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江苏省盐城市亭湖区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编
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这是一份江苏省盐城市亭湖区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编，文件包含江苏省盐城市亭湖区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题提升题知识点分类doc、江苏省盐城市亭湖区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类doc、江苏省盐城市亭湖区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题基础题知识点分类doc、江苏省盐城市亭湖区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-01选择题知识点分类doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
江苏省盐城市亭湖区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
1．（2021秋•亭湖区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求出顶点坐标；
（2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2020秋•盐城期末）在2020年新冠肺炎抗疫期间，萌萌决定在淘宝上销售一批口罩，经市场调查，某类型口罩进价每袋为20元，当售价每袋为30元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少5袋；
（1）直接写出萌萌销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
3．（2022秋•亭湖区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？
三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
5．（2022秋•亭湖区期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
（1）求抛物线的表达式：
（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：
（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
四．直线与圆的位置关系（共2小题）
6．（2021秋•亭湖区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，∠B＝30°，求阴影部分的面积（结果保留π）．
7．（2022秋•亭湖区期末）数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度．
五．扇形面积的计算（共1小题）
8．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
六．圆的综合题（共2小题）
9．（2020秋•盐城期末）如图，已知点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），点P为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N，直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E，F两点，且PC：CA＝1：4．
（1）当点P运动使得点E为劣弧的中点时，求证：DF＝DN；
（2）在（1）的条件下，直接写出CP：DP的值为 ．
（3）设⊙A的半径为5，当△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．
10．（2022秋•亭湖区期末）在一次数学兴趣小组活动中，小亮利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小亮一起进入探索之旅．
【问题探索】
（1）如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点E在⊙O外，且∠A＝45°．则∠D＝ °，∠BOC＝ °，∠E 45°．（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【操作实践】
（2）如图2，已知线段BC和直线m，用直尺和圆规在直线m上作出所有点P，使∠BPC＝30°．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移应用】
（3）请运用探索所得的学习经验，解决问题：如图3，已知⊙O的半径为2，BC＝2，点A为优弧上一动点，AB⊥BD交AC的延长线于点D．
①求∠D的度数；
②△BCD面积的最大值．
七．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2021秋•亭湖区期末）如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2020秋•盐城期末）如图，已知△ABC，AB＝3，BC＝8，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，小慧想出了一个办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD；
（1）求证：△DBA∽△DAC；
（2）求边AC的长．
九．相似三角形的应用（共1小题）
13．（2020秋•盐城期末）如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）
一十．相似形综合题（共1小题）
14．（2020秋•盐城期末）阅读理解：
【问题引入】如图1，已知在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，S△ABC＝BC•AB，S△DEF＝EF•DE，故有，小敏提出疑问：若将条件∠ABC＝∠DEF＝90°，改为∠ABC+∠DEF＝180°，两三角形变为非直角三角形，如图2，则还成立吗？
【深入探究】于是，小敏过点A作BC边上的高AM，过点D作EF边上的高DN，试在此提示下，将小敏提出的问题的探究过程写出来．
【初步应用】将图1中的B、E两直角顶点重合，连接AD、CF，如图3，若AB：BC＝：1，DB：BF＝2：3，求的值．
【迁移拓展】将图2中的B、E两顶点重合，如图4，仍有∠ABC+∠DBF＝180°，在AC上取一点P，使∠ABP＝∠D，在DF上取一点Q，使∠DBQ＝∠A，易见△ABP∽△BDQ．
（1）求证：△CPB∽△BQF；
（2）若AB：BD＝3：2，BC：BF＝5：4，求的值．
一十一．方差（共1小题）
15．（2020秋•盐城期末）聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他在跟张师傅学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9．
（1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；
（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说：我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．
一十二．列表法与树状图法（共2小题）
16．（2020秋•盐城期末）把2颗相同小球放入一个2×2的正方形格子中，每个正方形格子只能放一颗小球，
（1）分析可能出现的所有摆放结果；
（2）求2颗小球既不同行也不同列的概率．
17．（2021秋•亭湖区期末）现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有﹣2，﹣1，0，1，2这五个数，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法列举（m，n）的所有可能结果．
（2）若将m，n的值代入二次函数y＝（x﹣m）2+n，求二次函数顶点在坐标轴上的概率．
江苏省盐城市亭湖区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
1．（2021秋•亭湖区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求出顶点坐标；
（2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）（1，0），（3，0）；（0，3）；
（3）当y＜0时，1＜x＜3．图象见解答部分．
【解答】解：（1）因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
当x＝0时，y＝3，
所以该二次函数与y轴的交点坐标为（0，3）．
（2）函数图象如图：
由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2020秋•盐城期末）在2020年新冠肺炎抗疫期间，萌萌决定在淘宝上销售一批口罩，经市场调查，某类型口罩进价每袋为20元，当售价每袋为30元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少5袋；
（1）直接写出萌萌销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣5x+400，w＝﹣5x2+500x﹣8000；
（2）销售单价为50元时，利润最大，最大利润是4500元．
【解答】解：（1）根据题意得：
y＝250﹣5（x﹣30）
＝250﹣5x+150
＝﹣5x+400，
∴w＝（x﹣20）（﹣5x+400）
＝﹣5x2+500x﹣8000，
∴所求的函数关系式为y＝﹣5x+400，w＝﹣5x2+500x﹣8000；
（2）根据题意得：，
解得：37≤x≤60．
∵函数w＝﹣5x2+500x﹣8000的对称轴为x＝﹣＝50，
∴当x＝50时，w最大值＝4500．
∴销售单价为50元时，利润最大，最大利润是4500元．
3．（2022秋•亭湖区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3.2，
将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2＝1.4，
解得：a＝﹣0.05，
则抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣6）2+3.2；
（2）当y＝0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2＝0，
解得：x1＝﹣2（舍），x2＝14，
所以足球第一次落地点C距守门员14米．
三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
【答案】（1）抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）当a＝2时PM最大，最大值PM＝，此时P点坐标（2，﹣3）．
（3）G（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）或（2，）．
【解答】解：（1）∵直线1：y＝2x+2与抛物线相交于点C，
∴C点坐标为（﹣1，0），
把4（0，﹣3），C （﹣1，0）代入函数解析式y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设P（a，a2﹣2a﹣3），
∵PM∥x轴，
∴M纵坐标为a2﹣2a﹣3，
∵点M在直线l：y＝2x+2上，
∴M（a2﹣a﹣，a2﹣2a﹣3），
∴PM＝a﹣（a2﹣a﹣）＝﹣a2+2a+＝﹣（x﹣2）2+，
∴当a＝2时PM最大，最大值PM＝，此时P点坐标（2，﹣3）．
（3）∵抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3，
∴顶点坐标（1，﹣4），与x轴的交点B （3，0），C （﹣1，0），
∵把抛物线绕点O旋转180°，
∴旋转前后对应点关于原点对称，
∴新抛物线的项点为（﹣1，4），与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），
∴设新抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4，
∴向上平移使得新抛物线过（2）中的P （2，﹣3）点，
设平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+k，
∴3＝﹣（2+1）2+4+k，解得k＝2，
∴平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+2＝﹣x2﹣2x+5，
∵E是平移后抛物线与y轴的交点，
∴E （0，5），
∵F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，
∴设F（1，t），G（m，n），
∵以B、E、F、G为顶点，BF为边的四边形是菱形，
∴线段BE可能是对角线也可能是边，
①当BE是对角线时，
∵菱形BFEG对角线BE，FG互相垂直平分，
∵E （0，5），B （3，0），
∴BE的中点坐标为（，），
∵BE的中点坐标也是FG的中点，
∴G （2，5﹣t），
∵GE＝GB，
∴（2﹣0）2+（5﹣t﹣5）2＝（2﹣3）2+（5﹣t﹣0）2，
解得：t＝，即G点坐标（2，）；
②当BE为边长时，BE＝BF，
由距离公式得，（3﹣0）2+（0﹣5）2＝（3﹣1）2+（0﹣t）2，
解得：t＝±，
∵菱形BFGE对角线互相垂直平分，
∴由中点坐标公式可得，G（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）；
综上，满足题意的点G的坐标为：（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）或（2，）．
5．（2022秋•亭湖区期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
（1）求抛物线的表达式：
（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：
（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）△PBC的面积是；
（3）①N（0，﹣3）；
②Q（，﹣）．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；
（2）如图：
∵点P落在抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴上，
∴P为抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴P（，），
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2）
由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
把x＝代入y＝﹣x+2得y＝，
∴E（，），
∴PE＝﹣＝，
∴S△PBC＝PE•|xB﹣xC|＝××4＝，
答：△PBC的面积是；
（3）①过点N作NG⊥EF于点G，如图：
∵y＝2x+m过点B（4，0），
∴0＝2×4+m，
解得m＝﹣8，
∴直线BM的表达式为：y＝2x﹣8，
∴M（0，﹣8），
设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8），
∵四边形BENF为矩形，
∴∠NEG＝∠BFH，NE＝BF，
又∠NGE＝90°＝∠BHF，
∴△NEG≌△BFH（AAS），
∴NG＝BH，EG＝FH，
而NG＝a，BH＝OB﹣OH＝4﹣a，
∴a＝4﹣a，
解得a＝2，
∴F（2，﹣4），E（2，1），
∴EH＝1，
∵EG＝FH，
∴EF﹣EG＝EF﹣FH，即GF＝EH＝1，
∵F（2，﹣4），
∴G（2，﹣3），
∴N（0，﹣3）；
②取MN的中点D，如图：
∵QN＝QM，
∴点Q在MN的垂直平分线上，
又∵B（4，0），N（0，﹣3），
∴BN＝5，
∴C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5＝BQ+MQ+5，
∴要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，
∴当点B、Q、M共线时，△QNB的周长最小，
此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，
∵N（0，﹣3），M（0，﹣8），
∴D（0，﹣），
在y＝2x﹣8中，令y＝﹣得：
﹣＝2x﹣8，
解得x＝，
∴Q（，﹣）．
四．直线与圆的位置关系（共2小题）
6．（2021秋•亭湖区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，∠B＝30°，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）见解析；
（2）2﹣π．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
而OD为半径，
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BOD＝60°，
在Rt△BOD中，OD＝BD＝×2＝2，
∴阴影部分的面积＝S△BOD﹣S扇形DOF
＝×2×2﹣
＝2﹣π．
7．（2022秋•亭湖区期末）数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠A′B′C＝∠ABC＝130°，∠BCB′＝50°，CB＝CB′，
∴∠CB′B＝65°，
∴∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠CB′B＝65°；
（2）（Ⅰ）直线BB′与⊙A′相切，
∵∠A′B′C＝∠ABC＝150°，∠BCB′＝60°，CB＝CB′，
∴∠CB′B＝60°，
∴∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠CB′B＝90°，
∴直线BB′与⊙A′相切；
（Ⅱ）在Rt△A′B′B中，∠A′B′B＝90°，BB′＝BC＝5，AB′＝AB＝3，
由勾股定理得，A′B＝＝．
五．扇形面积的计算（共1小题）
8．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
【答案】（1）（﹣）m2；
（2）0.1（m2）．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，OD为半径，
∴AC＝AB＝×2＝（m），
∠AOC＝∠AOB＝×120°＝60°，
在Rt△ACO中，∠OAC＝30°，
∴设OC＝x，则AO＝2x，
∴x2+＝（2x）2，
解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴OA＝2m，
∴弧田的实际面积＝S扇形AOB﹣S△OAB
＝﹣×2×1
＝（﹣）m2，
∴弧田的实际面积为（﹣）m2；
（2）∵圆心到弦的距离等于1，
∴矢长为1，
∴弧田面积＝（2×1+12）
＝（+）m2，
∴两者之差为：﹣﹣（+）
≈﹣1.7﹣1.7﹣
＝0.1（m2）．
六．圆的综合题（共2小题）
9．（2020秋•盐城期末）如图，已知点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），点P为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N，直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E，F两点，且PC：CA＝1：4．
（1）当点P运动使得点E为劣弧的中点时，求证：DF＝DN；
（2）在（1）的条件下，直接写出CP：DP的值为 3：5 ．
（3）设⊙A的半径为5，当△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）3：5．
（3）点P的坐标为（4，10），或（10，10）．
【解答】（1）证明：如图，连接NF，
∵CD⊥AP，
∴弧PE＝弧PF，
又∵点E为劣弧PN的中点，
∴弧PE＝弧NE，
∴弧EN＝弧PF，
∴∠PNF＝∠EFN，
∴DF＝DN．
（2）解：如图1，连接AE、AN，AE交PN于Q点，
∵弧PE＝弧NE，
∴AE⊥PN，
∵CD⊥AP，
∴∠DCP＝∠AQP＝90°，
∴∠QAP＝∠CDP，
∵PC：CA＝1：4，不妨设⊙A的半径为5k，则CA＝4k，AE＝5k，
在Rt△ACE中，EC＝＝＝3k，
∴sin∠CDP＝sin∠EAC，
∴＝＝＝．
故答案为：3：5．
（3）解：如图2，过点A作AQ⊥PB于Q，
∵⊙A的半径为5，PC：CA＝1：4，
∴PC＝1，
∵∠PCD＝∠PQA＝90°，
∴Rt△PCD∽Rt△PQA，
∴PD：PA＝PC：PQ，
∴PD＝＝，
当PQ最小时，PD最大，
∵AQ≤AB，
∴AQ＝AB时，AQ最大，此时AB⊥PB，
而PQ＝，
此时PQ最小，则PD最大，
又∵CD＝，
∴此时CD最大，
即AB⊥PB时，CD最大，如图3，
而S△APD＝AP•DC，
∴此时△APD的面积也达到最大，
∵点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），
∴AB＝4，
∴PB＝＝3，
∴点P的坐标为（4，10），或（10，10）．
10．（2022秋•亭湖区期末）在一次数学兴趣小组活动中，小亮利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小亮一起进入探索之旅．
【问题探索】
（1）如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点E在⊙O外，且∠A＝45°．则∠D＝ 45 °，∠BOC＝ 90 °，∠E ＜ 45°．（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【操作实践】
（2）如图2，已知线段BC和直线m，用直尺和圆规在直线m上作出所有点P，使∠BPC＝30°．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移应用】
（3）请运用探索所得的学习经验，解决问题：如图3，已知⊙O的半径为2，BC＝2，点A为优弧上一动点，AB⊥BD交AC的延长线于点D．
①求∠D的度数；
②△BCD面积的最大值．
【答案】（1）45，90，＜；
（2）作图见解答；
（3）①∠D的度数是45°；
②△BCD的面积的最大值为2+2．
【解答】解：（1）如图1，设BE交⊙O于点F，连接CF，
∵点A、B、C、D、F在⊙O上，且∠A＝45°，
∴∠D＝∠BFC＝∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∵∠E＜∠BFC，
∴∠E＜45°，
故答案为：45，90，＜．
（2）作法：1．分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在BC上方交于点O，
2．连接OB，以点O为圆心，OB长为半径作圆，交直线m于点P和点P′，
点P、点P′就是所求得点．
理由：连接OC、PB、PC、P′B、P′C，
根据作图得OC＝OB＝BC，
∴点C在⊙O上，∠BOC＝60°，
∴∠BPC＝∠BP′C＝∠BOC＝30°，
∴点P、点P′就是所求得点.
（3）①如图3，连接OB、OC，则OB＝OC＝2，
∵BC＝2，
∴OB2+OC2＝BC2＝8，
∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°，
∵∠A＝∠BOC＝45°，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠A＝45°，
∴∠D的度数是45°．
②如图4，作△BCD的外接圆H，连接HB、HC，则HB＝HC，∠BHC＝2∠BDC＝90°，
作HL⊥BC于点L，交⊙H于点G，使点G与点H在BC的同侧，连接BG、CG，
∴BL＝CL，
∴HL＝BL＝BC＝，
∴HG＝HB＝＝＝2，
∴GL＝HG+HL＝2+，
∴S△BCG＝×2×（2+）＝2+2，
作DK⊥BC交BC的延长线于点K，连接LD、HD，则HD＝HG＝2，
∵BC＝2为定值，
∴当DK的值最大时，则△BCD的面积最大，
∵DK≤DL，DL≤HD+HL，
∴DK≤2+，
∴当点D与点G重合时，DK＝GL＝2+，此时DK的值最大，
∴S△BCD＝S△BCG＝2+2，
∴△BCD的面积的最大值为2+2．
七．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2021秋•亭湖区期末）如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．
（2）连接OE，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，
∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，
∴四边形OEBD是矩形，
∵OE＝OD＝1，
∴四边形OEBD是正方形，
∴BD＝BE＝1，
∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，
在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，
∴（4+x）2＝52+（1+x）2，
∴x＝，
∴AC＝AF+CF＝4+＝．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2020秋•盐城期末）如图，已知△ABC，AB＝3，BC＝8，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，小慧想出了一个办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD；
（1）求证：△DBA∽△DAC；
（2）求边AC的长．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）AC＝．
【解答】解：（1）证明：∵DB＝AB，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠D＝∠DAB＝∠C，
∴DA＝AC，
∵∠D＝∠D，∠DAB＝∠C，
∴△DBA∽△DAC；
（2）∵AB＝3，BC＝8，DB＝AB，
∴DB＝3，CD＝BC+DB＝11，
∵△DBA∽△DAC，
∴DB：DA＝DA：DC，
∴3：DA＝DA：11，
解得DA＝，
∵DA＝AC，
∴AC＝．
九．相似三角形的应用（共1小题）
13．（2020秋•盐城期末）如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）
【答案】建筑物AB的高度为32m．
【解答】解：设AB为xm，BC为ym，
根据题意知，△ABC∽△DEC，有＝①．
△ABD∽△GFD，有＝②．
联立①②，得x＝32．
答：建筑物AB的高度为32m．
一十．相似形综合题（共1小题）
14．（2020秋•盐城期末）阅读理解：
【问题引入】如图1，已知在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，S△ABC＝BC•AB，S△DEF＝EF•DE，故有，小敏提出疑问：若将条件∠ABC＝∠DEF＝90°，改为∠ABC+∠DEF＝180°，两三角形变为非直角三角形，如图2，则还成立吗？
【深入探究】于是，小敏过点A作BC边上的高AM，过点D作EF边上的高DN，试在此提示下，将小敏提出的问题的探究过程写出来．
【初步应用】将图1中的B、E两直角顶点重合，连接AD、CF，如图3，若AB：BC＝：1，DB：BF＝2：3，求的值．
【迁移拓展】将图2中的B、E两顶点重合，如图4，仍有∠ABC+∠DBF＝180°，在AC上取一点P，使∠ABP＝∠D，在DF上取一点Q，使∠DBQ＝∠A，易见△ABP∽△BDQ．
（1）求证：△CPB∽△BQF；
（2）若AB：BD＝3：2，BC：BF＝5：4，求的值．
【答案】【深入探究】结论成立；
【初步应用】；
【迁移拓展】（1）证明见解答；
（2）．
【解答】解：【深入探究】∵∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠ABM＝∠DEF，
∵∠M＝∠DNE＝90°，
∴△ABM∽△DEN，
∴，
∴，
即结论成立；
【初步应用】∵∠ABC＝∠DBF＝90°，
∴∠ABD+∠CBF＝180°，
由探究知：，
【迁移拓展】（1）∵∠ABP＝∠D，∠A＝∠DBQ，
∴∠CPB＝∠BQF，
∵∠ABC+∠DBF＝180°，
∵∠ABC+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠C＝∠DBF，
∵∠A＝∠DBQ，
∴∠C＝∠QBF，
∵∠CPB＝∠BQF，
∴△CPB∽△BQF；
（2）∵△ABP∽△BDQ，
∴，
∵△CPB∽△BQF，
∴，
∴．
一十一．方差（共1小题）
15．（2020秋•盐城期末）聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他在跟张师傅学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9．
（1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；
（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说：我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．
【答案】（1）5；（2）张师傅每天加工的零件个数为：31、32、33、34、35、36、37、38、39．
【解答】解：（1）聪聪这9天加工零件数的平均数＝5；
（2）∵每天加工零件数的个位上数字都与聪聪相同，这9天加工零件数的平均数比聪聪多30，且方差和聪聪一样，
∴张师傅每天加工的零件个数为：31、32、33、34、35、36、37、38、39．
一十二．列表法与树状图法（共2小题）
16．（2020秋•盐城期末）把2颗相同小球放入一个2×2的正方形格子中，每个正方形格子只能放一颗小球，
（1）分析可能出现的所有摆放结果；
（2）求2颗小球既不同行也不同列的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在4个方格中标上字母A、B、C、D，如图：
画树状图如下：
共有12个等可能的情况，可能出现的所有摆放结果有6个：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC）；
（2）可能出现的所有摆放结果有6个，其中不同行且不同列的有AD、BC，2个，
∴2颗小球既不同行也不同列的概率为＝．
17．（2021秋•亭湖区期末）现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有﹣2，﹣1，0，1，2这五个数，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法列举（m，n）的所有可能结果．
（2）若将m，n的值代入二次函数y＝（x﹣m）2+n，求二次函数顶点在坐标轴上的概率．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有20种可能的结果；
（2）共有20种可能的结果，其中二次函数顶点在坐标轴上的结果有8种，
∴二次函数顶点在坐标轴上的概率为＝．
江苏省盐城市亭湖区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
1．（2021秋•亭湖区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求出顶点坐标；
（2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2020秋•盐城期末）在2020年新冠肺炎抗疫期间，萌萌决定在淘宝上销售一批口罩，经市场调查，某类型口罩进价每袋为20元，当售价每袋为30元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少5袋；
（1）直接写出萌萌销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
3．（2022秋•亭湖区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？
三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
5．（2022秋•亭湖区期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
（1）求抛物线的表达式：
（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：
（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
四．直线与圆的位置关系（共2小题）
6．（2021秋•亭湖区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，∠B＝30°，求阴影部分的面积（结果保留π）．
7．（2022秋•亭湖区期末）数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度．
五．扇形面积的计算（共1小题）
8．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
六．圆的综合题（共2小题）
9．（2020秋•盐城期末）如图，已知点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），点P为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N，直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E，F两点，且PC：CA＝1：4．
（1）当点P运动使得点E为劣弧的中点时，求证：DF＝DN；
（2）在（1）的条件下，直接写出CP：DP的值为 ．
（3）设⊙A的半径为5，当△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．
10．（2022秋•亭湖区期末）在一次数学兴趣小组活动中，小亮利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小亮一起进入探索之旅．
【问题探索】
（1）如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点E在⊙O外，且∠A＝45°．则∠D＝ °，∠BOC＝ °，∠E 45°．（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【操作实践】
（2）如图2，已知线段BC和直线m，用直尺和圆规在直线m上作出所有点P，使∠BPC＝30°．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移应用】
（3）请运用探索所得的学习经验，解决问题：如图3，已知⊙O的半径为2，BC＝2，点A为优弧上一动点，AB⊥BD交AC的延长线于点D．
①求∠D的度数；
②△BCD面积的最大值．
七．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2021秋•亭湖区期末）如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2020秋•盐城期末）如图，已知△ABC，AB＝3，BC＝8，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，小慧想出了一个办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD；
（1）求证：△DBA∽△DAC；
（2）求边AC的长．
九．相似三角形的应用（共1小题）
13．（2020秋•盐城期末）如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）
一十．相似形综合题（共1小题）
14．（2020秋•盐城期末）阅读理解：
【问题引入】如图1，已知在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，S△ABC＝BC•AB，S△DEF＝EF•DE，故有，小敏提出疑问：若将条件∠ABC＝∠DEF＝90°，改为∠ABC+∠DEF＝180°，两三角形变为非直角三角形，如图2，则还成立吗？
【深入探究】于是，小敏过点A作BC边上的高AM，过点D作EF边上的高DN，试在此提示下，将小敏提出的问题的探究过程写出来．
【初步应用】将图1中的B、E两直角顶点重合，连接AD、CF，如图3，若AB：BC＝：1，DB：BF＝2：3，求的值．
【迁移拓展】将图2中的B、E两顶点重合，如图4，仍有∠ABC+∠DBF＝180°，在AC上取一点P，使∠ABP＝∠D，在DF上取一点Q，使∠DBQ＝∠A，易见△ABP∽△BDQ．
（1）求证：△CPB∽△BQF；
（2）若AB：BD＝3：2，BC：BF＝5：4，求的值．
一十一．方差（共1小题）
15．（2020秋•盐城期末）聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他在跟张师傅学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9．
（1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；
（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说：我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．
一十二．列表法与树状图法（共2小题）
16．（2020秋•盐城期末）把2颗相同小球放入一个2×2的正方形格子中，每个正方形格子只能放一颗小球，
（1）分析可能出现的所有摆放结果；
（2）求2颗小球既不同行也不同列的概率．
17．（2021秋•亭湖区期末）现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有﹣2，﹣1，0，1，2这五个数，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法列举（m，n）的所有可能结果．
（2）若将m，n的值代入二次函数y＝（x﹣m）2+n，求二次函数顶点在坐标轴上的概率．
江苏省盐城市亭湖区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
1．（2021秋•亭湖区期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求出顶点坐标；
（2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣1）；
（2）（1，0），（3，0）；（0，3）；
（3）当y＜0时，1＜x＜3．图象见解答部分．
【解答】解：（1）因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
当x＝0时，y＝3，
所以该二次函数与y轴的交点坐标为（0，3）．
（2）函数图象如图：
由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
二．二次函数的应用（共2小题）
2．（2020秋•盐城期末）在2020年新冠肺炎抗疫期间，萌萌决定在淘宝上销售一批口罩，经市场调查，某类型口罩进价每袋为20元，当售价每袋为30元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少5袋；
（1）直接写出萌萌销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣5x+400，w＝﹣5x2+500x﹣8000；
（2）销售单价为50元时，利润最大，最大利润是4500元．
【解答】解：（1）根据题意得：
y＝250﹣5（x﹣30）
＝250﹣5x+150
＝﹣5x+400，
∴w＝（x﹣20）（﹣5x+400）
＝﹣5x2+500x﹣8000，
∴所求的函数关系式为y＝﹣5x+400，w＝﹣5x2+500x﹣8000；
（2）根据题意得：，
解得：37≤x≤60．
∵函数w＝﹣5x2+500x﹣8000的对称轴为x＝﹣＝50，
∴当x＝50时，w最大值＝4500．
∴销售单价为50元时，利润最大，最大利润是4500元．
3．（2022秋•亭湖区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3.2，
将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2＝1.4，
解得：a＝﹣0.05，
则抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣6）2+3.2；
（2）当y＝0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2＝0，
解得：x1＝﹣2（舍），x2＝14，
所以足球第一次落地点C距守门员14米．
三．二次函数综合题（共2小题）
4．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；
（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
【答案】（1）抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）当a＝2时PM最大，最大值PM＝，此时P点坐标（2，﹣3）．
（3）G（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）或（2，）．
【解答】解：（1）∵直线1：y＝2x+2与抛物线相交于点C，
∴C点坐标为（﹣1，0），
把4（0，﹣3），C （﹣1，0）代入函数解析式y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设P（a，a2﹣2a﹣3），
∵PM∥x轴，
∴M纵坐标为a2﹣2a﹣3，
∵点M在直线l：y＝2x+2上，
∴M（a2﹣a﹣，a2﹣2a﹣3），
∴PM＝a﹣（a2﹣a﹣）＝﹣a2+2a+＝﹣（x﹣2）2+，
∴当a＝2时PM最大，最大值PM＝，此时P点坐标（2，﹣3）．
（3）∵抛物线的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3，
∴顶点坐标（1，﹣4），与x轴的交点B （3，0），C （﹣1，0），
∵把抛物线绕点O旋转180°，
∴旋转前后对应点关于原点对称，
∴新抛物线的项点为（﹣1，4），与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），
∴设新抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4，
∴向上平移使得新抛物线过（2）中的P （2，﹣3）点，
设平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+k，
∴3＝﹣（2+1）2+4+k，解得k＝2，
∴平移后解析式为y＝﹣（x+1）2+4+2＝﹣x2﹣2x+5，
∵E是平移后抛物线与y轴的交点，
∴E （0，5），
∵F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，
∴设F（1，t），G（m，n），
∵以B、E、F、G为顶点，BF为边的四边形是菱形，
∴线段BE可能是对角线也可能是边，
①当BE是对角线时，
∵菱形BFEG对角线BE，FG互相垂直平分，
∵E （0，5），B （3，0），
∴BE的中点坐标为（，），
∵BE的中点坐标也是FG的中点，
∴G （2，5﹣t），
∵GE＝GB，
∴（2﹣0）2+（5﹣t﹣5）2＝（2﹣3）2+（5﹣t﹣0）2，
解得：t＝，即G点坐标（2，）；
②当BE为边长时，BE＝BF，
由距离公式得，（3﹣0）2+（0﹣5）2＝（3﹣1）2+（0﹣t）2，
解得：t＝±，
∵菱形BFGE对角线互相垂直平分，
∴由中点坐标公式可得，G（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）；
综上，满足题意的点G的坐标为：（﹣2，+5）或（﹣2，﹣+5）或（2，）．
5．（2022秋•亭湖区期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
（1）求抛物线的表达式：
（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：
（3）①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）△PBC的面积是；
（3）①N（0，﹣3）；
②Q（，﹣）．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+2；
（2）如图：
∵点P落在抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴上，
∴P为抛物线y＝﹣x2+x+2的顶点，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴P（，），
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2）
由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
把x＝代入y＝﹣x+2得y＝，
∴E（，），
∴PE＝﹣＝，
∴S△PBC＝PE•|xB﹣xC|＝××4＝，
答：△PBC的面积是；
（3）①过点N作NG⊥EF于点G，如图：
∵y＝2x+m过点B（4，0），
∴0＝2×4+m，
解得m＝﹣8，
∴直线BM的表达式为：y＝2x﹣8，
∴M（0，﹣8），
设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8），
∵四边形BENF为矩形，
∴∠NEG＝∠BFH，NE＝BF，
又∠NGE＝90°＝∠BHF，
∴△NEG≌△BFH（AAS），
∴NG＝BH，EG＝FH，
而NG＝a，BH＝OB﹣OH＝4﹣a，
∴a＝4﹣a，
解得a＝2，
∴F（2，﹣4），E（2，1），
∴EH＝1，
∵EG＝FH，
∴EF﹣EG＝EF﹣FH，即GF＝EH＝1，
∵F（2，﹣4），
∴G（2，﹣3），
∴N（0，﹣3）；
②取MN的中点D，如图：
∵QN＝QM，
∴点Q在MN的垂直平分线上，
又∵B（4，0），N（0，﹣3），
∴BN＝5，
∴C△QNB＝BQ+NQ+BN＝BQ+NQ+5＝BQ+MQ+5，
∴要使C△QNB最小，只需BQ+MQ最小，
∴当点B、Q、M共线时，△QNB的周长最小，
此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，
∵N（0，﹣3），M（0，﹣8），
∴D（0，﹣），
在y＝2x﹣8中，令y＝﹣得：
﹣＝2x﹣8，
解得x＝，
∴Q（，﹣）．
四．直线与圆的位置关系（共2小题）
6．（2021秋•亭湖区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，∠B＝30°，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）见解析；
（2）2﹣π．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切；
理由如下：
连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
而OD为半径，
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BOD＝60°，
在Rt△BOD中，OD＝BD＝×2＝2，
∴阴影部分的面积＝S△BOD﹣S扇形DOF
＝×2×2﹣
＝2﹣π．
7．（2022秋•亭湖区期末）数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠A′B′C＝∠ABC＝130°，∠BCB′＝50°，CB＝CB′，
∴∠CB′B＝65°，
∴∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠CB′B＝65°；
（2）（Ⅰ）直线BB′与⊙A′相切，
∵∠A′B′C＝∠ABC＝150°，∠BCB′＝60°，CB＝CB′，
∴∠CB′B＝60°，
∴∠A′B′B＝∠A′B′C﹣∠CB′B＝90°，
∴直线BB′与⊙A′相切；
（Ⅱ）在Rt△A′B′B中，∠A′B′B＝90°，BB′＝BC＝5，AB′＝AB＝3，
由勾股定理得，A′B＝＝．
五．扇形面积的计算（共1小题）
8．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
【答案】（1）（﹣）m2；
（2）0.1（m2）．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，OD为半径，
∴AC＝AB＝×2＝（m），
∠AOC＝∠AOB＝×120°＝60°，
在Rt△ACO中，∠OAC＝30°，
∴设OC＝x，则AO＝2x，
∴x2+＝（2x）2，
解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴OA＝2m，
∴弧田的实际面积＝S扇形AOB﹣S△OAB
＝﹣×2×1
＝（﹣）m2，
∴弧田的实际面积为（﹣）m2；
（2）∵圆心到弦的距离等于1，
∴矢长为1，
∴弧田面积＝（2×1+12）
＝（+）m2，
∴两者之差为：﹣﹣（+）
≈﹣1.7﹣1.7﹣
＝0.1（m2）．
六．圆的综合题（共2小题）
9．（2020秋•盐城期末）如图，已知点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），点P为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N，直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E，F两点，且PC：CA＝1：4．
（1）当点P运动使得点E为劣弧的中点时，求证：DF＝DN；
（2）在（1）的条件下，直接写出CP：DP的值为 3：5 ．
（3）设⊙A的半径为5，当△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）3：5．
（3）点P的坐标为（4，10），或（10，10）．
【解答】（1）证明：如图，连接NF，
∵CD⊥AP，
∴弧PE＝弧PF，
又∵点E为劣弧PN的中点，
∴弧PE＝弧NE，
∴弧EN＝弧PF，
∴∠PNF＝∠EFN，
∴DF＝DN．
（2）解：如图1，连接AE、AN，AE交PN于Q点，
∵弧PE＝弧NE，
∴AE⊥PN，
∵CD⊥AP，
∴∠DCP＝∠AQP＝90°，
∴∠QAP＝∠CDP，
∵PC：CA＝1：4，不妨设⊙A的半径为5k，则CA＝4k，AE＝5k，
在Rt△ACE中，EC＝＝＝3k，
∴sin∠CDP＝sin∠EAC，
∴＝＝＝．
故答案为：3：5．
（3）解：如图2，过点A作AQ⊥PB于Q，
∵⊙A的半径为5，PC：CA＝1：4，
∴PC＝1，
∵∠PCD＝∠PQA＝90°，
∴Rt△PCD∽Rt△PQA，
∴PD：PA＝PC：PQ，
∴PD＝＝，
当PQ最小时，PD最大，
∵AQ≤AB，
∴AQ＝AB时，AQ最大，此时AB⊥PB，
而PQ＝，
此时PQ最小，则PD最大，
又∵CD＝，
∴此时CD最大，
即AB⊥PB时，CD最大，如图3，
而S△APD＝AP•DC，
∴此时△APD的面积也达到最大，
∵点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），
∴AB＝4，
∴PB＝＝3，
∴点P的坐标为（4，10），或（10，10）．
10．（2022秋•亭湖区期末）在一次数学兴趣小组活动中，小亮利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小亮一起进入探索之旅．
【问题探索】
（1）如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点E在⊙O外，且∠A＝45°．则∠D＝ 45 °，∠BOC＝ 90 °，∠E ＜ 45°．（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【操作实践】
（2）如图2，已知线段BC和直线m，用直尺和圆规在直线m上作出所有点P，使∠BPC＝30°．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移应用】
（3）请运用探索所得的学习经验，解决问题：如图3，已知⊙O的半径为2，BC＝2，点A为优弧上一动点，AB⊥BD交AC的延长线于点D．
①求∠D的度数；
②△BCD面积的最大值．
【答案】（1）45，90，＜；
（2）作图见解答；
（3）①∠D的度数是45°；
②△BCD的面积的最大值为2+2．
【解答】解：（1）如图1，设BE交⊙O于点F，连接CF，
∵点A、B、C、D、F在⊙O上，且∠A＝45°，
∴∠D＝∠BFC＝∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∵∠E＜∠BFC，
∴∠E＜45°，
故答案为：45，90，＜．
（2）作法：1．分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在BC上方交于点O，
2．连接OB，以点O为圆心，OB长为半径作圆，交直线m于点P和点P′，
点P、点P′就是所求得点．
理由：连接OC、PB、PC、P′B、P′C，
根据作图得OC＝OB＝BC，
∴点C在⊙O上，∠BOC＝60°，
∴∠BPC＝∠BP′C＝∠BOC＝30°，
∴点P、点P′就是所求得点.
（3）①如图3，连接OB、OC，则OB＝OC＝2，
∵BC＝2，
∴OB2+OC2＝BC2＝8，
∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°，
∵∠A＝∠BOC＝45°，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠A＝45°，
∴∠D的度数是45°．
②如图4，作△BCD的外接圆H，连接HB、HC，则HB＝HC，∠BHC＝2∠BDC＝90°，
作HL⊥BC于点L，交⊙H于点G，使点G与点H在BC的同侧，连接BG、CG，
∴BL＝CL，
∴HL＝BL＝BC＝，
∴HG＝HB＝＝＝2，
∴GL＝HG+HL＝2+，
∴S△BCG＝×2×（2+）＝2+2，
作DK⊥BC交BC的延长线于点K，连接LD、HD，则HD＝HG＝2，
∵BC＝2为定值，
∴当DK的值最大时，则△BCD的面积最大，
∵DK≤DL，DL≤HD+HL，
∴DK≤2+，
∴当点D与点G重合时，DK＝GL＝2+，此时DK的值最大，
∴S△BCD＝S△BCG＝2+2，
∴△BCD的面积的最大值为2+2．
七．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2021秋•亭湖区期末）如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C与B不重合）．
（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．
（2）连接OE，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，
∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，
∴四边形OEBD是矩形，
∵OE＝OD＝1，
∴四边形OEBD是正方形，
∴BD＝BE＝1，
∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，
在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，
∴（4+x）2＝52+（1+x）2，
∴x＝，
∴AC＝AF+CF＝4+＝．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2020秋•盐城期末）如图，已知△ABC，AB＝3，BC＝8，且∠ABC＝2∠C，为了求边AC的长，小慧想出了一个办法，将边BC反向延长至点D，使DB＝AB，连接AD；
（1）求证：△DBA∽△DAC；
（2）求边AC的长．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）AC＝．
【解答】解：（1）证明：∵DB＝AB，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠D＝∠DAB＝∠C，
∴DA＝AC，
∵∠D＝∠D，∠DAB＝∠C，
∴△DBA∽△DAC；
（2）∵AB＝3，BC＝8，DB＝AB，
∴DB＝3，CD＝BC+DB＝11，
∵△DBA∽△DAC，
∴DB：DA＝DA：DC，
∴3：DA＝DA：11，
解得DA＝，
∵DA＝AC，
∴AC＝．
九．相似三角形的应用（共1小题）
13．（2020秋•盐城期末）如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）
【答案】建筑物AB的高度为32m．
【解答】解：设AB为xm，BC为ym，
根据题意知，△ABC∽△DEC，有＝①．
△ABD∽△GFD，有＝②．
联立①②，得x＝32．
答：建筑物AB的高度为32m．
一十．相似形综合题（共1小题）
14．（2020秋•盐城期末）阅读理解：
【问题引入】如图1，已知在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，S△ABC＝BC•AB，S△DEF＝EF•DE，故有，小敏提出疑问：若将条件∠ABC＝∠DEF＝90°，改为∠ABC+∠DEF＝180°，两三角形变为非直角三角形，如图2，则还成立吗？
【深入探究】于是，小敏过点A作BC边上的高AM，过点D作EF边上的高DN，试在此提示下，将小敏提出的问题的探究过程写出来．
【初步应用】将图1中的B、E两直角顶点重合，连接AD、CF，如图3，若AB：BC＝：1，DB：BF＝2：3，求的值．
【迁移拓展】将图2中的B、E两顶点重合，如图4，仍有∠ABC+∠DBF＝180°，在AC上取一点P，使∠ABP＝∠D，在DF上取一点Q，使∠DBQ＝∠A，易见△ABP∽△BDQ．
（1）求证：△CPB∽△BQF；
（2）若AB：BD＝3：2，BC：BF＝5：4，求的值．
【答案】【深入探究】结论成立；
【初步应用】；
【迁移拓展】（1）证明见解答；
（2）．
【解答】解：【深入探究】∵∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠ABM＝∠DEF，
∵∠M＝∠DNE＝90°，
∴△ABM∽△DEN，
∴，
∴，
即结论成立；
【初步应用】∵∠ABC＝∠DBF＝90°，
∴∠ABD+∠CBF＝180°，
由探究知：，
【迁移拓展】（1）∵∠ABP＝∠D，∠A＝∠DBQ，
∴∠CPB＝∠BQF，
∵∠ABC+∠DBF＝180°，
∵∠ABC+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠C＝∠DBF，
∵∠A＝∠DBQ，
∴∠C＝∠QBF，
∵∠CPB＝∠BQF，
∴△CPB∽△BQF；
（2）∵△ABP∽△BDQ，
∴，
∵△CPB∽△BQF，
∴，
∴．
一十一．方差（共1小题）
15．（2020秋•盐城期末）聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他在跟张师傅学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9．
（1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；
（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说：我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．
【答案】（1）5；（2）张师傅每天加工的零件个数为：31、32、33、34、35、36、37、38、39．
【解答】解：（1）聪聪这9天加工零件数的平均数＝5；
（2）∵每天加工零件数的个位上数字都与聪聪相同，这9天加工零件数的平均数比聪聪多30，且方差和聪聪一样，
∴张师傅每天加工的零件个数为：31、32、33、34、35、36、37、38、39．
一十二．列表法与树状图法（共2小题）
16．（2020秋•盐城期末）把2颗相同小球放入一个2×2的正方形格子中，每个正方形格子只能放一颗小球，
（1）分析可能出现的所有摆放结果；
（2）求2颗小球既不同行也不同列的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在4个方格中标上字母A、B、C、D，如图：
画树状图如下：
共有12个等可能的情况，可能出现的所有摆放结果有6个：AB（BA）、AC（CA）、AD（DA）、BC（CB）、BD（DB）、CD（DC）；
（2）可能出现的所有摆放结果有6个，其中不同行且不同列的有AD、BC，2个，
∴2颗小球既不同行也不同列的概率为＝．
17．（2021秋•亭湖区期末）现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有﹣2，﹣1，0，1，2这五个数，将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取两张，将卡片上的数字记为（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法列举（m，n）的所有可能结果．
（2）若将m，n的值代入二次函数y＝（x﹣m）2+n，求二次函数顶点在坐标轴上的概率．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有20种可能的结果；
（2）共有20种可能的结果，其中二次函数顶点在坐标轴上的结果有8种，
∴二次函数顶点在坐标轴上的概率为＝．
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