第29讲 三角函数的图像与性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

第29讲 三角函数的图象与性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)“五点法”作图原理：

在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).

(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．

2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质

1、（2023年全国1卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．

【命题意图】本题考查三角函数图象和零点问题，考查数学运算的核心素养.

难度：中等偏下.

【答案】

【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图象性质即可得解.

【详解】因为，所以，

令，则有3个根，

令，则有3个根，其中，

结合余弦函数的图象性质可得，故，

故答案为：.

2、【2022年北京】已知函数，则（       ）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．在上单调递减 D．在上单调递增

【答案】C

【解析】

【分析】

化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】

因为.

对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；

对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；

对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；

对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.

故选：C.

1、y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)

A.   B．[0，π]

C.   D.

【答案】　D

【解析】　将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．

故选D.

2、函数f(x)＝的定义域为(　　)

A.(k∈Z)      B.(k∈Z)

C.(k∈Z)      D.(k∈Z)

【答案】　B

【解析】　由题意，得2sin x－1≥0，

x∈(k∈Z)，

则x∈(k∈Z)．

3、（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（       ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为

故选：C

4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

令，解得，，

因为，所以，则，

故，解得 ，所以最大值为．

故选：B．

5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有(　　)

A. y＝|sin x|＋|cos x|

B. y＝sin2x－cos2x

C. y＝4sin2x cos2x

D. y＝

【答案】BC.

【解析】 对于A，y＝＝≤，当且仅当sin 2x＝±1，即x＝＋，k∈Z时取“＝”，即当x＝＋，k∈Z时，ymax＝，故A错误；对于B，y＝－(cos2x－sin2x)＝－cos2x≤1，当且仅当2x＝2kπ－π，即x＝kπ－，k∈Z时取“＝”，即当x＝kπ－，k∈Z时，ymax＝1，故B正确；对于C，y＝(2sin x cos x)2＝sin22x≤1，当且仅当sin2x＝±1，即x＝＋，k∈Z时取“＝”，即当x＝＋，k∈Z时，ymax＝1，故C正确；对于D，依题意，由tan x，tan 2x都有意义，且tan 2x－tan x≠0，得x≠kπ，且x≠kπ＋，且x≠＋，k∈Z，y＝＝＝＝sin 2x，显然sin 2x最大值为1，此时，x＝kπ＋，k∈Z，而kπ＋，k∈Z使函数y＝无意义，即sin 2x不能取到1，故D不正确．故选BC.

考向一　三角函数的定义域

例1　(1)函数y＝的定义域为________．

【答案】　

【解析】　要使函数有意义，

则

即

故函数的定义域为

.

（2）函数y＝的定义域为________．

【答案】　(k∈Z)

【解析】　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，

如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.

变式、函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．

【答案】　∪

【解析】　∵函数y＝lg(sin 2x)＋，

∴应满足

解得其中k∈Z，

∴－3≤x<－或0<x<，

∴函数的定义域为∪.

方法总结：三角函数定义域的求法

(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．

(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．

2．简单三角不等式的解法

(1)利用三角函数线求解．

(2)利用三角函数的图象求解．

考向二  三角函数的值域(最值)

例2、已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋）＋2a＋b，f(x)在R上的值域是 [－5，1]，求a的值．

【解析】 因为sin ∈[－1，1]，所以－2a sin （2x＋）∈[－2a，2a]，所以f(x)∈[b，4a＋b].

因为f(x)的值域是[－5，1]，所以b＝－5，4a＋b＝1，解得a＝>0，故a的值为.

变式1、　已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋）＋2a＋b.当x∈时，f(x)的值域是[－5，1]，求a的值．

【解析】 因为x∈，所以2x＋∈，所以sin ∈，所以－2a sin （2x＋）∈[－2a，a]，所以f(x)∈[b，3a＋b].因为f(x)的值域是[－5，1]，所以b＝－5，3a＋b＝1，解得a＝2>0，故a的值为2.

变式2、　求下列函数的值域：

(1) y＝；

(2) y＝(0<x<π).

【解析】 (1) 因为y＝＝1－，所以当sin x＝－1时，ymin＝1＋＝，所以该函数的值域为.

(2) 令t＝sin x－cos x，则t＝sin .

因为0<x<π，所以－<x－<，

所以－1<t≤.又因为sin x cos x＝，

所以y＝＝＝，

所以≤y<1，所以该函数的值域为[，1）

方法总结：1. 直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．

2. 化一法：将所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域．

3. 换元法：将sin x，cos x，sin x cos x或 sin x±cos x换成t，转化为二次函数来求解．

考向三  三角函数的单调性

例3、求函数 y＝sin 的单调增区间．

【解析】 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

故所求函数的单调增区间为(k∈Z).

变式1、　求下列函数的单调增区间．

(1) y＝sin ，x∈[0，π]；

(2) y＝sin ；

(3) y＝.

【解析】 (1) 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).

因为x∈[0，π]，所以0≤x≤，≤x≤π，

故所求函数的单调增区间为[0，]，.

(2) 因为y＝sin ＝－sin ，

所以由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

故所求函数的单调增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.

(3) 由kπ≤2x－≤kπ＋(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)，

故所求函数的单调增区间为[＋，＋]，k∈Z.

变式2、设ω>0，若函数y＝4sin ωx在区间[－，]上单调递增，求ω的取值范围．

【解析】 令t＝ωx，则y＝4sin t.

因为ω>0，x∈，

所以t＝ωx在区间上单调递增，

所以－≤t≤.

因为y＝4sin ωx在区间上单调递增，

所以⊆，

所以解得

又ω>0，所以0<ω≤，

故ω的取值范围是.

方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．

考向四  三角函数的奇偶性、周期性及对称性

例4、（2022年湖北省荆州市高三模拟试卷）（多选题）已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称

C. 在区间上单调递增 D. 的值域为

【答案】BD

【解析】，所以A选项错误.

，，

，

所以的图象关于点中心对称，B选项正确.

，，所以C选项错误.

，

所以的值域为，D选项正确.

故选：BD

变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数，下列结论正确得是（    ）

A. 的值域为 B. 在单调递增

C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为

【答案】AD

【解析】

，，

所以，

所以是偶函数，

又，

所以是函数的周期，

又，

故的最小正周期为.

对于A，因为的最小正周期为，令，此时，

所以，

令，所以有，可知其值域为，故A正确；

对于B，由A可知，在上单调递增，在上单调递减，

因为，

所以在上不是单调递增，故B不正确；

对于C，因为，，

所以，

所以的图象不关于直线对称，故C不正确；

对于D，前面已证明正确.

故选：AD

变式2、（2022年福建莆田市模拟试卷）（多选题）已知函数， 则（    ）

A. 函数的最小正周期为 B. 为函数的一条对称轴

C. 函数的最小值为1，最大值为 2 D. 函数在上单调递减

【答案】BC

【解析】

因为，所以，A错误；

因，

所以，所以函数为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以为函数的一条对称轴，B正确；

令，有，则，当时，，

因为在上单调递增，在上单调递减，

又，，

所以当时，函数取最大值，最大值为2，当时，函数取最小值，最小值为， C正确；

函数由和复合而成，当时，

函数，因为，

所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，且，

函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，D错误，

故选：BC

变式3、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______.

①为奇函数；②为偶函数；③在上的最大值为2.

【答案】（答案不唯一）

【解析】分析函数的三条性质，可考虑三角函数，

因为为奇函数，在上的最大值为2，

所以函数的解析式可以为.

对于①，，因为，所以为奇函数，符合；

对于②，，因为，所以为偶函数，符合；

对于③，的最大值为，符合.

故答案为：（答案不唯一）

方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acosωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．

1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数的图象关于中心对称”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

的对称中心为，的对称中心为，的对称中心不一定为的对称中心；的对称中心一定为的对称中心.

故选：B．

2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，

当时，，

则函数的最大值为，解得.

故选：C.

3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数，若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】因为为周期为的偶函数，

所以，，

因为在上关于直线对称，

所以，

由于，，，

所以，

即，

因为在上单调递增，

且，

所以，

即：．

故选：A．

4、（2022年福建诏安县高三模拟试卷） 下列可能为函数的图象的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

当时，的周期为，所以B不正确；

当时，的周期为，所以D有可能；

当时，的周期为，所以A有可能；

当时，的周期为，所以C有可能.

故选：ACD.

5、（2022年河北承德市高三模拟试卷）（多选题）函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

根据周期性分析，不失一般性不妨为的子集，此时

分析答案知：BC

故选：BC