江苏省徐州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编

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江苏省徐州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二次函数的应用（共3小题）
1．（2020秋•徐州期末）某网店以每件40元的价格购进一批商品，若以单价60元销售，每月可售出300件，已知单价每上涨1元，该商品每月的销售就减少10件，设单价上涨x元时，每月销售该商品的利润为y；
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
2．（2021秋•徐州期末）果园现有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备增种橙子树以提高总产量．随着果树密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少5个，设增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．
（1）写出y与x之间的函数表达式（结果化为一般式）；
（2）增种多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？
3．（2022秋•徐州期末）某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．
（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？
二．二次函数综合题（共1小题）
4．（2021秋•徐州期末）如图，抛物线与x轴交于两点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P为抛物线上的动点，直线l经过B、C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在第一象限，以P为圆心的圆与BC相切，随着点P的运动，⊙P的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留π）；若不存在，说明理由．

三．直线与圆的位置关系（共1小题）
5．（2020秋•徐州期末）如图，点P在⊙O外，M为OP的中点，以点M为圆心，以MO为半径画弧，交⊙O于点A，B，连接PA；
（1）判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接AB，若OP＝9，⊙O的半径为3，求AB的长．

四．作图—应用与设计作图（共1小题）
6．（2021秋•徐州期末）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．
（1）用数学的眼光观察，图2 　 　．
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．

五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
7．（2021秋•徐州期末）如图，已知ABCD为矩形纸片，＝．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点？请说明理由．

六．相似图形（共1小题）
8．（2020秋•徐州期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．

（1）A4纸较长边与较短边的比为　 　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
七．作图-位似变换（共1小题）
9．（2020秋•徐州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（2，4），B（﹣4，2），C（﹣2，﹣2）；
（1）以原点O为位似中心，画出一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；
（2）根据（1）的作图，△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1　 　，B1　 　，C1　 　．

八．相似形综合题（共1小题）
10．（2022秋•徐州期末）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　 　cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

九．解直角三角形（共1小题）
11．（2020秋•徐州期末）如图1，将一副三角板拼在一起（图2为示意图），则∠ABD＝75°，已知AC＝6cm，求sin75°的值．（结果保留根号）

一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2021秋•徐州期末）如图，为测量广场雕塑的高度AB，小明在广场平地上的点C处，测得雕塑顶部A的仰角为30°，在线段CB上的点D处，测得雕塑顶部A的仰角为75°．已知CD＝12m．
（1）D到CA的距离为 　 　m；
（2）求建筑物的高AB．（结果保留根号）

一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
13．（2022秋•徐州期末）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

一十二．列表法与树状图法（共2小题）
14．（2020秋•徐州期末）骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，同时投掷两枚质地均匀的骰子，请用列表的方法，求两枚骰子朝上一面点数之和为9的概率．
15．（2021秋•徐州期末）临近考试，某学校为考生提供下列减压方式：
A．交流谈心；
B．有氧运动；
C．欣赏音乐；
D．安静休息．
考生可从中选择一种方式进行减压．
（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是 　 　；
（2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．

江苏省徐州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共3小题）
1．（2020秋•徐州期末）某网店以每件40元的价格购进一批商品，若以单价60元销售，每月可售出300件，已知单价每上涨1元，该商品每月的销售就减少10件，设单价上涨x元时，每月销售该商品的利润为y；
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）y＝﹣10x2+100x+6000；
（2）当售价为65元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）
＝（20+x）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣10x2+100x+6000；
（2）y＝﹣10x2+100x+6000
＝﹣10（x﹣5）2+6250，
∴当x＝5时，y取得最大值6250，
此时单价为：60+5＝65（元）．
∴当售价为65元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．
2．（2021秋•徐州期末）果园现有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备增种橙子树以提高总产量．随着果树密度的增加，果树的采光相应减少，每增种一棵树，平均每棵树的橙子产量减少5个，设增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个．
（1）写出y与x之间的函数表达式（结果化为一般式）；
（2）增种多少棵橙子树，该果园橙子的总产量最大？最大值为多少？
【答案】（1）y＝﹣5x2+100x+60000．
（2）x＝10时，y取最大值为60500．
【解答】解：（1）由题意得y＝（100+x）（600﹣5x）＝﹣5x2+100x+60000．
（2）∵y＝﹣5x2+100x+6＝﹣5（x﹣10）2+60500，
∴当x＝10时，y取最大值为60500．
3．（2022秋•徐州期末）某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．
（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴x＝30时，w有最大值200，
答：售价为30元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；

（2）当w＝150时，可得﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x1＝25，x2＝35，
∵35＞28，
∴x2＝35不合题意，应舍去，
答：该农户若要每天获利150元，售价应定为每千克25元．
二．二次函数综合题（共1小题）
4．（2021秋•徐州期末）如图，抛物线与x轴交于两点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P为抛物线上的动点，直线l经过B、C两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在第一象限，以P为圆心的圆与BC相切，随着点P的运动，⊙P的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留π）；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+x﹣3；
（2）存在，⊙P的面积的最大值为．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣4），
把（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣4），
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3；
（2）存在．
过点P作PN⊥BC于点N，作y轴的平行线交BC于点M，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（m，﹣m﹣3），则M（m，m﹣3），
∴PM＝（﹣m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣+3m，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S△PBC＝PM•OB＝BC•PN，
∴PN＝＝﹣m＝﹣，
∴m＝2时，PN有最大值为，
∴⊙P的面积的最大值为π．
三．直线与圆的位置关系（共1小题）
5．（2020秋•徐州期末）如图，点P在⊙O外，M为OP的中点，以点M为圆心，以MO为半径画弧，交⊙O于点A，B，连接PA；
（1）判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接AB，若OP＝9，⊙O的半径为3，求AB的长．

【答案】（1）PA是⊙O的切线，理由如下见解析；
（2）4．
【解答】解：（1）PA是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OA，
∴OP是⊙M的直径，点A是⊙M上一点，
∴∠OAP＝90°，
即OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）设⊙O与OP的交点为N，AB与OP的交点为E，
连接AN，AM，BM，
∵MA＝MB，OA＝OB，
∴OP是线段AB的垂直平分线，
∴AB⊥OP，AE＝BE，
∵OP＝9，OA＝3，
∴AP＝＝6，
∴S△OAP＝OA•AP＝AE•OP，
∴OA•AP＝AE•OP，
∴3×6＝9AE，
∴AE＝2，
∴AB＝4．

四．作图—应用与设计作图（共1小题）
6．（2021秋•徐州期末）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．
（1）用数学的眼光观察，图2 　C　．
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
（2）请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．

【答案】（1）C；
（2）作图见解析部分；
（3）这枚古钱币是真品．
【解答】解：（1）图2既是轴对称图形又是中心对称图形，
故答案为：C；

（2）如图2中，点O即为所求；


（3）如图3中，连接BC．

∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∵BC＝＝＝≈3.6（cm），
∴这枚古钱币是真品．
五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
7．（2021秋•徐州期末）如图，已知ABCD为矩形纸片，＝．将其沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC．再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点？请说明理由．

【答案】点E是AD的中点，理由见解答．
【解答】解：点E是AD的中点，理由是：
由题意得：BE⊥AC，
∴∠BOA＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴△BAE∽△ADC，
∴＝，
∵＝，
∴设AB＝a，则AD＝a，
∴＝，
∴AE＝a，
∴AE＝AD，
∴点E是AD的中点．
六．相似图形（共1小题）
8．（2020秋•徐州期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．

（1）A4纸较长边与较短边的比为　　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
【答案】（1）．
（2）A4纸与A5纸相似，理由见解答．
【解答】解：（1）如图1，

由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
七．作图-位似变换（共1小题）
9．（2020秋•徐州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（2，4），B（﹣4，2），C（﹣2，﹣2）；
（1）以原点O为位似中心，画出一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；
（2）根据（1）的作图，△A1B1C1各顶点的坐标分别为A1　（1，2）　，B1　（﹣2，1）　，C1　（﹣1，﹣1）　．

【答案】（1）图见解答；
（2）A1（1，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，﹣1）．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）A1（1，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，﹣1）．
故答案为：A1（1，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，﹣1）．
八．相似形综合题（共1小题）
10．（2022秋•徐州期末）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　（10）　cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．
故答案为：（10﹣10）．
（2）延长EA，CG交于点M，

∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC＝＝＝10，
∴EM＝10，
∴DM＝10+10，
∴tan∠DMC＝＝．
∴tan∠BCG＝，
即，
∵AB＝BC，
∴，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CFB＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴，
∴，
∴BP＝BC．
九．解直角三角形（共1小题）
11．（2020秋•徐州期末）如图1，将一副三角板拼在一起（图2为示意图），则∠ABD＝75°，已知AC＝6cm，求sin75°的值．（结果保留根号）

【答案】．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，如图2所示：
则AE＝CF，EF＝AC＝6cm，DE∥AC，
∴∠CDF+∠ACD＝180°，
由题意得：∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AC＝6cm，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠CBD＝30°，
∴∠ACD＝45°+90°＝135°，BC＝AC＝6（cm），CD＝BC＝2（cm），BD＝2CD＝4（cm），
∴∠DCF＝45°，
∵CF⊥DE，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴AE＝CF＝DF＝CD＝2（cm），
∴BE＝AB﹣AE＝（6﹣2）cm，
∴DE＝＝＝（6+2）cm，
∴sin75°＝sin∠ABD＝＝＝．

一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2021秋•徐州期末）如图，为测量广场雕塑的高度AB，小明在广场平地上的点C处，测得雕塑顶部A的仰角为30°，在线段CB上的点D处，测得雕塑顶部A的仰角为75°．已知CD＝12m．
（1）D到CA的距离为 　6　m；
（2）求建筑物的高AB．（结果保留根号）

【答案】（1）6；
（2）3（+1）m．
【解答】解：（1）根据题意可知：AB⊥BC，∠ACB＝30°，CD＝12m．
如图，过点D作DH⊥AC于点H，

∴DH＝AD＝6m，
故答案为：6；
（2）根据题意可知：∠ACB＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠DAH＝45°，CH＝6m，
∴AH＝DH＝6m，
∴AC＝AH+CH＝6（+1）m，
∴AB＝AC＝3（+1）m．
答：建筑物的高AB为3（+1）m．
一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
13．（2022秋•徐州期末）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点P作PN⊥BC于N，如图，
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM＝PM＝×30＝15（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝30m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ＝PN＝10m，PQ＝2NQ＝20≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．

一十二．列表法与树状图法（共2小题）
14．（2020秋•徐州期末）骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，同时投掷两枚质地均匀的骰子，请用列表的方法，求两枚骰子朝上一面点数之和为9的概率．
【答案】．
【解答】解：根据题意列表如下：

共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子朝上一面点数之和为9的有4种结果，
∴两枚骰子朝上一面点数之和为9的概率为＝．
15．（2021秋•徐州期末）临近考试，某学校为考生提供下列减压方式：
A．交流谈心；
B．有氧运动；
C．欣赏音乐；
D．安静休息．
考生可从中选择一种方式进行减压．
（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是 　　；
（2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是，
故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有7种，
则至少有一人选择“有氧运动”的概率是．