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高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第29讲三角函数的图像与性质(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第29讲三角函数的图像与性质(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了正弦，下列函数中，最大值是1的函数有等内容，欢迎下载使用。
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： ．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： .
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1、（2023年全国1卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
2、【2022年北京】已知函数f(x)=cs2x−sin2x，则（ ）
A．f(x)在−π2,−π6上单调递减B．f(x)在−π4,π12上单调递增
C．f(x)在0,π3上单调递减D．f(x)在π4,7π12上单调递增
1、y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
2、函数f(x)＝eq \r(2sin \f(π,2)x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋4kπ，\f(5π,3)＋4kπ))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋4kπ，\f(5π,6)＋4kπ))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋4k，\f(5,6)＋4k))(k∈Z)
3、（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有( )
A. y＝|sin x|＋|cs x|
B. y＝sin2x－cs2x
C. y＝4sin2x cs2x
D. y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)
考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．
（2）函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
变式、函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为________．
方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b，f(x)在R上的值域是 [－5，1]，求a的值．
变式1、 已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b.当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的值域是[－5，1]，求a的值．
变式2、 求下列函数的值域：
(1) y＝ eq \f(sin x－2,sin x－1)；
(2) y＝ eq \f(sin x cs x,sin x－cs x＋1)(0方法总结：1. 直接法：直接利用sin x和cs x的值域求解．
2. 化一法：将所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域．
3. 换元法：将sin x，cs x，sin x cs x或 sin x±cs x换成t，转化为二次函数来求解．
考向三 三角函数的单调性
例3、求函数 y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调增区间．
变式1、 求下列函数的单调增区间．
(1) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈[0，π]；
(2) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))；
(3) y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))))).
变式2、设ω>0，若函数y＝4sin ωx在区间[－ eq \f(π,3)， eq \f(π,4)]上单调递增，求ω的取值范围．
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、（2022年湖北省荆州市高三模拟试卷）（多选题）已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于点中心对称
C. 在区间上单调递增D. 的值域为
变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数，下列结论正确得是（ ）
A. 的值域为B. 在单调递增
C. 的图象关于直线对称D. 的最小正周期为
变式2、（2022年福建莆田市模拟试卷）（多选题）已知函数， 则（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 为函数的一条对称轴
C. 函数的最小值为1，最大值为 2D. 函数在上单调递减
变式3、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______.
①为奇函数；②为偶函数；③在上的最大值为2.
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acsωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数的图象关于中心对称”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4、（2022年福建诏安县高三模拟试卷） 下列可能为函数的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
5、（2022年河北承德市高三模拟试卷）（多选题）函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
第29讲 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1、（2023年全国1卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【命题意图】本题考查三角函数图象和零点问题，考查数学运算的核心素养.
难度：中等偏下.
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图象性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图象性质可得，故，
故答案为：.
2、【2022年北京】已知函数f(x)=cs2x−sin2x，则（ ）
A．f(x)在−π2,−π6上单调递减B．f(x)在−π4,π12上单调递增
C．f(x)在0,π3上单调递减D．f(x)在π4,7π12上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得出fx=cs2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为fx=cs2x−sin2x=cs2x.
对于A选项，当−π2对于B选项，当−π4对于C选项，当0对于D选项，当π4故选：C.
1、y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
【答案】 D
【解析】 将y＝cs x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cs x|的图象(如图)．
故选D.
2、函数f(x)＝eq \r(2sin \f(π,2)x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋4kπ，\f(5π,3)＋4kπ))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋4kπ，\f(5π,6)＋4kπ))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋4k，\f(5,6)＋4k))(k∈Z)
【答案】 B
【解析】 由题意，得2sin eq \f(π,2)x－1≥0，
eq \f(π,2)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))(k∈Z)，
则x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)．
3、（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
令，解得，，
因为，所以，则，
故，解得 ，所以最大值为．
故选：B．
5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有( )
A. y＝|sin x|＋|cs x|
B. y＝sin2x－cs2x
C. y＝4sin2x cs2x
D. y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)
【答案】BC.
【解析】 对于A，y＝ eq \r((|sin x|＋|cs x|)2)＝ eq \r(1＋|sin 2x|)≤ eq \r(2)，当且仅当sin 2x＝±1，即x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时取“＝”，即当x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时，ymax＝ eq \r(2)，故A错误；对于B，y＝－(cs2x－sin2x)＝－cs2x≤1，当且仅当2x＝2kπ－π，即x＝kπ－ eq \f(π,2)，k∈Z时取“＝”，即当x＝kπ－ eq \f(π,2)，k∈Z时，ymax＝1，故B正确；对于C，y＝(2sin x cs x)2＝sin22x≤1，当且仅当sin2x＝±1，即x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时取“＝”，即当x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时，ymax＝1，故C正确；对于D，依题意，由tan x，tan 2x都有意义，且tan 2x－tan x≠0，得x≠kπ，且x≠kπ＋ eq \f(π,2)，且x≠ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z，y＝ eq \f(\f(sin x,cs x)·\f(sin 2x,cs 2x),\f(sin 2x,cs 2x)－\f(sin x,cs x))＝ eq \f(sin x sin 2x,sin 2x cs x－cs 2x sin x)＝ eq \f(sin x sin 2x,sin x)＝sin 2x，显然sin 2x最大值为1，此时，x＝kπ＋ eq \f(π,4)，k∈Z，而kπ＋ eq \f(π,4)，k∈Z使函数y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)无意义，即sin 2x不能取到1，故D不正确．故选BC.
考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
【解析】 要使函数有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))
故函数的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
（2）函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)
【解析】 要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).
变式、函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
【解析】 ∵函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)，
∴应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin 2x>0，,9－x2≥0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ∴－3≤x<－eq \f(π,2)或0∴函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b，f(x)在R上的值域是 [－5，1]，求a的值．
【解析】 因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈[－1，1]，所以－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）∈[－2a，2a]，所以f(x)∈[b，4a＋b].
因为f(x)的值域是[－5，1]，所以b＝－5，4a＋b＝1，解得a＝ eq \f(3,2)>0，故a的值为 eq \f(3,2).
变式1、 已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b.当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的值域是[－5，1]，求a的值．
【解析】 因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x＋ eq \f(π,6)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，所以－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）∈[－2a，a]，所以f(x)∈[b，3a＋b].因为f(x)的值域是[－5，1]，所以b＝－5，3a＋b＝1，解得a＝2>0，故a的值为2.
变式2、 求下列函数的值域：
(1) y＝ eq \f(sin x－2,sin x－1)；
(2) y＝ eq \f(sin x cs x,sin x－cs x＋1)(0【解析】 (1) 因为y＝ eq \f(sin x－2,sin x－1)＝1－ eq \f(1,sin x－1)，所以当sin x＝－1时，ymin＝1＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2)，所以该函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
(2) 令t＝sin x－cs x，则t＝ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))).
因为0所以－1所以y＝ eq \f(sin x cs x,sin x－cs x＋1)＝ eq \f( \f(1－t2,2),t＋1)＝ eq \f(1－t,2)，
所以 eq \f(1－\r(2),2)≤y<1，所以该函数的值域为[ eq \f(1－\r(2),2)，1）
方法总结：1. 直接法：直接利用sin x和cs x的值域求解．
2. 化一法：将所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域．
3. 换元法：将sin x，cs x，sin x cs x或 sin x±cs x换成t，转化为二次函数来求解．
考向三 三角函数的单调性
例3、求函数 y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调增区间．
【解析】 由2kπ－ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(π,3)≤2kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ－ eq \f(π,12)≤x≤kπ＋ eq \f(5π,12)(k∈Z)，
故所求函数的单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z).
变式1、 求下列函数的单调增区间．
(1) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈[0，π]；
(2) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))；
(3) y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))))).
【解析】 (1) 由2kπ－ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(π,3)≤2kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ－ eq \f(π,12)≤x≤kπ＋ eq \f(5π,12)(k∈Z).
因为x∈[0，π]，所以0≤x≤ eq \f(5π,12)， eq \f(11π,12)≤x≤π，
故所求函数的单调增区间为[0， eq \f(5π,12)]， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)，π)).
(2) 因为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
所以由2kπ＋ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(π,3)≤2kπ＋ eq \f(3π,2)(k∈Z)，
得kπ＋ eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋ eq \f(11π,12)(k∈Z)，
故所求函数的单调增区间为[kπ＋ eq \f(5π,12)，kπ＋ eq \f(11π,12)]，k∈Z.
(3) 由kπ≤2x－ eq \f(π,3)≤kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得 eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,6)≤x≤ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(5π,12)(k∈Z)，
故所求函数的单调增区间为[ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,6)， eq \f(kπ,2)＋ eq \f(5π,12)]，k∈Z.
变式2、设ω>0，若函数y＝4sin ωx在区间[－ eq \f(π,3)， eq \f(π,4)]上单调递增，求ω的取值范围．
【解析】 令t＝ωx，则y＝4sin t.
因为ω>0，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，
所以t＝ωx在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上单调递增，
所以－ eq \f(πω,3)≤t≤ eq \f(πω,4).
因为y＝4sin ωx在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上单调递增，
所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(πω,3)，\f(πω,4)))⊆ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(πω,3)≥－\f(π,2)，,\f(πω,4)≤\f(π,2)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≤\f(3,2)，,ω≤2.))
又ω>0，所以0<ω≤ eq \f(3,2)，
故ω的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))).
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、（2022年湖北省荆州市高三模拟试卷）（多选题）已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于点中心对称
C. 在区间上单调递增D. 的值域为
【答案】BD
【解析】，所以A选项错误.
，，
，
所以的图象关于点中心对称，B选项正确.
，，所以C选项错误.
，
所以的值域为，D选项正确.
故选：BD
变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数，下列结论正确得是（ ）
A. 的值域为B. 在单调递增
C. 的图象关于直线对称D. 的最小正周期为
【答案】AD
【解析】
，，
所以，
所以是偶函数，
又，
所以是函数的周期，
又，
故的最小正周期为.
对于A，因为的最小正周期为，令，此时，
所以，
令，所以有，可知其值域为，故A正确；
对于B，由A可知，在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以在上不是单调递增，故B不正确；
对于C，因为，，
所以，
所以的图象不关于直线对称，故C不正确；
对于D，前面已证明正确.
故选：AD
变式2、（2022年福建莆田市模拟试卷）（多选题）已知函数， 则（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 为函数的一条对称轴
C. 函数的最小值为1，最大值为 2D. 函数在上单调递减
【答案】BC
【解析】
因为，所以，A错误；
因，
所以，所以函数为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以为函数的一条对称轴，B正确；
令，有，则，当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以当时，函数取最大值，最大值为2，当时，函数取最小值，最小值为， C正确；
函数由和复合而成，当时，
函数，因为，
所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，且，
函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，D错误，
故选：BC
变式3、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______.
①为奇函数；②为偶函数；③在上的最大值为2.
【答案】（答案不唯一）
【解析】分析函数的三条性质，可考虑三角函数，
因为为奇函数，在上的最大值为2，
所以函数的解析式可以为.
对于①，，因为，所以为奇函数，符合；
对于②，，因为，所以为偶函数，符合；
对于③，的最大值为，符合.
故答案为：（答案不唯一）
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acsωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数的图象关于中心对称”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
的对称中心为，的对称中心为，的对称中心不一定为的对称中心；的对称中心一定为的对称中心.
故选：B．
2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，
当时，，
则函数的最大值为，解得.
故选：C.
3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为为周期为的偶函数，
所以，，
因为在上关于直线对称，
所以，
由于，，，
所以，
即，
因为在上单调递增，
且，
所以，
即：．
故选：A．
4、（2022年福建诏安县高三模拟试卷） 下列可能为函数的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
当时，的周期为，所以B不正确；
当时，的周期为，所以D有可能；
当时，的周期为，所以A有可能；
当时，的周期为，所以C有可能.
故选：ACD.
5、（2022年河北承德市高三模拟试卷）（多选题）函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
根据周期性分析，不失一般性不妨为的子集，此时
分析答案知：BC
故选：BC
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定
义
域
值域
奇偶
性
单
调
性
周
期
性
对
称
性
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定
义
域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是递增函数
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： ．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： .
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1、（2023年全国1卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
2、【2022年北京】已知函数f(x)=cs2x−sin2x，则（ ）
A．f(x)在−π2,−π6上单调递减B．f(x)在−π4,π12上单调递增
C．f(x)在0,π3上单调递减D．f(x)在π4,7π12上单调递增
1、y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
2、函数f(x)＝eq \r(2sin \f(π,2)x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋4kπ，\f(5π,3)＋4kπ))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋4kπ，\f(5π,6)＋4kπ))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋4k，\f(5,6)＋4k))(k∈Z)
3、（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有( )
A. y＝|sin x|＋|cs x|
B. y＝sin2x－cs2x
C. y＝4sin2x cs2x
D. y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)
考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．
（2）函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
变式、函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为________．
方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b，f(x)在R上的值域是 [－5，1]，求a的值．
变式1、 已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b.当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的值域是[－5，1]，求a的值．
变式2、 求下列函数的值域：
(1) y＝ eq \f(sin x－2,sin x－1)；
(2) y＝ eq \f(sin x cs x,sin x－cs x＋1)(0
2. 化一法：将所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域．
3. 换元法：将sin x，cs x，sin x cs x或 sin x±cs x换成t，转化为二次函数来求解．
考向三 三角函数的单调性
例3、求函数 y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调增区间．
变式1、 求下列函数的单调增区间．
(1) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈[0，π]；
(2) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))；
(3) y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))))).
变式2、设ω>0，若函数y＝4sin ωx在区间[－ eq \f(π,3)， eq \f(π,4)]上单调递增，求ω的取值范围．
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、（2022年湖北省荆州市高三模拟试卷）（多选题）已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于点中心对称
C. 在区间上单调递增D. 的值域为
变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数，下列结论正确得是（ ）
A. 的值域为B. 在单调递增
C. 的图象关于直线对称D. 的最小正周期为
变式2、（2022年福建莆田市模拟试卷）（多选题）已知函数， 则（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 为函数的一条对称轴
C. 函数的最小值为1，最大值为 2D. 函数在上单调递减
变式3、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______.
①为奇函数；②为偶函数；③在上的最大值为2.
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acsωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数的图象关于中心对称”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4、（2022年福建诏安县高三模拟试卷） 下列可能为函数的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
5、（2022年河北承德市高三模拟试卷）（多选题）函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
第29讲 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1、（2023年全国1卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【命题意图】本题考查三角函数图象和零点问题，考查数学运算的核心素养.
难度：中等偏下.
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图象性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图象性质可得，故，
故答案为：.
2、【2022年北京】已知函数f(x)=cs2x−sin2x，则（ ）
A．f(x)在−π2,−π6上单调递减B．f(x)在−π4,π12上单调递增
C．f(x)在0,π3上单调递减D．f(x)在π4,7π12上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得出fx=cs2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为fx=cs2x−sin2x=cs2x.
对于A选项，当−π2
1、y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
【答案】 D
【解析】 将y＝cs x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cs x|的图象(如图)．
故选D.
2、函数f(x)＝eq \r(2sin \f(π,2)x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋4kπ，\f(5π,3)＋4kπ))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋4kπ，\f(5π,6)＋4kπ))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋4k，\f(5,6)＋4k))(k∈Z)
【答案】 B
【解析】 由题意，得2sin eq \f(π,2)x－1≥0，
eq \f(π,2)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))(k∈Z)，
则x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)．
3、（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
令，解得，，
因为，所以，则，
故，解得 ，所以最大值为．
故选：B．
5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有( )
A. y＝|sin x|＋|cs x|
B. y＝sin2x－cs2x
C. y＝4sin2x cs2x
D. y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)
【答案】BC.
【解析】 对于A，y＝ eq \r((|sin x|＋|cs x|)2)＝ eq \r(1＋|sin 2x|)≤ eq \r(2)，当且仅当sin 2x＝±1，即x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时取“＝”，即当x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时，ymax＝ eq \r(2)，故A错误；对于B，y＝－(cs2x－sin2x)＝－cs2x≤1，当且仅当2x＝2kπ－π，即x＝kπ－ eq \f(π,2)，k∈Z时取“＝”，即当x＝kπ－ eq \f(π,2)，k∈Z时，ymax＝1，故B正确；对于C，y＝(2sin x cs x)2＝sin22x≤1，当且仅当sin2x＝±1，即x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时取“＝”，即当x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时，ymax＝1，故C正确；对于D，依题意，由tan x，tan 2x都有意义，且tan 2x－tan x≠0，得x≠kπ，且x≠kπ＋ eq \f(π,2)，且x≠ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z，y＝ eq \f(\f(sin x,cs x)·\f(sin 2x,cs 2x),\f(sin 2x,cs 2x)－\f(sin x,cs x))＝ eq \f(sin x sin 2x,sin 2x cs x－cs 2x sin x)＝ eq \f(sin x sin 2x,sin x)＝sin 2x，显然sin 2x最大值为1，此时，x＝kπ＋ eq \f(π,4)，k∈Z，而kπ＋ eq \f(π,4)，k∈Z使函数y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)无意义，即sin 2x不能取到1，故D不正确．故选BC.
考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
【解析】 要使函数有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))
故函数的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
（2）函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)
【解析】 要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).
变式、函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
【解析】 ∵函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)，
∴应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin 2x>0，,9－x2≥0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ
方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b，f(x)在R上的值域是 [－5，1]，求a的值．
【解析】 因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈[－1，1]，所以－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）∈[－2a，2a]，所以f(x)∈[b，4a＋b].
因为f(x)的值域是[－5，1]，所以b＝－5，4a＋b＝1，解得a＝ eq \f(3,2)>0，故a的值为 eq \f(3,2).
变式1、 已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b.当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的值域是[－5，1]，求a的值．
【解析】 因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x＋ eq \f(π,6)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，所以－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）∈[－2a，a]，所以f(x)∈[b，3a＋b].因为f(x)的值域是[－5，1]，所以b＝－5，3a＋b＝1，解得a＝2>0，故a的值为2.
变式2、 求下列函数的值域：
(1) y＝ eq \f(sin x－2,sin x－1)；
(2) y＝ eq \f(sin x cs x,sin x－cs x＋1)(0
(2) 令t＝sin x－cs x，则t＝ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))).
因为0
所以 eq \f(1－\r(2),2)≤y<1，所以该函数的值域为[ eq \f(1－\r(2),2)，1）
方法总结：1. 直接法：直接利用sin x和cs x的值域求解．
2. 化一法：将所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域．
3. 换元法：将sin x，cs x，sin x cs x或 sin x±cs x换成t，转化为二次函数来求解．
考向三 三角函数的单调性
例3、求函数 y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调增区间．
【解析】 由2kπ－ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(π,3)≤2kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ－ eq \f(π,12)≤x≤kπ＋ eq \f(5π,12)(k∈Z)，
故所求函数的单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z).
变式1、 求下列函数的单调增区间．
(1) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈[0，π]；
(2) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))；
(3) y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))))).
【解析】 (1) 由2kπ－ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(π,3)≤2kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ－ eq \f(π,12)≤x≤kπ＋ eq \f(5π,12)(k∈Z).
因为x∈[0，π]，所以0≤x≤ eq \f(5π,12)， eq \f(11π,12)≤x≤π，
故所求函数的单调增区间为[0， eq \f(5π,12)]， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)，π)).
(2) 因为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
所以由2kπ＋ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(π,3)≤2kπ＋ eq \f(3π,2)(k∈Z)，
得kπ＋ eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋ eq \f(11π,12)(k∈Z)，
故所求函数的单调增区间为[kπ＋ eq \f(5π,12)，kπ＋ eq \f(11π,12)]，k∈Z.
(3) 由kπ≤2x－ eq \f(π,3)≤kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得 eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,6)≤x≤ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(5π,12)(k∈Z)，
故所求函数的单调增区间为[ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,6)， eq \f(kπ,2)＋ eq \f(5π,12)]，k∈Z.
变式2、设ω>0，若函数y＝4sin ωx在区间[－ eq \f(π,3)， eq \f(π,4)]上单调递增，求ω的取值范围．
【解析】 令t＝ωx，则y＝4sin t.
因为ω>0，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，
所以t＝ωx在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上单调递增，
所以－ eq \f(πω,3)≤t≤ eq \f(πω,4).
因为y＝4sin ωx在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上单调递增，
所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(πω,3)，\f(πω,4)))⊆ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(πω,3)≥－\f(π,2)，,\f(πω,4)≤\f(π,2)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≤\f(3,2)，,ω≤2.))
又ω>0，所以0<ω≤ eq \f(3,2)，
故ω的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))).
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、（2022年湖北省荆州市高三模拟试卷）（多选题）已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于点中心对称
C. 在区间上单调递增D. 的值域为
【答案】BD
【解析】，所以A选项错误.
，，
，
所以的图象关于点中心对称，B选项正确.
，，所以C选项错误.
，
所以的值域为，D选项正确.
故选：BD
变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数，下列结论正确得是（ ）
A. 的值域为B. 在单调递增
C. 的图象关于直线对称D. 的最小正周期为
【答案】AD
【解析】
，，
所以，
所以是偶函数，
又，
所以是函数的周期，
又，
故的最小正周期为.
对于A，因为的最小正周期为，令，此时，
所以，
令，所以有，可知其值域为，故A正确；
对于B，由A可知，在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以在上不是单调递增，故B不正确；
对于C，因为，，
所以，
所以的图象不关于直线对称，故C不正确；
对于D，前面已证明正确.
故选：AD
变式2、（2022年福建莆田市模拟试卷）（多选题）已知函数， 则（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 为函数的一条对称轴
C. 函数的最小值为1，最大值为 2D. 函数在上单调递减
【答案】BC
【解析】
因为，所以，A错误；
因，
所以，所以函数为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以为函数的一条对称轴，B正确；
令，有，则，当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以当时，函数取最大值，最大值为2，当时，函数取最小值，最小值为， C正确；
函数由和复合而成，当时，
函数，因为，
所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，且，
函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，D错误，
故选：BC
变式3、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______.
①为奇函数；②为偶函数；③在上的最大值为2.
【答案】（答案不唯一）
【解析】分析函数的三条性质，可考虑三角函数，
因为为奇函数，在上的最大值为2，
所以函数的解析式可以为.
对于①，，因为，所以为奇函数，符合；
对于②，，因为，所以为偶函数，符合；
对于③，的最大值为，符合.
故答案为：（答案不唯一）
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acsωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数的图象关于中心对称”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
的对称中心为，的对称中心为，的对称中心不一定为的对称中心；的对称中心一定为的对称中心.
故选：B．
2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，
当时，，
则函数的最大值为，解得.
故选：C.
3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为为周期为的偶函数，
所以，，
因为在上关于直线对称，
所以，
由于，，，
所以，
即，
因为在上单调递增，
且，
所以，
即：．
故选：A．
4、（2022年福建诏安县高三模拟试卷） 下列可能为函数的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
当时，的周期为，所以B不正确；
当时，的周期为，所以D有可能；
当时，的周期为，所以A有可能；
当时，的周期为，所以C有可能.
故选：ACD.
5、（2022年河北承德市高三模拟试卷）（多选题）函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
根据周期性分析，不失一般性不妨为的子集，此时
分析答案知：BC
故选：BC
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定
义
域
值域
奇偶
性
单
调
性
周
期
性
对
称
性
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定
义
域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是递增函数
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
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