第29讲 三角函数的图像与性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(原卷版)
展开第29讲 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理:
在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是: .
在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是: .
(2)五点法作图的三步骤:列表、描点、连线(注意光滑).
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 | y=sin x | y=cos x | y=tan x |
图象 |
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定 义 域 |
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值域 |
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奇偶 性 |
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单 调 性 |
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周 期 性 |
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对 称 性 |
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1、(2023年全国1卷)已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是________.
2、【2022年北京】已知函数,则( )
A.在上单调递减 B.在上单调递增
C.在上单调递减 D.在上单调递增
1、y=|cos x|的一个单调递增区间是( )
A. B.[0,π]
C. D.
2、函数f(x)=的定义域为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
3、(2022·河北邯郸·二模)函数在上的值域为( )
A. B.
C. D.
4、(2022·湖北·荆州中学模拟预测)已知函数在单调递减,则的最大值为( )
A. B. C. D.
5、(多选)(2022·苏锡常镇一模)下列函数中,最大值是1的函数有( )
A. y=|sin x|+|cos x|
B. y=sin2x-cos2x
C. y=4sin2x cos2x
D. y=
考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y=的定义域为________.
(2)函数y=的定义域为________.
变式、函数y=lg(sin 2x)+的定义域为________.
方法总结:三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例,应用正切函数y=tan x的定义域求函数y=Atan(ωx+φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图象求解.
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、已知a>0,函数f(x)=-2a sin (2x+)+2a+b,f(x)在R上的值域是 [-5,1],求a的值.
变式1、 已知a>0,函数f(x)=-2a sin (2x+)+2a+b.当x∈时,f(x)的值域是[-5,1],求a的值.
变式2、 求下列函数的值域:
(1) y=;
(2) y=(0<x<π).
方法总结:1. 直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解.
2. 化一法:将所给三角函数化为y=A sin (ωx+φ)+k的形式,由正弦函数的单调性写出函数的值域.
3. 换元法:将sin x,cos x,sin x cos x或 sin x±cos x换成t,转化为二次函数来求解.
考向三 三角函数的单调性
例3、求函数 y=sin 的单调增区间.
变式1、 求下列函数的单调增区间.
(1) y=sin ,x∈[0,π];
(2) y=sin ;
(3) y=.
变式2、设ω>0,若函数y=4sin ωx在区间[-,]上单调递增,求ω的取值范围.
方法总结:本题考查三角函数的单调性.首先化成y=Asin(ωx+φ)的形式,再把ωx+φ看作整体代入y=sinx的相应单调区间内求x的范围即可.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解.考查运算求解能力,整体代换及转化与化归的思想.
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、(2022年湖北省荆州市高三模拟试卷)(多选题)已知函数,给出下列四个命题,其中正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称
C. 在区间上单调递增 D. 的值域为
变式1、(2022年广东普宁市高三模拟试卷)(多选题)对于函数,下列结论正确得是( )
A. 的值域为 B. 在单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为
变式2、(2022年福建莆田市模拟试卷)(多选题)已知函数, 则( )
A. 函数的最小正周期为 B. 为函数的一条对称轴
C. 函数的最小值为1,最大值为 2 D. 函数在上单调递减
变式3、(2022年福建上杭县高三模拟试卷)写出一个同时满足下列三个性质的函数:______.
①为奇函数;②为偶函数;③在上的最大值为2.
方法总结:本题考查三角函数的奇偶性与对称性.求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可.奇偶性可以用定义判断,也可以通过诱导公式将y=Asin(ωx+φ)转化为y=Asinωx或y=Acosωx.考查运算求解能力,整体代换及转化与化归的思想.
1、(2022年福建上杭县模拟试卷)“函数的图象关于中心对称”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2、(2023·江苏连云港·统考模拟预测)若函数在区间上的最大值为,则常数的值为( )
A. B. C. D.
3、(2022年湖南常德市模拟试卷)设函数,若,,,则( )
A. B.
C. D.
4、(2022年福建诏安县高三模拟试卷) 下列可能为函数的图象的是( )
A. B.
C. D.
5、(2022年河北承德市高三模拟试卷)(多选题)函数的定义域为,值域为,则的值可能是( )
A. B. C. D.
2024年高考数学第一轮复习精品导学案第29讲 三角函数的图像与性质(学生版)+教师版: 这是一份2024年高考数学第一轮复习精品导学案第29讲 三角函数的图像与性质(学生版)+教师版,共2页。
第18讲 章末检测三-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(原卷版): 这是一份第18讲 章末检测三-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(原卷版),共6页。
第29讲 三角函数的图像与性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(解析版): 这是一份第29讲 三角函数的图像与性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(解析版),共16页。