第29讲 三角函数的图像与性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（原卷版）

第29讲 三角函数的图象与性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)“五点法”作图原理：

在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：                                    ．

在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：                                .

(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．

2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质

1、（2023年全国1卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．

2、【2022年北京】已知函数，则（       ）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．在上单调递减 D．在上单调递增

1、y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)

A.   B．[0，π]

C.   D.

2、函数f(x)＝的定义域为(　　)

A.(k∈Z)      B.(k∈Z)

C.(k∈Z)      D.(k∈Z)

3、（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（       ）

A．  B．

C． D．

4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（     ）

A． B． C． D．

5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有(　　)

A. y＝|sin x|＋|cos x|

B. y＝sin2x－cos2x

C. y＝4sin2x cos2x

D. y＝

考向一　三角函数的定义域

例1　(1)函数y＝的定义域为________．

（2）函数y＝的定义域为________．

变式、函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．

方法总结：三角函数定义域的求法

(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．

(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．

2．简单三角不等式的解法

(1)利用三角函数线求解．

(2)利用三角函数的图象求解．

考向二  三角函数的值域(最值)

例2、已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋）＋2a＋b，f(x)在R上的值域是 [－5，1]，求a的值．

变式1、　已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋）＋2a＋b.当x∈时，f(x)的值域是[－5，1]，求a的值．

变式2、　求下列函数的值域：

(1) y＝；

(2) y＝(0<x<π).

方法总结：1. 直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．

2. 化一法：将所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域．

3. 换元法：将sin x，cos x，sin x cos x或 sin x±cos x换成t，转化为二次函数来求解．

考向三  三角函数的单调性

例3、求函数 y＝sin 的单调增区间．

变式1、　求下列函数的单调增区间．

(1) y＝sin ，x∈[0，π]；

(2) y＝sin ；

(3) y＝.

变式2、设ω>0，若函数y＝4sin ωx在区间[－，]上单调递增，求ω的取值范围．

方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．

考向四  三角函数的奇偶性、周期性及对称性

例4、（2022年湖北省荆州市高三模拟试卷）（多选题）已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称

C. 在区间上单调递增 D. 的值域为

变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数，下列结论正确得是（    ）

A. 的值域为 B. 在单调递增

C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为

变式2、（2022年福建莆田市模拟试卷）（多选题）已知函数， 则（    ）

A. 函数的最小正周期为 B. 为函数的一条对称轴

C. 函数的最小值为1，最大值为 2 D. 函数在上单调递减

变式3、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______.

①为奇函数；②为偶函数；③在上的最大值为2.

方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acosωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．

1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数的图象关于中心对称”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（    ）

A． B． C． D．

3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数，若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

4、（2022年福建诏安县高三模拟试卷） 下列可能为函数的图象的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5、（2022年河北承德市高三模拟试卷）（多选题）函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ）

A.  B.  C.  D.