成这件事,各个步骤之间不重复、不遗漏.
微思考在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理?
提示 如果已知的每类方案中的每一种方法都能完成这件事,应该用分类加法计数原理;如果每类方案中的每一种方法只能完成事件的一部分,就用分步乘法计数原理.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(　　)(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的每种方法都能直接完成这件事.(　　)(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　)
2.3个班分别从5个景点中选择一处游览,不同的选法种数为(　　)A.243B.125C.128D.264
答案 B　解析 因为第1个班有5种选法,第2个班有5种选法,第3个班有5种选法,由分步乘法计数原理可得,不同的选法有5×5×5=125(种).故选B.
3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法有　　　　　种.(用具体数字作答) 
答案 32　解析 由题意,5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则每位同学都有2种报名方法.根据分步乘法计数原理,则这5位同学共有2×2×2×2×2=25=32种不同的报名方法.
典例突破例1.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A,B的值,则Ax+By=0可以表示　　　　　条不同的直线. 
答案 22　解析 当A=0时,可表示1条直线;当B=0时,可表示1条直线;当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,可表示5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理,知共可以表示1+1+20=22条不同的直线.
名师点析使用分类加法计数原理遵循的原则:有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.
对点训练1(1)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(　　)A.4种B.10种C.18种D.20种(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有　　　　　种. 
答案 (1)B　(2)6　
解析 (1)分两种情况:①4位朋友中有2个人得到画册,有 =6(种)赠送方法;②4位朋友中只有1个人得到画册,有 =4(种)赠送方法.由分类加法计数原理,得不同的赠送方法的种数为6+4=10.故选B.(2)分两类:甲第一次踢给乙时,有3种满足条件的传递方式(如图);
同理,甲第一次踢给丙时,满足条件的也有3种传递方式,由分类加法计数原理,可知不同传递方式的种数为3+3=6.
典例突破例2.(1)现在要给如图所示的四个区域染色,有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择,并要求相邻区域颜色不同,则不同的染法种数有(　　)A.64　　　　　　　D.12
(2)(2023河北保定一模)某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学5个学科的竞赛课程,现有甲、乙、丙、丁4名同学要报名竞赛课程.由于精力和时间限制,每人只能选择其中1个学科的竞赛课程,则恰有2名同学选择数学竞赛课程的报名方法数为　　　　　　. 
答案 (1)B　(2) 96　
解析 (1)若先染④,则④有4种染法,①有3种染法,③有2种染法,②有2种染法.由分步乘法计数原理,不同的染法种数有4×3×2×2=48.故选B.
(2)先安排2名同学选择数学竞赛课程,有 =6种情况,剩下2名同学从除数学外的4个学科中选择1个学科,共有42种情况,故所求报名方法数为6×42=96种情况.
名师点析使用分步乘法计数原理的原则(1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事需要几个步骤.
(2)将完成这件事划分几个步骤完成,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完成,这是分步的基础,也是关键.从计数上来看,各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.
对点训练2(1)在端午小长假期间,某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位,每天只需1人值班,则不同的排班方法有(　　)A.12种B.24种C.64种D.81种
(2)(2023安徽铜陵三模)若有4名女生和2名男生去两家企业参加实习活动,两家企业均要求既有女生又有男生,则不同的分配方案有(　　)种B.28C.32D.64
答案 (1)C　(2)B　解析 (1)根据题意,第一天值班可以安排4名职员中的任意1人,有4种排班方法,同理第二天和第三天也有4种排班方法,根据分步乘法计数原理可知,不同排班方法的种数为4×4×4=64.故选C.
(2)先安排2名男生,保证每个小组都有男生,共有2种分配方案;再安排4名女生,若将每个女生随机安排,共有24=16种分配方案;若女生都在同一小组,共有2种分配方案,故保证每个小组都有女生,共有24-2=14种分配方案.所以共有2×14=28种分配方案.故选B.
例3.(1)(2023山东潍坊一模)过去的一年,我国载人航天事业突飞猛进,其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试,主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项,连续5天完成,且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试,超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试,则选拔测试的安排方案有(　　)A.24种B.36种C.48种D.60种
(2)如图,一个地区分为5个行政区域,现给该地区的5个区域着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有　　　　　种. 
答案 (1)B　(2)72　
(2)(方法1)由题图可知,2区与4区不相邻,3区与5区不相邻,且不相邻的区域可用同1种颜色涂色,所以最少可用3种颜色,故可根据选用颜色的种数进行分类.第1类,使用3种颜色,则2区与4区同色,3区与5区同色,可分三步进行涂色:第1步,涂2区与4区,有4种颜色可选;第2步,涂3区与5区,有3种颜色可选(除涂2区、4区的颜色);第3步,涂1区,有2种颜色可选(除前2步所选的颜色).由分步乘法计数原理知,该类涂色方法共有4×3×2=24(种).
第2类,使用4种颜色,2区与4区同色,3区与5区不同色,可分4步进行涂色:第1步,涂2区与4区,有4种颜色可选;第2步,涂1区,有3种颜色可选;第3步,涂3区,有2种颜色可选;第4步,涂5区,有1种颜色可选.由分步乘法计数原理可知,该类涂色方法共有4×3×2×1=24(种).
第3类,使用4种颜色,3区与5区同色,2区与4区不同色,同理可得该类涂色方法共有24种.综上,由分类加法计数原理可知,不同的涂色方法共有24+24+24=72(种).(方法2)因为1区与其他4个区都相邻,首先考虑1区,有4种涂法.若2区与4区同色,有3种涂法,此时3区与5区均有2种涂法,涂法种数为4×3×2×2=48;若2区与4区不同色,先涂2区,有3种涂法,再涂4区,有2种涂法,此时3区与5区都只有1种涂法,涂法种数为4×3×2×1×1=24.因此,满足条件的涂色方法共有48+24=72(种).
方法总结1.涂色问题常用的两种方法
2.利用两个计数原理解决问题的一般步骤
对点训练3某旅行社共有5名专业导游,其中3人会英语,3人会日语,1人既会英语又会日语,若在同一天要接待3个不同的外国旅游团,其中有2个旅游团要安排会英语的导游,1个旅游团要安排会日语的导游,则不同的安排方法种数有(　　)A.12B.13C.14D.15
解析 记甲为既会英语又会日语的导游,按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类:第一类,甲被安排到需要会英语的旅游团,则可分两步进行:第一步,从会英语的另外2人中选出1人,有2种选法,将选出的人和甲安排到2个需要会英语的旅游团,有2种安排方法,所以有2×2=4种安排方法;第二步,从会日语的另外2人中选出1人安排到需要会日语的旅游团,共2种选法.由分步乘法计数原理,不同的安排方法种数有4×2=8.