2023年河北省保定市竞秀区中考数学二模试卷（含解析）

2023年河北省保定市竞秀区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，检测个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度，下列最接近标准的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  小明为了计算▱的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示▱的高的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在四个数中，满足不等式的有(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  图的棱柱由个等边三角形底面和个矩形侧面组成，其中等边三角形面积为，矩形面积为若将个图的棱柱紧密堆叠成图的新棱柱，则图中新棱柱的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  利用乘法公式判断，下列等式何者成立？(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图的数轴上有、、三点，其中为原点，点所表示的数为，根据图中数轴上这三点之间的实际距离进行估计，下列何者最接近点所表示的数(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：

下列说法正确的是(    )

A. 小明的方法正确，小亮的方法不正确 B. 小明的方法不正确，小亮的方法正确
C. 小明、小亮的方法都正确 D. 小明、小亮的方法都不正确

10.  “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”图是由该图形组成的正方形，图是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部阴影部分的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  亮亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则(    )

A. 甲、乙都错 B. 甲、乙都对 C. 甲对，乙错 D. 甲错，乙对

13.  西周数学家商高总结了用“矩”如图测量物高的方法：把矩的两边放置成如图的位置，从矩的一端人眼望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高若，，，量得，则物体的高为(    )

A.  B.  C.  D.

14.  数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是(    )

 

A. 嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以 B. 嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C. 嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D. 嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以

15.  如图，点为的内心，点在上，且，若，，则的度数为何？(    )

A.
B.
C.
D.

16.  定义一种运算：则函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

17.  若，，则 ______ ．

18.  如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，直线的表达式为：．
当时，直线与轴交于点，点的坐标是______ ；
若线段与直线有交点，则的取值范围是______ ．

19.  如图为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上，以为折痕将点往右折，使、分别与相交于点、点，如图所示若，，，则的长度为______ ，的长度为______ ．

 

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
在知识竞赛中，规定答对一题加分，答错一题不答按答错扣分，小明答对道题，答错道题．
用含，的式子表示小明的得分为______ 分；
若小明答对道题，总分在分以上，求他最多答错多少道题．

21.  本小题分
在数学课上，老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我都会直接说出你运算的最后结果”
操作步骤如下：
第一步：计算这个数与的和的平方，减去这个数与的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘以；
第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．
若嘉颖同学心里想的是数，请帮她计算出最后结果；
同学们发现：“无论心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”嘉颖同学想验证这个结论，请你帮她完成这个验证过程．

22.  本小题分
如图，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：

根据表中数据，求出桌画所受压强关于受力面积的函数表达式及的值．
将另一长，宽，高分别为，，，且与原长方体相同重量的长方体按图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．

23.  本小题分
某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了名学生分成甲、乙两组，每组各人，进行“网络安全”现场知识竞赛把甲、乙两组的成绩进行整理分析满分分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网络安全意识一般．
收集整理的数据制成如下两幅统计图：

分析数据：

根据以上信息回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
已知该校九年级有人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．

24.  本小题分
已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．
如图，当时，求证：≌；
如图，若，求图中阴影部分弦、直径、弧围成的图形的面积；
如图，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到的距离的最小值是______ ．

 

25.  本小题分
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱某游乐场修建了一款大型过山车如图所示，为这款过山车的一部分轨道为轨道最低点，它可以看成一段抛物线，其中米，米轨道厚度忽略不计．

求抛物线的函数表达式；
在轨道上有两个位置和到地面的距离均为米，当过山车运动到处时，又进入下坡段接口处轨道忽略不计，为轨道最低点，已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，点坐标为，求的值；
现需要对轨道下坡段进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架、、、，且要求，已知这种材料的价格是元米，请计算多长时，造价最低？最低造价为多少元？

26.  本小题分
在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，．
如图，当点落在的延长线上时，求的长；
如图，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；
如图，连接，直线交于点，点为的中点，连接在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：通过求个排球的绝对值得：
，，，，
的绝对值最小．
所以这个球是最接近标准的球．
故选：．
由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球．
本题考查了正数和负数，有理数的运算，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高，
由图可知，并不垂直于点的对边，
不能表示▱的高，
故选：．
根据平行四边形的高的定义进行判断即可．
本题考查了平行四边形的高的定义，熟练掌握从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在四个数中，，
故满足不等式的有，
故选：．
根据各数的大小即可做出判断．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用有理数的减法法则化简后观察结果即可得出结论．
本题主要考查了有理数的减法法则，正确利用有理数的减法法则化简是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则进行计算，得出结果再进行判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解此题的关键是熟记幂的运算和负整数次幂运算法则．
 

6.【答案】 

【解析】解：等边三角形面积为，矩形面积为，
图中三棱柱的表面积为：．
故选：．
直接利用三棱柱的构成进而得出其表面即可．
此题主要考查了列代数式，正确得出三棱柱的组成是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项A：不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为，所以不符合题意；
选项B：不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意；
选项C：，所以符合题意；
选项D：不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意．
故选：．
根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．
本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：是解答问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由数轴的信息知：；
点表示的实数为：；
故选：．
根据数轴上的数据求出的长度，从而估算出的长度，即可估算出点表示的数，从而得解．
本题考查了数轴与有理数的加法运算，求出点表示的数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：小明的方法：
，
，
，
小明的方法正确；
小亮的方法：
由作图知，
，
小亮的方法正确．
故选：．
由平行线的判定，即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的，
故飞镖落在和平鸽头部阴影部分的概率是．
故选：．
根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
 

11.【答案】 

【解析】解：设常数项为，
根据题意得，
解得，
所以的最大值为．
故选：．
设常数项为，利用判别式的意义得到，再解不等式得到的范围，然后在此范围内确定最大值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：甲同学的计算错误，
错误原因：第一步计算中，没有通分；
乙同学计算错误，
错误原因：第三步计算中，同分母分式相加，分母应保持不变；
正确的解答如下：



，
甲、乙都错，
故选：．
根据分式的运算法则，分析甲、乙两位同学的解答过程即可判断．
本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图可得，，，，，，
，
，，
，
∽，
，
即，
解得：，
故选：．
根据题意和图形，可以得到，，，然后根据相似三角形的性质，可以得到．
本题考查相似三角形的判定与性质的应用，利用相似三角形对应边成比例求线段长是答题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：嘉嘉的作法：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，；
淇淇的作法：，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以，
故选：．
根据平行四边形的判定定理和性质定理判断嘉嘉的作法；证明≌，根据全等三角形的性质得到，，再根据平行四边形的判定定理和性质定理判断淇淇的作法．
本题考查的是三角形中位线定理的证明，掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示．
在中，，，
．
点为的内心，
，，
，
又，
，
．
故选：．
连接，利用三角形内角和定理可求出的度数，由点为的内心，可得出、、的度数，利用三角形内角和定理可得出、的度数，再由即可求出的度数．
本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，，
即：，
当时，，
即：，
，
当时，，函数图象从左向右逐渐上升，随的增大而增大，
综上所述，选项符合题意．
故选：．
根据，可得当时，，分两种情况：当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解】，，即，，
，，
．
故答案为：．
根据二次根式的定义可求得、的值，继而求得结论．
本题考查了二次根式的定义，化成最简二次根式是解题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：当时，直线的表达式为：，
令，则，
解得，
直线与轴的交点的坐标是．
故答案为：；
当直线过点时，则，解得，
当直线过点时，则，解得，
，直线过定点，

若线段与直线有交点，则的取值范围是．
故答案为：．
根据轴上点的坐标特征得到，解得，即可得出直线与轴的交点的坐标是；
求得直线经过点、时的的值，然后根据图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

19.【答案】  

【解析】解：是正三角形，
，
，
∽，
，
即，
，
，，，
，
，
，
故答案为：；．
根据三角形是正三角形，可得，∽，即可求出，而，，，可得，故CG．
本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明∽，从而求出的长度．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题意得：；
由题意得：，
，
小明最多答错道题．
故答案为：．
根据总得分答对的得分答错的扣分即可求解；
根据列出相应的式子求解即可．
本题主要考查列代数式，解不等式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
 

21.【答案】解：

．
设心里想的非零数是，根据题意得：


．
无论心里想的什么非零数，得到的最后结果都是． 

【解析】按照题意规定的运算顺序进行运算即可；
设心里想的非零数是，按照题意列出代数式进行化简即可．
本题考查了整式的运算，熟练整式的运算是基础．
 

22.【答案】解：由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，
设，
将代入得：，
，
当时，，
；
这种摆放方式不安全，
理由如下：
由图可知，
将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，
，
这种摆放方式不安全． 

【解析】由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，由待定系数法可求得函数关系式，令，求出的值即可；
算出的值，即可求出的值，比较就可得出答案．
本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式．
 

23.【答案】     

【解析】解：乙组的平均数分，
将乙组的名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，即中位数，
甲组名同学成绩出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是分，即，
故答案为：，，；
人，
答：该校八年级名学生中网络安全意识非常强的大约有人；
甲组名，乙组名满分的同学中任意选取名，所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种，
所以两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为．
根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
求出样本中，网络安全意识强的所占的百分比即可估计总体中的百分比，进而计算出相应的人数；
列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：，
，
，
，，
，
，
又，
≌；
解：过作于，连接，如图：
半圆中，直径，
，
，
，
，，
，
；
连接，，
是的中点，
，，
，
点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
过作，垂足为，
，
，
点到的距离的最小值是，
故答案为：．

分别说明，，成立，用证明≌；
将阴影面积分割：；
先得到点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，然后计算点从点开始运动时到的距离．
本题考查了圆的性质、三角形全等的判定、与圆有关的面积计算、隐圆问题等知识点，对于，关键是确定点在以为圆心，为半径的圆弧上运动．
 

25.【答案】解：由题意可设抛物线的函数表达式为，
把代入，得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
米，点坐标为，
，
和到地面的距离均为米，且，在抛物线上，
，关于直线对称．
为两条形状完全相同的抛物线与的交点，
抛物线由抛物线向右平移个单位得到，
，
，，
将代入得，
；
设，
则，，
，



，
，
当时，最短，最短为．
此时，元，
当为米时，造价最低，最低造价为元． 

【解析】设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法即可求解；
求得，推出，得到，，据此即可求解；
设，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用二次函数的性质解决实际问题．
 

26.【答案】解：，，，
，
，绕点顺时针旋转得到，
，
点落在的延长线上，
；
过作于，过作于，如图：

，，，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，
，
中，，
，
中，，
，
由旋转性质可得：，，
，，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
；
存在最大值，理由如下：
过作交于，连接，如图：

绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，即是中点，
点为的中点，
是的中位线，
．
当的值最大时，的值最大，
，
当，，三点共线时，存在最大值．
，
即的最大值为． 

【解析】先利用余弦求出，再利用旋转对称得到，进而可得；
过作于，过作于，过作于，利用勾股定理得到，利用等面积法得到，再利用勾股定理求得，于是，利用，得到，以及，最后利用∽得出，即，从而得解；
过作交于，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，由三角形中位线定理可得出要使最大，只需最大，此时，，三点共线，的最大值为，进一步解答则可求出答案．
本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、平行线分线段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．