数学1.3 探索三角形全等的条件练习

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【知识点1】全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

【知识点2】全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
【知识点3】三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

【知识点4】判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【考点一】三角形全等➼➻用“角边角（角角边）”证明三角形全等
【例1】如图，中，，连接，，且．
求证：；
若，，试求的长．

【答案】(1)证明见分析； (2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，即可求得．
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）由（1）结论可得，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，，．
求证：；
若，，求的长度．

【答案】(1)见分析； (2)4
【分析】（1）由，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得的长度．
（1） 证明：∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长度是4．
【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键．
【变式2】如图，，垂足分别为D，E．
求证：；
若，求的长．

【答案】(1)见分析； (2)
【分析】（1）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，即可解答．
（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和全等的三个条件．
【考点二】三角形全等➼➻三角形全等性质与“角边角（角角边）”综合
【例2】如图，在中，、是的角平分线，且、相交于点O．求证：．

【分析】先根据三角形内角和定理得到，再利用角平分线的定义以及三角形内角和得到的度数；在上截取，先证明得到，，再得到，接着证明得到，然后利用等线段代换得到结论．
解：∵，，
∴ ，
∵，均为的角平分线，
∴，，
∴，
∴．
在上截取，如图所示：

∵平分，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法．也考查了角平分线的定义．
【举一反三】
【变式1】如图，在和中，，点D在线段上（与A，B不重合），连接．
证明：．
若，求的长．

【答案】(1)见分析； (2) 9
【分析】（1）直接根据角边角进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质进行求解即可．
解：（1）∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】补充完成下列推理过程：
已知：如图，在中，为的中点，过点作，交于点是上一点，连接，且，求证：．

证明：∵为的中点（已知），
∴（_____________________），
∵（已知），
∴（_____________________），
又（已知），
∴（_____________________），
∴_______，
在与中
，
∴（___________），
∴（_____________________）．
【答案】中点性质 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 全等三角形对应边相等
【分析】根据平行线的性质与判定得到边与角的关系，再根据全等三角形的判定和性质即可得到答案．
证明：∵为AB的中点（已知），
∴（中点性质），
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴，
在与中
∴（），
∴（全等三角形对应边相等）．
故答案：中点性质 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 全等三角形对应边相等．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用平行线的性质和中点性质，得到三角形全等的条件是解题的关键．
【考点三】三角形全等➼➻“角边角（角角边）”和“边边边”“边角边”综合
【例3】如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．
(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明．

【答案】(1)①（答案不唯一）； (2)见分析
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可；
（2）结合（1）进行求解即可．
（1）解：可选取①或③（只选一个即可）， 故答案为：①（答案不唯一）；
（2）证明：当选取①时，
，
，
在与中，
，
，
；
当选取③时，
，
，
在与中，
，
，
．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
【举一反三】
【变式1】如图，，AB=CD，点E、F在BC上，从①，②AF=DE中选择一个作为补充条件，另一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．
你选的补充条件是 ，结论是 ．(填序号)

【答案】①，②；过程见分析
【分析】根据可知，结合，再添加AF=DE， 不能证明三角形全等，所以添加条件①，证明，利用AAS证明，可得出结论②，即可求解．
解：你选的补充条件是①，结论是②，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴（AAS），
∴AF=DE．
故答案为：①，②．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．
【分析】证△ABE≌△ACD，推出∠B=∠C，AD=AE，求出BD=CE，证△BDO≌△CEO，根据全等三角形的性质推出即可．
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ABE和△ACD中

∴△ABE≌△ACD （AAS），
∴∠B＝∠C，AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在△BDO和△CEO中

∴△BDO≌△CEO （AAS），
∴OB＝OC．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
【考点四】三角形全等➼➻添加条件证明三角形全等
【例4】如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．
请添加一个条件________使，并说明理由．
在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)，理由见分析；(2)，理由见分析．
【分析】（1）利用判定定理，添加即可判断；
（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．
（1）解：添加条件：，理由如下：
∵，，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，在中，．
(1)如图①，若，，垂足分别为，，请你说明．
(2)如图②，若是上一点（、除外），，，垂足分别为，，请问：成立吗？并说明理由．
(3)如图③，若（2）中，不垂直于，，要使，需添加什么条件．并在你添加的条件下说明．

【答案】(1) 见分析；(2) 成立，见分析；(3) ，见分析
【分析】(1) 利用证明即可．(2) 利用证明即可．(3) 添加，利用证明即可．
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）成立．理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）添加．理由如下：
∵
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如图1所示，BC边在直线l上，若Rt△ABC绕点C沿顺时针方向旋转α，过点A、B分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
当0＜α＜90°时，证明：△ACD≌△CBE，并探究线段AD、BE和DE的数量关系并说明理由；
当90°＜α＜180°，且α≠135°时，探究线段AD、BE和DE的数量关系（直接写出结果）．

【答案】(1)DE=AD+BE，理由见分析；(2)AD=DE+BE
【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAD，可得BE=CD，AD=CE，可得结论；
（2）由“AAS”可证△BCE≌△CAD，可得BE=CD，AD=CE，可得结论．
（1）解：DE=AD+BE，理由如下：
证明：∵BE⊥ED，AD⊥DE，
∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=AD+BE；
（2）解： AD=DE+BE，理由如下：
如图，

∵BE⊥ED，AD⊥DE，
∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC=∠BCE，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴BE=CD，AD=CE，
∴AD=DE+BE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS