2022年河北省保定市定州市中考数学二模试卷（含解析）

2022年河北省保定市定州市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“抗”字所在面相对的面上的汉字是

A. 一
B. 定
C. 胜
D. 利

3. 我国北斗公司在年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，是的外角，平分，若，，则等于

A.
B.
C.
D.

6. 一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了次，成绩如图所示，对于这次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

7. 如图，点、、分别是边长为的正六边形中不相邻三条边的中点，则的周长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 九章算术中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为

A.  B.
C.  D.

11. 如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为

A.
B.
C.
D.

12. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为，则能建成的饲养室的总面积最大为   

A.  B.  C.  D.

13. 已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过千克，收费元；超过千克的部分每千克加收元．圆圆在该快递公司寄一件千克的物品，需要付费

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

14. 如图，是等腰直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分阴影部分的面积是

A.  B.  C.  D.

15. 如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点，，连接，，作轴于点，与交于点，为的中点，且，则的值为

A.
B.
C.
D.

16. 如图，是边长为的等边的中位线，动点以每秒个单位长度的速度，从点出发，沿折线向点运动；同时动点以相同的速度，从点出发，沿向点运动，当点到达终点时，点同时停止运动设运动时间为，、、、四点围成图形的面积与时间之间的函数图象是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共3小题，共12分）

17. 因式分解：______．
18. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第四象限交于点若点的坐标为，则的值为______．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，，点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则第二个正方形的对角线长为______，前个为正整数正方形对角线的和是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

20. 先化简，再求值：，其中．
21. 知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．中国北斗导航已经全球组网，它已经走进了人们的日常生活．如图，某校周末组织学生利用导航到某地用表示开展社会实践活动，车辆到达地后，发现地恰好在地的正北方向，且距离地千米．导航显示车辆应沿北偏东方向行驶至地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达地．求、两地间的距离结果精确到千米参考数据：，
22. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示两幅不完整的统计图．
    
    请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
    接受问卷调查的学生共有______人；
    请补全条形统计图；
    若从对校园安全知识达到了“了解”程度的个男生和个女生中随机抽取人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到个男生和个女生的概率．
23. 联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．
    定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．
    举例：如图，若，则点为的准内心．
    应用：如图，为等边三角形的角平分线，准内心在上，且，求证：点是的内心．
    探究：已知为直角三角形，，准内心在上，若，求的度数．

24. 如图，已知，在中，为上一点，平分，以为圆心，长为半径作，与相切于点，交于点，延长，交于点，连接，．
    求证：是的切线．
    若，，求的半径．
     

25. 某公司计划生产甲、乙两种产品，甲种产品所获年利润万元与投入资金万元的平方成正比例；乙种产品所获年利润万元与投入资金万元成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金万元为常数且生产甲、乙两种产品，其中投入甲种产品资金为万元其中，所获全年总利润万元为与之和．

分别求和关于的函数关系式；
求关于的函数关系式用含的式子表示；
当时，公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元，请你通过计算说明该预判是否正确．

26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，点为第一象限内抛物线上一点，射线与线段交于点．
    求抛物线的解析式；
    连接，当时，求点的坐标；
    过点作轴交射线于点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】

【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”的特征可得，
“抗”的对面是“定”，
“疫”的对面是“利”，
“一”的对面是“胜”，
故选：．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】解：，原式计算正确，故本选项符合题意；
B.，原式计算错误，故本选项不合题意；
C.，原式计算错误，故本选项不合题意；
D.，原式计算错误，故本选项不合题意；
故选：．
依据合并同类项法则、积的乘方法则以及单项式乘单项式法则进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了合并同类项法则、积的乘方法则以及单项式乘单项式法则的运用，“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
 

5.【答案】

【解析】解：，，
，
平分，
，
故选：．
根据三角形外角性质求出，根据角平分线定义求出即可．
本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由图可得，数据出现次，次数最多，所以众数为，故A正确；
次成绩排序后为：，，，，，，，，，，所以中位数是，故B正确；
平均数为，故C正确；
方差为，故D不正确；
不正确的有个；
故选：．
根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得出答案．
本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
 

7.【答案】

【解析】解：分别过正六边形的顶点，作于，于，
则，，
，
，
，
的周长，
故选：．
分别过正六边形的顶点，作于，于，得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：根据图象可知，，，
解得，
故选：．
根据函数图象可知，，解不等式组即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而可求出的度数．
本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲的钱数为 ，乙的钱数为 ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 ；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为 ”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解．

【解答】
解：设甲的钱数为 ，乙的钱数为 ，
依题意，得： ．
故选 A ．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，属于基础题．
由“对称轴是直线 ，且经过点 ”可知抛物线与 轴的另一个交点是 ，代入抛物线方程即可解得．
【解答】
解：因为对称轴 且经过点 ，
所以抛物线与 轴的另一个交点是 ，
将 代入抛物线解析式 中，得 ．
故选： ．   

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．设垂直于墙的材料长为 米，则平行于墙的材料长为 ，表示出总面积 即可求得面积的最值．
【解答】
解：设垂直于墙的材料长为 ，总面积为 ，则平行于墙的材料长为 ，
总面积 ，
当 时， 有最大值为 ，
即饲养室的最大面积为 ，
故选： ．   

13.【答案】

【解析】解：根据题意得：元．
则需要付费元．
故选：．
根据题意列出算式计算，即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：是等腰直角三角形，
，，
绕点按顺时针方向旋转后得到，
，
点、、共线，
线段在上述旋转过程中所扫过部分阴影部分的面积



故选：．
先根据等腰直角三角形的性质得到，，再根据旋转的性质得，则点、、共线，利用线段在上述旋转过程中所扫过部分阴影部分的面积进行计算即可．
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
 

15.【答案】

【解析】解：如图：

是的中点，
，
作轴于，
．
设，
轴于，交于，
，
是的中点，
，
在双曲线上，
，
，，，
．
．
故选：．
先用表示的面积，再求．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将的面积用表示是求解本题的依据．
 

16.【答案】

【解析】解：是边长为的等边的中位线，
，，．
分两种情况：当时，点在上，
，
，
的面积，
当时，点在上，
，，
梯形的面积，
纵观各选项，只有选项图形符合．
故选：．
分两种情况进行讨论：当时，点在上，根据三角形的面积公式可知的面积，代入数据求出与之间的函数解析式；当时，点在上，根据图形的面积公式可知梯形的面积，代入数据求出与之间的函数解析式，从而判断出函数图象而得解．
本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了等边三角形的性质，解直角三角形，分两段得到由、、、四点围成的图形面积并求出相应的函数关系式是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

18.【答案】

【解析】解：由作图可知点在第四象限的角平分线上，
，
解得，
故答案为：．
根据作图可知点在第四象限的角平分线上，从而得出，解之可得．
此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点横坐标纵坐标．
 

19.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为，
，，
在正方形中，对角线长为；
同理，可得点的坐标为，点的坐标为，，
，，，
前个正方形对角线长的和是：，
设，
则，
则，
，
，
前个正方形对角线长的和是：，
故答案为：，．
根据题意可知各正方形的边长，进一步可得对角线的长，再对前个对角线求和即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征与规律相结合，找出正方形边长之间的规律是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
，
，
原式．

【解析】先把括号内通分和把除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式，接着根据负整数指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值运算计算出的值，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的混合运算：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算．
 

21.【答案】解：如图，过点作于点，则，，，
，
设千米，
千米，
千米，千米，
千米，
千米，
，
，
千米千米，
、两地间的距离约为千米．

【解析】先过点向作垂线，构造直角三角形，利用和特殊角，表示出相关线段，利用已知长度为千米，建立方程，解出这些相关线段，从而求得、两地的距离．
本题属于解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用题，首先构造直角三角形，然后利用特殊角表示相关线段，从而求解．本题中等难度．
 

22.【答案】

【解析】解：，
所以接受问卷调查的学生共有人；
故答案为；
“”组的人数为：人，
补全条形图如图所示：

画树状图为：

由树状图可知，共有种等可能的结果，而选出的人恰好一男一女的结果有种，
选中一男一女．
用组的频数除以它的频率得到调查的总人数；
先计算出组的频数，然后补全条形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出选出的人恰好一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

23.【答案】解：应用：是等边三角形，
，
为角平分线，
，
，
是等边的角平分线，
，
，
，
是的内心；
探究：根据题意得：
，
，
是锐角，
．

【解析】应用：由是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，由角平分线的性质，得到，因为是等边的角平分线，由三线合一得到，，证得，得到结论是的内心；
探究：根据题意得：，由锐角三角函数得到结论．
此题考查了圆的综合，用到的知识点是角平分线的性质，特殊角的三角函数，等边三角形的性质，读懂题意，弄清楚准内心的定义是解题的关键．
 

24.【答案】证明：过点作于点，

与相切，
，
，
又平分，
，
为的半径，
是的切线；
解：是的直径，
，
，
又，
，
又，

，
又，
∽，
，
，，
，，
，
的半径为．

【解析】过点作于点，由角平分线的性质证明，则可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，求出和的长，则可求出答案．
此题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周定理，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：设关于的函数关系式是，
点在该函数图象上，
，
解得，
即关于的函数关系式是；
设关于的函数关系式是，
点在该函数图象上，
，
解得，
即关于的函数关系式是；
设投入甲种产品资金为万元，则投入乙种产品资金为万元，
，
即关于的函数关系式是；
当时，
，
，
当时，取得最小值，此时，
当时，取得最大值，此时，
，
当时，公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元，
即该预判正确．

【解析】根据题意和表格中的数据，可以分别写出和关于的函数关系式；
根据题意和中的函数解析式，可以写出关于的函数关系式；
将关于的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，即可说明预判是否正确．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
 

26.【答案】解：直线经过，两点，
令时，，
，
令时，，
解得，
，
抛物线过点和点两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
由知，，
当时，，
解得或，
，
，，
、、、四点共圆，且为直径，
设圆心为，则为线段的中点，
，
，
设直线的解析式为，
联立，
解得，
，
，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或舍去，
；
设直线的解析式为，
当时，
解得，
，
过点作轴交射线于点，

，
，
，，，
时，则，
解得或舍去，
；
时，则，
解得或舍去，
；
时，则，
解得舍去，
综上所述，符合条件的点坐标为或

【解析】根据一次函数求出点和点的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
根据得出、、、四点共圆，且为直径，设圆心为，则根据点和点的坐标得出点的坐标，设出直线的解析式，联立直线和的解析式得出点的坐标，根据的长度为半径得出的解析式，联立直线和抛物线的解析式得出点的坐标即可；
设出直线的解析式，得出点和点的坐标，利用勾股定理和等腰三角形的性质分类讨论求出点的坐标即可．
本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，勾股定理等知识是解题的关键．