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2023年河北省保定市莲池区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河北省保定市莲池区中考数学二模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省保定市莲池区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算a5÷a？得a2，则“？”是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 按照有理数加法法则，计算15+(−22)的正确过程是( )
A. +(23+15) B. +(22−15) C. −(22+15) D. −(22−15)
4. 如图，将△ABC折叠，使点B落在AB边B′处，展开后得到折痕h，则h是△ABC的( )
A. 高线
B. 角平分线
C. 中线
D. 中位线
5. 下列选项是无理数的是( )
A. 4 B. π0 C. 17 D. sin60°
6. 下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是( )
A. B.
C. D.
7. 已知一元二次方程的两根分别为x1=3，x2=−4；则这个方程为( )
A. (x−3)(x+4)=0 B. (x+3)(x−4)=0
C. (x+3)(x+4)=0 D. (x−3)(x−4)=0
8. 如图所示的几何体由9个大小相同的小正方体组成，将小正方体1去掉后，所得几何体的三视图没有发生变化的是( )
A. 主视图和左视图
B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图
D. 主视图、左视图、俯视图
9. 一次抽奖活动特等奖的中奖率为120000，把120000用科学记数法表示为( )
A. 5×10−4 B. 2×10−4 C. 5×10−5 D. 2×10−5
10. 观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明AB>AC的是( )
A. B. C. D.
11. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的直径为6，则劣弧AB长为( )
A. 3
B. 2π
C. π
D. 6
12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.嘉嘉购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票中的两张送给好朋友淇淇.嘉嘉将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让淇淇从中随机抽取一张(不放回)，再从剩下的邮票中随机抽取一张，则淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的概率是( )
A. 25 B. 110 C. 120 D. 125
13. 如图所示，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，∠AEO=2∠DEN，则∠O的度数为( )
A. 80°
B. 72°
C. 60°
D. 50°
14. 已知点A(n−2,y1)，B(n,y2)在二次函数的y=−x2+2x+3图象上，若y12
15. 如图，在平行四边形ABCD中，按下列条件得到的四边形EFGH不一定是平行四边形的是( )
A. EG，FH是过对角线交点的两条线段
B. E，F，G，H是四边形各边中点
C. EF⊥BC，GH⊥AD
D. AF，BH，CH，DF是角平分线
16. 已知某函数的图象经过A(2,6)，B(−6,−2)两点，几名同学给出了如下四个推断：
甲：若该函数的图象为直线，则此函数的图象与直线y=−x平行；
乙：若该函数的图象为双曲线，则(3,4)也在此函数图象上；
丙：若该函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
丁：若该函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象的对称轴在直线x=−2的左侧；
推断合理的是( )
A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 乙、丁
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 计算：(2+ 3)×( 3−2)2= ______ ．
18. 以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟．
用时
种类
准备时间(分钟)
加工时间(分钟)
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
6
19. 小颖在一次拼图游戏中，发现了一个有趣的现象：她先用图形①②③④⑤拼出了矩形ABMN；接着拿走图形⑤.通过平移的方法，用①②③④拼出了矩形ABCD.已知OE：AE=4：3，图形④的面积为9，请你帮助她解决下列问题：
(1)拿走的图形⑤的面积为：______ ；
(2)当CO=2，EH=207时，则S矩形ABCD= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题9.0分)
如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
15.3分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为50km/h，它以最大航速沿江顺流航行110km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，江水的流速为多少？
甲：11050+x=9050−x；
乙：110y+90y=50×2．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)甲同学所列方程中的x表示______ ；乙同学所列方程中的y表示______ ；
(2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．
21. (本小题9.0分)
张老师为了了解她所教1班、2班本学期课外名著阅读情况，分别从两班随机抽取20名同学进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图．
(1)1班课外名著阅读情况扇形统计图中“7本”所在扇形的圆心角是______ ；请补充2班课外名著阅读情况中“9本”的条形统计图；
(2)已知2班阅读数量的平均数为6本，方差为7.6，请你计算1班的平均数和方差，并判断哪个班阅读情况比较稳定；
(3)从2班所选样本中选取n名同学的阅读数量.并与1班样本组成一组新数据，发现新数据的中位数小于原1班样本的中位数.若n取最小值时，求这n名同学的阅读量和的最大值．
22. (本小题9.0分)
嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245=( 22)2+( 22)2=1．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
23. (本小题10.0分)
如图，直线l1经过A(−3,0)，B(0,3)两点.已知点D(8,3)，点P是线段BD上一动点(可与点B，D重合)，直线l2：y=kx+5−3k(k为常数)经过点P，交l1于点C．
(1)求直线l1的函数表达式；
(2)当k=2时，求点C的坐标；
(3)直线l2必过点______ ，在点P移动的过程中，k的取值范围为______ ．
24. (本小题10.0分)
已知线段OB长为8，点D为线段OB的中点，将线段OB绕点O逆时针旋转60°，得到扇形AOB和扇形COD.如图1所示固定扇形AOB不动，将扇形COD绕点O逆时针旋转，如图2，连接AC，BD，设旋转角α(0<α≤360°)
(1)求证：AC=BD；
(2)当点D落在OA边上时，AC与扇形COD所在的圆存在怎样的位置关系？说明理由；
(3)当A，C，D三点共线时，线段BD的长是______ ．
25. (本小题10.0分)
嘉琪家里有一款高脚杯，她发现高脚杯的杯体可以近似看成抛物线.于是她开始进行测量，并画出了高脚杯的截面图(杯体厚度忽略不计)如图(1).点P是抛物线的顶点，CD=OP=8cm.点O是CD的中点，且OP⊥CD，AB=12cm，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为20cm.嘉琪想借此考查一下对学过的知识掌握情况，于是以O为原点，CD所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(1个单位长度表示1cm)，并提出了以下问题，你也来一起解决吧！
(1)求杯体APB所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向左平移3cm，并倒满饮料，杯体APB与y轴交于点M，如图(2)，过点A放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后发现剩余饮料的液面低于点M，设吸管所在直线的解析式为y=kx+b，求k的取值范围；
(3)将放在水平桌面l上的装有饮料的高脚杯绕点D顺时针旋转30°，液面恰好到达点B处(BQ//l)，如图(3)．
①请你以CD的中点O为原点，CD所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，并求出BQ与y轴的交点坐标；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
26. (本小题12.0分)
如图，已知正方形ABCD的边长为8个单位长，点E为AD边上的中点，点P从点A向点B以1个单位长/秒速度匀速运动，连接PE，过点P做PE的垂线，交BC于点F.交射线DC于点G.设点P运动时间为t．
(1)用含t的代数式表示BF长为______ ；
(2)如图，点K在BC边上，且BK=2，求点K在∠EPG内部(包括边上)的时长；
(3)①求证：点P一定在△DEG的外接圆上；
②当△DEG的外接圆与AB相切时，求t的值；
(4)线段CG长的最小值是______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：a5÷a2=a3，
∴“？”是3，
故选：D．
根据同底数幂的除法的法则进行计算，即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：15+(−22)=−(22−15)．
故选：D．
根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再用大绝对值减去小绝对值即可．
考查了有理数的加法，关键是熟练掌握异号两数相加的计算法则．
4.【答案】A
【解析】解：如图所示，
∵点B落在AB边B′处，
∴由折叠的性质：∠BDC=∠B′DC=12∠ADB=12×180°=90°，
∴CD⊥AB，即：h是△ABC的高线，
故选：A．
根据折叠的性质可推出∠BDC=∠B′DC=90°，即可得出CD⊥AB，从而得出结论．
本题考查折叠的性质，以及三角形高线的认识，理解基本性质和定义是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：A． 4=2，2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.π0=1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.17是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.sin60°= 32， 32是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
根据无理数的定义逐项进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，故A符合题意；
B、C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故B、C不符合题意；
D、可以用“两点之间线段最短”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故D不符合题意．
故选：A．
由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
本题考查垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
7.【答案】A
【解析】解：∵方程两根分别为x1=3，x2=−4，
∴x1+x2=3−4=−1，x1x2=−12，
∴方程为x2+x−12=0．
把方程的右边分解因式得：(x+4)(x−3)=0，
故选：A．
由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分解因式法解一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．两根之和是−ba，两根之积为−ca．
8.【答案】A
【解析】解：将正方体1去掉后，
主视图不变，从左到右有三列，小正方形的个数分别是3、1、2；
左视图不变，从左到右有2列，小正方形的个数分别是3、2；
俯视图变化，第二列小正方形的个数由两个变为一个．
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是掌握三视图的概念．
9.【答案】C
【解析】解：120000=0.00005=5×10−5．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】D
【解析】解：A.由作图痕迹可得，AB>BC，
不能说明AB>AC，
故A选项不符合题意；
B.由作图痕迹可知，所作射线为∠ABC的平分线，
不能说明AB>AC，
故B选项不符合题意；
C.由作图痕迹可知，所作射线为△ABC中AB边上的高，
不能说明AB>AC，
故C选项不符合题意；
D.由作图痕迹可知，所作直线为线段BC的垂直平分线，
设线段BC的垂直平分线与AB交于点D，
∴BD=CD，
在△ACD中，AD+CD>AC，
∴AD+BD>AC，
即AB>AC，
故D选项符合题意．
故选：D．
根据各选项的作图痕迹逐项分析即可．
本题考查作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：连接AO，BO，
∵∠P=30°，
∴∠AOB=60°．
∵⊙O直径为6，
∴OA=3，
∴劣弧AB=60π×3180=π．
故选：C．
连接AO，BO，根据圆周角定理得出∠AOB=60°，再由弧长公式即可得出结论．
本题考查的是弧长的计算，根据题意作出辅助线，掌握弧长公式是解答此题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票分别记作A、B、C、D、E，列表如下：
A
B
C
D
E
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
(E,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
(E,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
(E,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(E,D)
E
(A,E)
(B,E)
(C,E)
(D,E)
由表知，共有20种等可能结果，其中淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的有2种结果数，
所以淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的概率是220=110，
故选：B．
将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票分别记作A、B、C、D、E，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格．
13.【答案】C
【解析】解：由题意得，∠DEA=108°，∠OAE=72°．
∴∠DEN+∠AEO=180°−∠DEA=72°．
∵∠AEO=2∠DEN，
∴3∠DEN=72°．
∴∠DEN=24°．
∴∠AEO=48°．
∴∠O=180°−∠AEO−∠EAO=180°−48°−72°=60°．
故选：C．
根据正多边形的性质以及多边形的外角和等于360度，得∠DEA=108°，∠OAE=72°，那么∠DEN+∠AEO=180°−∠DEA=72°.由∠AEO=2∠DEN，得∠DEN=24°，从而推断出∠AEO=48°.再根据三角形的内角和定理，得∠O=180°−∠AEO−∠EAO=180°−48°−72°=60°．
本题主要考查多边形的外角和内角，熟练掌握正多边形的性质、多边形的外角和、三角形的内角和是解决本题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：∵点A(n−2,y1)，B(n,y2)在二次函数的y=−x2+2x+3图象上，且y1
化简整理得，4n−8<0，
∴n<2，
∴n的取值范围是n<2，
故选：B．
将n，n−2代入二次函数解析式即可得出n的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出不等式是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：A、∵EG，FH过对角线交点，
∴EG，FH互相平分，
∴四边形EFCH是平行四边形，不符合题意；
B、∵E，F，G，H是四边形各边中点，
∴四边形EFCH是四边形ABCD的中点四边形，
∴四边形EFCH是平行四边形，不符合题意；
C、∵EF与GH不一定相等，
∴四边形EFCH不一定是平行四边形，符合题意；
D、∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵AF，BH是角平分线，
∴∠EAB=12∠BAD，∠EBA=12∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
同理可得：∠AFG=∠FGH=∠GHE=90°，
∴四边形EFCH是矩形，不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的性质、中点四边形的概念、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的性质、矩形的判定定理是解题的关键．
16.【答案】D
【解析】解：甲：设直线AB解析式为y=kx+b，
将A(2,6)，B(−6,−2)代入，
得2k+b=6−6k+b=−2，
解得k=1b=4，
∴直线AB的解析式为y=x+4，
∴y=x+4与直线y=−x不平行，
故推断不合理；
乙：若此函数的图象为双曲线，
设y=mx，则m=2×6=12
∴双曲线的解析式为y=12x，
当x=3时，y=123=4，
∴(3,4)也在此图象上，
故推断正确；
丙：设此二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
将将A(2,6)，B(−6,−2)代入，
得4a+2b+c=636a−6b+c=−2，
得b=4a+1，c=4−12a，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴c=4−12a>0，
∵二次函数与y轴交点坐标为(0,c)，且c>0，
∴则此函数图象一定与y轴的正半轴相交，
故推断不合理；
丁：∵b=4a+1，
∵二次函数的对称轴为x=−b2a=−4a+12a=−2−12a，
∵二次函数开口向上，
∴a>0，
∴12a>0，
∴−2−12a<−2，
∴−b2a<−2，
∴二次函数的对称轴在x=−2左侧，
故推断正确；
故选：D．
甲：先求出直线AB的解析式，再判断出与直线y=−x不平行；
乙：求出双曲线的解析式，再将(3,4)代入即可判断；
丙：可先求出抛物线的部分解析式，再判断当x=0时，y的正负性；
丁：先求出抛物线的部分解析式，表示出对称轴，判断对称轴与−2的大小即可．
本题主要考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数图象于系数的关系，二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的性质，反比例函数的性质是解题的关键．
17.【答案】2− 3
【解析】解：(2+ 3)×( 3−2)2
=( 3+2)×( 3−2)×( 3−2)
=(3−4)×( 3−2)
=−1×( 3−2)
=2− 3，
故答案为：2− 3．
利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】33
【解析】解：3+30=33(分钟)，
答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，
故答案为：33．
由题意可知，煮饭准备时间需3分钟，煮饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30=33分钟．
本题考查了学生在生活中利用统筹方法解决实际问题的能力．
19.【答案】3 49
【解析】解：(1)如图，在矩形ABMN中分别标记O′，O″，F′，H′，E′和G′，
由题意可知，
OE：AE=4：3，G′H′=FC=NF′，
∴DF：FC=3：4，NO′：O′F′=1：3．
又∵图⑤和图④的高相等，
∴图⑤和图④的面积比为1：3，
∴图⑤的面积为3；
故答案为：3；
(2)由题意可知，
S四边形AOCD=12(OC+AD)×CD，
S四边形AOMN=12(OM+AN)×NM，
S四边形AOCD+3=S四边形AOMN．
设DF=3a，DG=x，
则CF=G′H′=4a，CO=H′E′=2，CD=NM=7a，
EF=AG′=207+x，AG=E′F′=2+x，
∴AD=x+2+x=2+2x，
AN=207+x+x=207+2x，
∵S四边形AOCD+3=S四边形AOMN，
∴7a(2+2x)+3=7a(207+2x)，
又∵ax=3，
综上解得：a=12，x=6，
∵AD=2+2x=14，AB=7a=72，
∴S矩形ABCD=14×72=49，
故答案为：49．
根据两个长方形的宽相等，面积比等于长的比求出增加的图形⑤的面积；根据平移前后图形的变化，平移前图形的面积加上3等于平移后图形的面积，结合第一个空的3，联立解方程即可．
本题考查平移的性质和解直角三角形，找准平移前后不变的量是关键．
20.【答案】江水的流速 轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间(或轮船以最大航速逆流航行90km所用时间)
【解析】解：(1)∵甲同学列的方程为11050+x=9050−x，
∴x表示江水的流速；
∵乙同学列的方程为110y+90y=50×2，
∴y表示轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间(或轮船以最大航速逆流航行90km所用时间)．
故答案为：江水的流速，轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间(或轮船以最大航速逆流航行90km所用时间)；
(2)选甲：11050+x=9050−x，
方程两边都乘以(50+x)(50−x)得：110(50−x)=90(50+x)，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意．
答：江水流速为5km/h．
选乙：110y+90y=50×2，
方程两边都乘以y得：110+90=100y，
解得：y=2，
经检验，y=2是原方程的解，且符合题意，
∴110y−50=1102−50=5．
答：江水流速为5km/h．
解：(1)根据甲、乙两同学所列方程，可找出x，y表示的意义；
(2)选甲：解分式方程，经检验后即可得出结论；选乙：解分式方程，经检验后可得出y值，再将其代入110y−50中，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出各字母表示的意义是解题的关键．
21.【答案】72°
【解析】解：(1)360°×(1−10%−10%−20%−40%)=72°，
2班课外名著阅读情况中“9本”的人数20−10−4−2=4，
补全条形统计图如下：
故答案为：72°；
(2)1班平均数为x−=1100%(6×40%+7×20%+5×20%+8×10%+4×10%)=6(本)
方差为S2=1100%[40%×(6−6)2+20%×(7−6)2+20%×(5−6)2+10%×(8−6)2+10%×(4−6)2]=1.2，
∵1.2<7.6，
∴1班阅读情况更稳定；
(3)把1班数据按从小到大顺序排列4、4、5、5、5、5、6、6、6、6、6、6、6、6、7、7、7、7、8、8，发现中位数为6本，加入2班n名同学后中位数变小，要使这n名同学的阅读量的和最大，且n最小，则应加入4个5和4个4，此时新数据中位数为5+62=5.5本，
所以n为8，这n名同学阅读量的和为5×4+4×4=36本．
(1)用360°乘以7本的百分比即可；求出阅读9本的人数即可补全；
(2)根据公式求甲车间工资的平均数和方差即可；
(3)利用中位数的意义，得出n的值即可
本题考查中位数、平均数、条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的关键．
22.【答案】解：(1)sin2α+sin2β=1成立，理由如下：
∵sin30°=12，sin60°= 32，
∴sin2α+sin2β=(12)2+( 32)2=1；
(2)嘉嘉的猜想成立．证明如下：
在Rt△ABC中sinα=ac，sinβ=bc，且a2+b2=c2，
∴sin2α+sin2β=(ac)2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1；
(3)在Rt△ABC中，sina=ac，cosα= bc，
∴sinαcosα=acbc=ab，
∵tanα=ab，
∴tanα=sinαcosα．
【解析】(1)直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
(2)根据正弦函数的定义列出sina−ac，sinβ=bc，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
(3)根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt△ABC中，sina=ac，cosα= bc，再变形代入整理即可得出结论．
本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键．
23.【答案】(3,5) k≥23且k≠1或k≤−25
【解析】解：(1)设直线l1的函数表达式为y=ax+b(a≠0)，
将A(−3,0)，B(0,3)代入得0=−3a+bb=3，
解得：a=1b=3，
∴直线l1的函数表达式为y=x+3；
(2)当k=2时，直线l2的函数表达式为y=2x−1，
∴y=2x−1y=x+3，
解得：x=4y=7，
∴C(4,7)；
(3)y=kx+5−3k=k(x−3)+5，
当x=3时，y=5，即直线l2必过点(3,5)；
当直线l2过点B(0,3)时，
将点B的坐标代入函数表达式得：3=−3k+5，
解得：k=23；
当直线l2过点D(8,3)时，
同理可得：k=−25；
∵两条直线相交于点C，则k≠1，
综上，k的取值范围为：k≥23且k≠1或k≤−25．
故答案为：(3,5)，k≥23且k≠1或k≤−25．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)当k=2时，直线l2的函数表达式为y=2x−1，进而求解；
(3)当直线l2过点B(0,3)时，将点B的坐标代入函数表达式得：3=−3k+5，解得：k=23；当直线l2过点D(8,3)时，同理可得：k=−25，进而求解．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、定点问题、待定系数法求函数表达式等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
24.【答案】2 13或2 13−4
【解析】(1)证明：如图2中，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC=BD；
(2)解：结论：AC与扇形COD所在的圆相切．
理由：如图3中，
当点D落在AO上时，∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵OD=AD，
∴BD⊥OA，
∵OD是半径，
∴AC与扇形COD所在的圆相切；
(3)解：如图4−1中，当点D在线段AC上时，过点A作AH⊥OD交OD的延长线于点H，在DB上取一点T，使得DT=DO.连接OT．
∵∠ADO=120°，∠ABO=60°，
∴A，D，O，B四点共圆，
∴∠ODB=∠OAB=60°，
∵DO=DT，
∴△DOT是等边三角形，
∴∠DOT=∠AOB=60°，
∴∠AOD=∠BOT，
∵OD=OT，OA=OB，
∴△AOD≌△BOT(SAS)，
∴AD=BT，
∴BD=DT+TB=OD+AD，
设AD=2x，则DH=x，AH= 3x，
∵AO2=AH2+OH2，
∴82=(4+x)2+( 3x)2，
∴x= 13−2(负根已经舍去)，
∴BD=OD+AD=4+2 13−4=2 13．
如图4−2中，当点D在AC的延长线上时，同法可得BD=2 13−4．
综上所述，BDA的长为2 13或2 13−4．
故答案为：2 13或2 13−4．
(1)证明△AOC≌△BOD(SAS)，可得结论；
(2)结论：AC与扇形COD所在的圆相切．证明OD⊥BD即可；
(3)分两种情形：如图4−1中，当点D在线段AC上时，过点A作AH⊥OD交OD的延长线于点H，在DB上取一点T，使得DT=DO.连接OT.证明BD=OD+AD，求出AD，可得结论．如图4−2中，当点D在AC的延长线上时，同法可得BD的长．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)设抛物线表达式为y=ax2+c(a≠0)，
∵OP=8，
∴P(0,8)，
又∵AB=12，杯子高20cm，
∴B(6,20)，
将P(0,8)，B(6,20)代入得：
20=36a+cc=8，
解得：a=13c=8．
∴杯体APB所在抛物线表达式为y=13x2+8；
(2)杯子平移后顶点坐标为(−3,8)，则平移后表达式为y=13(x+3)2+8，
当x=0时，y=11，
∴M(0,11)，点M关于对称轴对称的点M′(−6,11)，
由平移可知A(−9,20)，
当直线经过点M(0,11)时，
20=−9k+bb=11，
解得k=−1b=11，
∴y=−x+11，
当直线经过点M′(−6,11)时，
11=−6k+b20=−9k+b，
解得k=−3b=−7，
∴y=−3x−7，
∴−3
(3)①建立如图3.1所示平面直角坐标系，设BQ与y轴交于点E，l与y轴交于点F，AB与y轴交于点N．
∵∠FOD=90°，∠FDO=30°，
∴∠DFO=60°，
∵BQ//l，
∴∠BEN=∠DFO=60°，
∵∠BNE=90°，BN=6，
∴NE=6tan∠BEN=2 3，
∴OE=20−2 3，
∴BQ与y轴交点坐标为(0,20−2 3)．
②如图3.2，过杯体最低点作直线a//BQ，交y轴于点R，此时直线a与抛物线有且只有一个交点．
∴此时直线a与CD的夹角为30°，
∴ka= 33，
设直线a的解析式为y= 33x+c，由(1)可知抛物线解析式为y=13x2+8，
令13x2+8= 33x+c，
∴13x2− 33x+8−c=0，则Δ=(− 33)2−4×13(8−c)=0，
∴c=314，
∴直线a的解析式为y= 33x+314，
作ES⊥直线a于点S，
RE=OE−OR=20−2 3−314=494−2 3，
∵a//l，
∴∠ERS=∠DFO=60°，
∴ES=REsin60°=(494−2 3)× 32=49 38−3，
∴最大深度为(49 38−3)cm．
【解析】(1)设抛物线表达式为y=ax2+c(a≠0)将P(0,8)，B(6,20)代入建立方程即可得到答案；
(2)杯子平移后顶点坐标为(−3,8)，设平移后表达式为y=13(x+3)2+8，可得M(0,11)，点M关于对称轴对称的点M′(−6,11)，由平移可知A(−9,20)，当直线经过点M(0,11)时，可得y=−x+11当直线经过点M′(−6,11)时，可得y=−3x−7，从而可得答案；
(3)①建立如图1所示平面直角坐标系，设BQ与y轴交于点E，l与y轴交于点F，AB与y轴交于点N.求解∠DFO=60°，可得∠BEN=∠DFO=60°，NE=6tan∠BEN=2 3，OE=20−2 3，从而可得答案；②如图2，过杯体最低点作直线a//BQ，交y轴于点R，此时直线a与抛物线有且只有一个交点．设直线a的解析式为y= 33x+c，由(1)可知抛物线解析式为y=13x2+8，求解c=314，可得直线a的解析式为y= 33x+314，作ES⊥直线a于点S，RE=OE−OR=20−2 3−314=494−2 3，可得ES=REsin60°=(494−2 3)× 32=49 38−3，从而可得答案．
本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，理解题意，建立合适的坐标系与函数模型是解本题的关键．
26.【答案】−t24+2t 8 2−8
【解析】解：(1)BF=−t24+2t.理由：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为8，
∴∠A=∠B=90°，AP=t，BP=8−t，
又∵E为AD中点，
∴AE=4，
∵EP⊥PF，
∴∠BPF+∠APE=90°，
∠AEP+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠BPF，
∴△AEP～△BPF，
∴APAE=BFBP，
∴t4=BF8−t，
∴BF=t(8−t)4=−t24+2t．
故答案为：−t24+2t；
(2)当PG过点K时(或当点F与点K重合时)BF=2，
∴−t24+2t=2，
∴t2−8t+8=0，
解得：t1=4+2 2，t2=4−2 2．
∴点K在∠EPG内部的时长为4−2 2+[8−(4+2 2)]=8−4 2．
(3)证明：①如图，连接EG，取EG中点O，连接OD、OP，如图，
则OE=OG．
∵∠ADC=90°，∠EPG=90°，
∴DO=OE=OG=OP，
∴点P在△DEG的外接圆上．
②由①可知点O为△DEG外接圆圆心，作OM⊥AD于点M，
∵OP为△DEG外接圆半径，该圆与AB相切，
∴OP⊥AB，
∵OM⊥AD，∠A=90°，
∴四边形APOM为矩形，
∴AP=OM．
∵OD=OE，
∴ME=DM=2，
∴MA=ME+EA=6，
∴OE=OP=6．
在Rt△OEM中，
∵OM= 62−22=4 2，
∴AP=OM=4 2，
∴t=4 2．
(4)最小值为8 2−8．
方法一：如图，
∵在点P从A向B运动的过程中，点G由无限远处向点C运动．
∴当外接圆与AB相切时，CG最小．
由(3)可知：EG=2OE=12，
∴DG= 122−42=8 2，
∴CG=DG−CD=8 2−8．
方法二：如图，
作GH⊥AB延长线于点H，
则四边形CBHG为矩形，
∴CG=BH，
∵∠EPG=90°，
∴∠EPA+∠GPH=90°，
∵∠AEB+∠EPA=90°，
∴∠AEP=∠GPH，
∵∠A=∠H=90°，
∴△AEP～△HPG，
∴AEAP=HPHG，
∴4t=HP8，
∴HP=32t，
∵AP=t，
∴PB=8−t．
∴CG=BH=HP−BP=32t−(8−t)，
∴CG可以看成是函数y=32t和y=−t+8图象上当t相同时两点之间的距离．
通过平移直线y=−t+b，发现当直线y=−t+b与y=32t只有一个交点时，直线y=−t+b与直线y=−t+8的垂直距离为CG最小值．
∴32t=−t+b，
∴t2−bt+32=0，
∵Δ=b2−128=0，
∴b=±8 2，
∵b>0，
∴b=8 2
此时两直线间的距离即为y=32t和y=−t+8之间的最小距离为8 2−8．
故答案为：8 2−8．
(1)利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
(2)当PG过点K时(或当点F与点K重合时)BF=2，得到关于t的方程，解方程求得t值，则结论可求；
(3)①连接EG，取EG中点O，连接OD、OP，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可；
②利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和垂径定理解答即可得出结论；
(4)方法一：由于在点P从A向B运动的过程中，点G由无限远处向点C运动，可得当外接圆与AB相切时，CG最小，利用(3)的结论和勾股定理解答即可得出结论；
方法二：作GH⊥AB延长线于点H，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质求得HP，CG，CG可以看成是函数y=32t和y=−t+8图象上当t相同时两点之间的距离，通过平移直线y=−t+b，发现当直线y=−t+b与y=32t只有一个交点时，直线y=−t+b与直线y=−t+8的垂直距离为CG最小值，利用方程的思想解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质相似三角形的判定与性质，正方形的性质，本题是动点问题，利用t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
2023年河北省保定市莲池区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算a5÷a？得a2，则“？”是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 按照有理数加法法则，计算15+(−22)的正确过程是( )
A. +(23+15) B. +(22−15) C. −(22+15) D. −(22−15)
4. 如图，将△ABC折叠，使点B落在AB边B′处，展开后得到折痕h，则h是△ABC的( )
A. 高线
B. 角平分线
C. 中线
D. 中位线
5. 下列选项是无理数的是( )
A. 4 B. π0 C. 17 D. sin60°
6. 下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是( )
A. B.
C. D.
7. 已知一元二次方程的两根分别为x1=3，x2=−4；则这个方程为( )
A. (x−3)(x+4)=0 B. (x+3)(x−4)=0
C. (x+3)(x+4)=0 D. (x−3)(x−4)=0
8. 如图所示的几何体由9个大小相同的小正方体组成，将小正方体1去掉后，所得几何体的三视图没有发生变化的是( )
A. 主视图和左视图
B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图
D. 主视图、左视图、俯视图
9. 一次抽奖活动特等奖的中奖率为120000，把120000用科学记数法表示为( )
A. 5×10−4 B. 2×10−4 C. 5×10−5 D. 2×10−5
10. 观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明AB>AC的是( )
A. B. C. D.
11. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的直径为6，则劣弧AB长为( )
A. 3
B. 2π
C. π
D. 6
12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.嘉嘉购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票中的两张送给好朋友淇淇.嘉嘉将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让淇淇从中随机抽取一张(不放回)，再从剩下的邮票中随机抽取一张，则淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的概率是( )
A. 25 B. 110 C. 120 D. 125
13. 如图所示，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，∠AEO=2∠DEN，则∠O的度数为( )
A. 80°
B. 72°
C. 60°
D. 50°
14. 已知点A(n−2,y1)，B(n,y2)在二次函数的y=−x2+2x+3图象上，若y1
15. 如图，在平行四边形ABCD中，按下列条件得到的四边形EFGH不一定是平行四边形的是( )
A. EG，FH是过对角线交点的两条线段
B. E，F，G，H是四边形各边中点
C. EF⊥BC，GH⊥AD
D. AF，BH，CH，DF是角平分线
16. 已知某函数的图象经过A(2,6)，B(−6,−2)两点，几名同学给出了如下四个推断：
甲：若该函数的图象为直线，则此函数的图象与直线y=−x平行；
乙：若该函数的图象为双曲线，则(3,4)也在此函数图象上；
丙：若该函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；
丁：若该函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象的对称轴在直线x=−2的左侧；
推断合理的是( )
A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 乙、丁
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 计算：(2+ 3)×( 3−2)2= ______ ．
18. 以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟．
用时
种类
准备时间(分钟)
加工时间(分钟)
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
6
19. 小颖在一次拼图游戏中，发现了一个有趣的现象：她先用图形①②③④⑤拼出了矩形ABMN；接着拿走图形⑤.通过平移的方法，用①②③④拼出了矩形ABCD.已知OE：AE=4：3，图形④的面积为9，请你帮助她解决下列问题：
(1)拿走的图形⑤的面积为：______ ；
(2)当CO=2，EH=207时，则S矩形ABCD= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题9.0分)
如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
15.3分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为50km/h，它以最大航速沿江顺流航行110km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，江水的流速为多少？
甲：11050+x=9050−x；
乙：110y+90y=50×2．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)甲同学所列方程中的x表示______ ；乙同学所列方程中的y表示______ ；
(2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．
21. (本小题9.0分)
张老师为了了解她所教1班、2班本学期课外名著阅读情况，分别从两班随机抽取20名同学进行调查，并把调查结果制成如图所示不完整的扇形统计图和条形统计图．
(1)1班课外名著阅读情况扇形统计图中“7本”所在扇形的圆心角是______ ；请补充2班课外名著阅读情况中“9本”的条形统计图；
(2)已知2班阅读数量的平均数为6本，方差为7.6，请你计算1班的平均数和方差，并判断哪个班阅读情况比较稳定；
(3)从2班所选样本中选取n名同学的阅读数量.并与1班样本组成一组新数据，发现新数据的中位数小于原1班样本的中位数.若n取最小值时，求这n名同学的阅读量和的最大值．
22. (本小题9.0分)
嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245=( 22)2+( 22)2=1．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
23. (本小题10.0分)
如图，直线l1经过A(−3,0)，B(0,3)两点.已知点D(8,3)，点P是线段BD上一动点(可与点B，D重合)，直线l2：y=kx+5−3k(k为常数)经过点P，交l1于点C．
(1)求直线l1的函数表达式；
(2)当k=2时，求点C的坐标；
(3)直线l2必过点______ ，在点P移动的过程中，k的取值范围为______ ．
24. (本小题10.0分)
已知线段OB长为8，点D为线段OB的中点，将线段OB绕点O逆时针旋转60°，得到扇形AOB和扇形COD.如图1所示固定扇形AOB不动，将扇形COD绕点O逆时针旋转，如图2，连接AC，BD，设旋转角α(0<α≤360°)
(1)求证：AC=BD；
(2)当点D落在OA边上时，AC与扇形COD所在的圆存在怎样的位置关系？说明理由；
(3)当A，C，D三点共线时，线段BD的长是______ ．
25. (本小题10.0分)
嘉琪家里有一款高脚杯，她发现高脚杯的杯体可以近似看成抛物线.于是她开始进行测量，并画出了高脚杯的截面图(杯体厚度忽略不计)如图(1).点P是抛物线的顶点，CD=OP=8cm.点O是CD的中点，且OP⊥CD，AB=12cm，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为20cm.嘉琪想借此考查一下对学过的知识掌握情况，于是以O为原点，CD所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(1个单位长度表示1cm)，并提出了以下问题，你也来一起解决吧！
(1)求杯体APB所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向左平移3cm，并倒满饮料，杯体APB与y轴交于点M，如图(2)，过点A放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后发现剩余饮料的液面低于点M，设吸管所在直线的解析式为y=kx+b，求k的取值范围；
(3)将放在水平桌面l上的装有饮料的高脚杯绕点D顺时针旋转30°，液面恰好到达点B处(BQ//l)，如图(3)．
①请你以CD的中点O为原点，CD所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，并求出BQ与y轴的交点坐标；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
26. (本小题12.0分)
如图，已知正方形ABCD的边长为8个单位长，点E为AD边上的中点，点P从点A向点B以1个单位长/秒速度匀速运动，连接PE，过点P做PE的垂线，交BC于点F.交射线DC于点G.设点P运动时间为t．
(1)用含t的代数式表示BF长为______ ；
(2)如图，点K在BC边上，且BK=2，求点K在∠EPG内部(包括边上)的时长；
(3)①求证：点P一定在△DEG的外接圆上；
②当△DEG的外接圆与AB相切时，求t的值；
(4)线段CG长的最小值是______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：a5÷a2=a3，
∴“？”是3，
故选：D．
根据同底数幂的除法的法则进行计算，即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：15+(−22)=−(22−15)．
故选：D．
根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再用大绝对值减去小绝对值即可．
考查了有理数的加法，关键是熟练掌握异号两数相加的计算法则．
4.【答案】A
【解析】解：如图所示，
∵点B落在AB边B′处，
∴由折叠的性质：∠BDC=∠B′DC=12∠ADB=12×180°=90°，
∴CD⊥AB，即：h是△ABC的高线，
故选：A．
根据折叠的性质可推出∠BDC=∠B′DC=90°，即可得出CD⊥AB，从而得出结论．
本题考查折叠的性质，以及三角形高线的认识，理解基本性质和定义是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：A． 4=2，2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.π0=1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.17是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.sin60°= 32， 32是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
根据无理数的定义逐项进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，故A符合题意；
B、C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故B、C不符合题意；
D、可以用“两点之间线段最短”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故D不符合题意．
故选：A．
由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
本题考查垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
7.【答案】A
【解析】解：∵方程两根分别为x1=3，x2=−4，
∴x1+x2=3−4=−1，x1x2=−12，
∴方程为x2+x−12=0．
把方程的右边分解因式得：(x+4)(x−3)=0，
故选：A．
由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分解因式法解一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．两根之和是−ba，两根之积为−ca．
8.【答案】A
【解析】解：将正方体1去掉后，
主视图不变，从左到右有三列，小正方形的个数分别是3、1、2；
左视图不变，从左到右有2列，小正方形的个数分别是3、2；
俯视图变化，第二列小正方形的个数由两个变为一个．
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是掌握三视图的概念．
9.【答案】C
【解析】解：120000=0.00005=5×10−5．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】D
【解析】解：A.由作图痕迹可得，AB>BC，
不能说明AB>AC，
故A选项不符合题意；
B.由作图痕迹可知，所作射线为∠ABC的平分线，
不能说明AB>AC，
故B选项不符合题意；
C.由作图痕迹可知，所作射线为△ABC中AB边上的高，
不能说明AB>AC，
故C选项不符合题意；
D.由作图痕迹可知，所作直线为线段BC的垂直平分线，
设线段BC的垂直平分线与AB交于点D，
∴BD=CD，
在△ACD中，AD+CD>AC，
∴AD+BD>AC，
即AB>AC，
故D选项符合题意．
故选：D．
根据各选项的作图痕迹逐项分析即可．
本题考查作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：连接AO，BO，
∵∠P=30°，
∴∠AOB=60°．
∵⊙O直径为6，
∴OA=3，
∴劣弧AB=60π×3180=π．
故选：C．
连接AO，BO，根据圆周角定理得出∠AOB=60°，再由弧长公式即可得出结论．
本题考查的是弧长的计算，根据题意作出辅助线，掌握弧长公式是解答此题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票分别记作A、B、C、D、E，列表如下：
A
B
C
D
E
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
(E,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
(E,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
(E,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
(E,D)
E
(A,E)
(B,E)
(C,E)
(D,E)
由表知，共有20种等可能结果，其中淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的有2种结果数，
所以淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的概率是220=110，
故选：B．
将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票分别记作A、B、C、D、E，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格．
13.【答案】C
【解析】解：由题意得，∠DEA=108°，∠OAE=72°．
∴∠DEN+∠AEO=180°−∠DEA=72°．
∵∠AEO=2∠DEN，
∴3∠DEN=72°．
∴∠DEN=24°．
∴∠AEO=48°．
∴∠O=180°−∠AEO−∠EAO=180°−48°−72°=60°．
故选：C．
根据正多边形的性质以及多边形的外角和等于360度，得∠DEA=108°，∠OAE=72°，那么∠DEN+∠AEO=180°−∠DEA=72°.由∠AEO=2∠DEN，得∠DEN=24°，从而推断出∠AEO=48°.再根据三角形的内角和定理，得∠O=180°−∠AEO−∠EAO=180°−48°−72°=60°．
本题主要考查多边形的外角和内角，熟练掌握正多边形的性质、多边形的外角和、三角形的内角和是解决本题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：∵点A(n−2,y1)，B(n,y2)在二次函数的y=−x2+2x+3图象上，且y1
化简整理得，4n−8<0，
∴n<2，
∴n的取值范围是n<2，
故选：B．
将n，n−2代入二次函数解析式即可得出n的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出不等式是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：A、∵EG，FH过对角线交点，
∴EG，FH互相平分，
∴四边形EFCH是平行四边形，不符合题意；
B、∵E，F，G，H是四边形各边中点，
∴四边形EFCH是四边形ABCD的中点四边形，
∴四边形EFCH是平行四边形，不符合题意；
C、∵EF与GH不一定相等，
∴四边形EFCH不一定是平行四边形，符合题意；
D、∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵AF，BH是角平分线，
∴∠EAB=12∠BAD，∠EBA=12∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
同理可得：∠AFG=∠FGH=∠GHE=90°，
∴四边形EFCH是矩形，不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的性质、中点四边形的概念、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的性质、矩形的判定定理是解题的关键．
16.【答案】D
【解析】解：甲：设直线AB解析式为y=kx+b，
将A(2,6)，B(−6,−2)代入，
得2k+b=6−6k+b=−2，
解得k=1b=4，
∴直线AB的解析式为y=x+4，
∴y=x+4与直线y=−x不平行，
故推断不合理；
乙：若此函数的图象为双曲线，
设y=mx，则m=2×6=12
∴双曲线的解析式为y=12x，
当x=3时，y=123=4，
∴(3,4)也在此图象上，
故推断正确；
丙：设此二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
将将A(2,6)，B(−6,−2)代入，
得4a+2b+c=636a−6b+c=−2，
得b=4a+1，c=4−12a，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴c=4−12a>0，
∵二次函数与y轴交点坐标为(0,c)，且c>0，
∴则此函数图象一定与y轴的正半轴相交，
故推断不合理；
丁：∵b=4a+1，
∵二次函数的对称轴为x=−b2a=−4a+12a=−2−12a，
∵二次函数开口向上，
∴a>0，
∴12a>0，
∴−2−12a<−2，
∴−b2a<−2，
∴二次函数的对称轴在x=−2左侧，
故推断正确；
故选：D．
甲：先求出直线AB的解析式，再判断出与直线y=−x不平行；
乙：求出双曲线的解析式，再将(3,4)代入即可判断；
丙：可先求出抛物线的部分解析式，再判断当x=0时，y的正负性；
丁：先求出抛物线的部分解析式，表示出对称轴，判断对称轴与−2的大小即可．
本题主要考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数图象于系数的关系，二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的性质，反比例函数的性质是解题的关键．
17.【答案】2− 3
【解析】解：(2+ 3)×( 3−2)2
=( 3+2)×( 3−2)×( 3−2)
=(3−4)×( 3−2)
=−1×( 3−2)
=2− 3，
故答案为：2− 3．
利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】33
【解析】解：3+30=33(分钟)，
答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，
故答案为：33．
由题意可知，煮饭准备时间需3分钟，煮饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30=33分钟．
本题考查了学生在生活中利用统筹方法解决实际问题的能力．
19.【答案】3 49
【解析】解：(1)如图，在矩形ABMN中分别标记O′，O″，F′，H′，E′和G′，
由题意可知，
OE：AE=4：3，G′H′=FC=NF′，
∴DF：FC=3：4，NO′：O′F′=1：3．
又∵图⑤和图④的高相等，
∴图⑤和图④的面积比为1：3，
∴图⑤的面积为3；
故答案为：3；
(2)由题意可知，
S四边形AOCD=12(OC+AD)×CD，
S四边形AOMN=12(OM+AN)×NM，
S四边形AOCD+3=S四边形AOMN．
设DF=3a，DG=x，
则CF=G′H′=4a，CO=H′E′=2，CD=NM=7a，
EF=AG′=207+x，AG=E′F′=2+x，
∴AD=x+2+x=2+2x，
AN=207+x+x=207+2x，
∵S四边形AOCD+3=S四边形AOMN，
∴7a(2+2x)+3=7a(207+2x)，
又∵ax=3，
综上解得：a=12，x=6，
∵AD=2+2x=14，AB=7a=72，
∴S矩形ABCD=14×72=49，
故答案为：49．
根据两个长方形的宽相等，面积比等于长的比求出增加的图形⑤的面积；根据平移前后图形的变化，平移前图形的面积加上3等于平移后图形的面积，结合第一个空的3，联立解方程即可．
本题考查平移的性质和解直角三角形，找准平移前后不变的量是关键．
20.【答案】江水的流速 轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间(或轮船以最大航速逆流航行90km所用时间)
【解析】解：(1)∵甲同学列的方程为11050+x=9050−x，
∴x表示江水的流速；
∵乙同学列的方程为110y+90y=50×2，
∴y表示轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间(或轮船以最大航速逆流航行90km所用时间)．
故答案为：江水的流速，轮船以最大航速沿江顺流航行110km所用时间(或轮船以最大航速逆流航行90km所用时间)；
(2)选甲：11050+x=9050−x，
方程两边都乘以(50+x)(50−x)得：110(50−x)=90(50+x)，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意．
答：江水流速为5km/h．
选乙：110y+90y=50×2，
方程两边都乘以y得：110+90=100y，
解得：y=2，
经检验，y=2是原方程的解，且符合题意，
∴110y−50=1102−50=5．
答：江水流速为5km/h．
解：(1)根据甲、乙两同学所列方程，可找出x，y表示的意义；
(2)选甲：解分式方程，经检验后即可得出结论；选乙：解分式方程，经检验后可得出y值，再将其代入110y−50中，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出各字母表示的意义是解题的关键．
21.【答案】72°
【解析】解：(1)360°×(1−10%−10%−20%−40%)=72°，
2班课外名著阅读情况中“9本”的人数20−10−4−2=4，
补全条形统计图如下：
故答案为：72°；
(2)1班平均数为x−=1100%(6×40%+7×20%+5×20%+8×10%+4×10%)=6(本)
方差为S2=1100%[40%×(6−6)2+20%×(7−6)2+20%×(5−6)2+10%×(8−6)2+10%×(4−6)2]=1.2，
∵1.2<7.6，
∴1班阅读情况更稳定；
(3)把1班数据按从小到大顺序排列4、4、5、5、5、5、6、6、6、6、6、6、6、6、7、7、7、7、8、8，发现中位数为6本，加入2班n名同学后中位数变小，要使这n名同学的阅读量的和最大，且n最小，则应加入4个5和4个4，此时新数据中位数为5+62=5.5本，
所以n为8，这n名同学阅读量的和为5×4+4×4=36本．
(1)用360°乘以7本的百分比即可；求出阅读9本的人数即可补全；
(2)根据公式求甲车间工资的平均数和方差即可；
(3)利用中位数的意义，得出n的值即可
本题考查中位数、平均数、条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的关键．
22.【答案】解：(1)sin2α+sin2β=1成立，理由如下：
∵sin30°=12，sin60°= 32，
∴sin2α+sin2β=(12)2+( 32)2=1；
(2)嘉嘉的猜想成立．证明如下：
在Rt△ABC中sinα=ac，sinβ=bc，且a2+b2=c2，
∴sin2α+sin2β=(ac)2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1；
(3)在Rt△ABC中，sina=ac，cosα= bc，
∴sinαcosα=acbc=ab，
∵tanα=ab，
∴tanα=sinαcosα．
【解析】(1)直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
(2)根据正弦函数的定义列出sina−ac，sinβ=bc，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
(3)根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt△ABC中，sina=ac，cosα= bc，再变形代入整理即可得出结论．
本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键．
23.【答案】(3,5) k≥23且k≠1或k≤−25
【解析】解：(1)设直线l1的函数表达式为y=ax+b(a≠0)，
将A(−3,0)，B(0,3)代入得0=−3a+bb=3，
解得：a=1b=3，
∴直线l1的函数表达式为y=x+3；
(2)当k=2时，直线l2的函数表达式为y=2x−1，
∴y=2x−1y=x+3，
解得：x=4y=7，
∴C(4,7)；
(3)y=kx+5−3k=k(x−3)+5，
当x=3时，y=5，即直线l2必过点(3,5)；
当直线l2过点B(0,3)时，
将点B的坐标代入函数表达式得：3=−3k+5，
解得：k=23；
当直线l2过点D(8,3)时，
同理可得：k=−25；
∵两条直线相交于点C，则k≠1，
综上，k的取值范围为：k≥23且k≠1或k≤−25．
故答案为：(3,5)，k≥23且k≠1或k≤−25．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)当k=2时，直线l2的函数表达式为y=2x−1，进而求解；
(3)当直线l2过点B(0,3)时，将点B的坐标代入函数表达式得：3=−3k+5，解得：k=23；当直线l2过点D(8,3)时，同理可得：k=−25，进而求解．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、定点问题、待定系数法求函数表达式等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
24.【答案】2 13或2 13−4
【解析】(1)证明：如图2中，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC=BD；
(2)解：结论：AC与扇形COD所在的圆相切．
理由：如图3中，
当点D落在AO上时，∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵OD=AD，
∴BD⊥OA，
∵OD是半径，
∴AC与扇形COD所在的圆相切；
(3)解：如图4−1中，当点D在线段AC上时，过点A作AH⊥OD交OD的延长线于点H，在DB上取一点T，使得DT=DO.连接OT．
∵∠ADO=120°，∠ABO=60°，
∴A，D，O，B四点共圆，
∴∠ODB=∠OAB=60°，
∵DO=DT，
∴△DOT是等边三角形，
∴∠DOT=∠AOB=60°，
∴∠AOD=∠BOT，
∵OD=OT，OA=OB，
∴△AOD≌△BOT(SAS)，
∴AD=BT，
∴BD=DT+TB=OD+AD，
设AD=2x，则DH=x，AH= 3x，
∵AO2=AH2+OH2，
∴82=(4+x)2+( 3x)2，
∴x= 13−2(负根已经舍去)，
∴BD=OD+AD=4+2 13−4=2 13．
如图4−2中，当点D在AC的延长线上时，同法可得BD=2 13−4．
综上所述，BDA的长为2 13或2 13−4．
故答案为：2 13或2 13−4．
(1)证明△AOC≌△BOD(SAS)，可得结论；
(2)结论：AC与扇形COD所在的圆相切．证明OD⊥BD即可；
(3)分两种情形：如图4−1中，当点D在线段AC上时，过点A作AH⊥OD交OD的延长线于点H，在DB上取一点T，使得DT=DO.连接OT.证明BD=OD+AD，求出AD，可得结论．如图4−2中，当点D在AC的延长线上时，同法可得BD的长．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)设抛物线表达式为y=ax2+c(a≠0)，
∵OP=8，
∴P(0,8)，
又∵AB=12，杯子高20cm，
∴B(6,20)，
将P(0,8)，B(6,20)代入得：
20=36a+cc=8，
解得：a=13c=8．
∴杯体APB所在抛物线表达式为y=13x2+8；
(2)杯子平移后顶点坐标为(−3,8)，则平移后表达式为y=13(x+3)2+8，
当x=0时，y=11，
∴M(0,11)，点M关于对称轴对称的点M′(−6,11)，
由平移可知A(−9,20)，
当直线经过点M(0,11)时，
20=−9k+bb=11，
解得k=−1b=11，
∴y=−x+11，
当直线经过点M′(−6,11)时，
11=−6k+b20=−9k+b，
解得k=−3b=−7，
∴y=−3x−7，
∴−3
(3)①建立如图3.1所示平面直角坐标系，设BQ与y轴交于点E，l与y轴交于点F，AB与y轴交于点N．
∵∠FOD=90°，∠FDO=30°，
∴∠DFO=60°，
∵BQ//l，
∴∠BEN=∠DFO=60°，
∵∠BNE=90°，BN=6，
∴NE=6tan∠BEN=2 3，
∴OE=20−2 3，
∴BQ与y轴交点坐标为(0,20−2 3)．
②如图3.2，过杯体最低点作直线a//BQ，交y轴于点R，此时直线a与抛物线有且只有一个交点．
∴此时直线a与CD的夹角为30°，
∴ka= 33，
设直线a的解析式为y= 33x+c，由(1)可知抛物线解析式为y=13x2+8，
令13x2+8= 33x+c，
∴13x2− 33x+8−c=0，则Δ=(− 33)2−4×13(8−c)=0，
∴c=314，
∴直线a的解析式为y= 33x+314，
作ES⊥直线a于点S，
RE=OE−OR=20−2 3−314=494−2 3，
∵a//l，
∴∠ERS=∠DFO=60°，
∴ES=REsin60°=(494−2 3)× 32=49 38−3，
∴最大深度为(49 38−3)cm．
【解析】(1)设抛物线表达式为y=ax2+c(a≠0)将P(0,8)，B(6,20)代入建立方程即可得到答案；
(2)杯子平移后顶点坐标为(−3,8)，设平移后表达式为y=13(x+3)2+8，可得M(0,11)，点M关于对称轴对称的点M′(−6,11)，由平移可知A(−9,20)，当直线经过点M(0,11)时，可得y=−x+11当直线经过点M′(−6,11)时，可得y=−3x−7，从而可得答案；
(3)①建立如图1所示平面直角坐标系，设BQ与y轴交于点E，l与y轴交于点F，AB与y轴交于点N.求解∠DFO=60°，可得∠BEN=∠DFO=60°，NE=6tan∠BEN=2 3，OE=20−2 3，从而可得答案；②如图2，过杯体最低点作直线a//BQ，交y轴于点R，此时直线a与抛物线有且只有一个交点．设直线a的解析式为y= 33x+c，由(1)可知抛物线解析式为y=13x2+8，求解c=314，可得直线a的解析式为y= 33x+314，作ES⊥直线a于点S，RE=OE−OR=20−2 3−314=494−2 3，可得ES=REsin60°=(494−2 3)× 32=49 38−3，从而可得答案．
本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，理解题意，建立合适的坐标系与函数模型是解本题的关键．
26.【答案】−t24+2t 8 2−8
【解析】解：(1)BF=−t24+2t.理由：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为8，
∴∠A=∠B=90°，AP=t，BP=8−t，
又∵E为AD中点，
∴AE=4，
∵EP⊥PF，
∴∠BPF+∠APE=90°，
∠AEP+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠BPF，
∴△AEP～△BPF，
∴APAE=BFBP，
∴t4=BF8−t，
∴BF=t(8−t)4=−t24+2t．
故答案为：−t24+2t；
(2)当PG过点K时(或当点F与点K重合时)BF=2，
∴−t24+2t=2，
∴t2−8t+8=0，
解得：t1=4+2 2，t2=4−2 2．
∴点K在∠EPG内部的时长为4−2 2+[8−(4+2 2)]=8−4 2．
(3)证明：①如图，连接EG，取EG中点O，连接OD、OP，如图，
则OE=OG．
∵∠ADC=90°，∠EPG=90°，
∴DO=OE=OG=OP，
∴点P在△DEG的外接圆上．
②由①可知点O为△DEG外接圆圆心，作OM⊥AD于点M，
∵OP为△DEG外接圆半径，该圆与AB相切，
∴OP⊥AB，
∵OM⊥AD，∠A=90°，
∴四边形APOM为矩形，
∴AP=OM．
∵OD=OE，
∴ME=DM=2，
∴MA=ME+EA=6，
∴OE=OP=6．
在Rt△OEM中，
∵OM= 62−22=4 2，
∴AP=OM=4 2，
∴t=4 2．
(4)最小值为8 2−8．
方法一：如图，
∵在点P从A向B运动的过程中，点G由无限远处向点C运动．
∴当外接圆与AB相切时，CG最小．
由(3)可知：EG=2OE=12，
∴DG= 122−42=8 2，
∴CG=DG−CD=8 2−8．
方法二：如图，
作GH⊥AB延长线于点H，
则四边形CBHG为矩形，
∴CG=BH，
∵∠EPG=90°，
∴∠EPA+∠GPH=90°，
∵∠AEB+∠EPA=90°，
∴∠AEP=∠GPH，
∵∠A=∠H=90°，
∴△AEP～△HPG，
∴AEAP=HPHG，
∴4t=HP8，
∴HP=32t，
∵AP=t，
∴PB=8−t．
∴CG=BH=HP−BP=32t−(8−t)，
∴CG可以看成是函数y=32t和y=−t+8图象上当t相同时两点之间的距离．
通过平移直线y=−t+b，发现当直线y=−t+b与y=32t只有一个交点时，直线y=−t+b与直线y=−t+8的垂直距离为CG最小值．
∴32t=−t+b，
∴t2−bt+32=0，
∵Δ=b2−128=0，
∴b=±8 2，
∵b>0，
∴b=8 2
此时两直线间的距离即为y=32t和y=−t+8之间的最小距离为8 2−8．
故答案为：8 2−8．
(1)利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
(2)当PG过点K时(或当点F与点K重合时)BF=2，得到关于t的方程，解方程求得t值，则结论可求；
(3)①连接EG，取EG中点O，连接OD、OP，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可；
②利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和垂径定理解答即可得出结论；
(4)方法一：由于在点P从A向B运动的过程中，点G由无限远处向点C运动，可得当外接圆与AB相切时，CG最小，利用(3)的结论和勾股定理解答即可得出结论；
方法二：作GH⊥AB延长线于点H，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质求得HP，CG，CG可以看成是函数y=32t和y=−t+8图象上当t相同时两点之间的距离，通过平移直线y=−t+b，发现当直线y=−t+b与y=32t只有一个交点时，直线y=−t+b与直线y=−t+8的垂直距离为CG最小值，利用方程的思想解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质相似三角形的判定与性质，正方形的性质，本题是动点问题，利用t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
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