2023年四川省成都市武侯区西川实验中学中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

2023年四川省成都市武侯区西川实验中学中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  如图是一根空心方管，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近亿千瓦时．亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是(    )

A. 中位数，众数是 B. 中位数是，众数是
C. 中位数是，众数是 D. 中位数是，众数是

5.  如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，中，是的平分线，交于，，，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，抛物线过点和点，且顶点在第三象限，则下列判断错误的是(    )

A.
B. 方程有两个不相等的实数根
C.
D.
二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.  因式分解： ______ ．

10.  分式方程的解是，则 ______ ．

11.  在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值是______．

12.  如图，四边形是的内接四边形，对角线过点，若，则的度数为______

13.  如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为______．

14.  已知方程的两根分别为，，则 ______ ．

15.  使关于的分式方程的解为非负数，且使正比例函数图象过第二、四象限时满足条件的所有整数的和为______．

16.  定义：如果三角形中有两个角的差为，则称这个三角形为互融三角形．在中，，，，点是延长线上一点．若是“互融三角形”，则的长为______．

17.  如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为______ ．

18.  如图，正方形中，、分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点若，则 ______ ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.  计算：；
求不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．

20.  西川实验学校随机抽取该校九年级部分学生进行家务劳动问卷调查，问卷调查表如图所示，设平均每周做家务的时间为小时，，，，，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．

求本次调查共调查了多少人，并补全条形统计图．
学校有名学生，请根据抽样调查结果估计学校平均每周做家务的时间不少于小时的学生人数．
已知组由两位女生、两位男生组成，请利用树状图或列表等方法求出恰好抽到一男一女的概率．

21.  张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头如图，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图，其相关数据为，，，，求的长结果精确到，参考数据：，，，

 

22.  如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

23.  如图，矩形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，．
若的面积为，
当，求的值和的面积；
当直线的解析式为，求的面积．
我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”若，当为“半直角三角形”时，求该反比例函数的解析式．

 

24.  年月日是中国共产党成立周年纪念日，某中学计划排练歌舞节目献礼建党周年，需要男生和女生共名同学参加演出，其中，女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的倍学校将为每位参加演出的学生购买一套演出服，从服装市场了解到：购买套男生服装需要元，购买套女生服装需要元．
设男生人数为，求的取值范围；
若学校和商家协定：购买女生服装没有优惠，购买男生服装超过套时，每多套则每套男生服装的购买价格减少元求参加演出的男生和女生分别为多少人时，购买服装所需费用最少？最少为多少元？

25.  如图，抛物线与轴分别交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，若且．
求该抛物线的函数表达式；
如图，点是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接、相交于点，当时，求点的坐标；
如图，在的条件下，交轴于点，过点的直线与线段，分别交于，，当直线绕点旋转时，为定值，请求出和的值．

 

26.  如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，作，交射线于点，交射线于点．
如图，当点在边上时点与点、不重合，延长交延长线于．
当平分时，求的长；
设，，求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
当点在射线上时点与点、不重合，射线交射线于点，当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图所示：俯视图应该是．
故选：．
俯视图是从物体的上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
本题考查了作图三视图，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、不能合并同类项；
B、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算；
C、根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方再把所的幂相乘计算．
D、根据口诀“末两项算平方，首末项乘积的倍中间放，符号随中央”来计算．
本题考查了完全平方公式、合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘，熟练掌握着四种法则的运算是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将亿用科学记数法表示为：．
故选：．
利用科学记数法将数据表示为的形式，且即可．
本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为的形式，且，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：七个整点时数据为：，，，，，，．
所以中位数为，众数为，
故选：．
根据中位数，众数的定义即可判断．
本题考查折线统计图，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得，，
，
，
，
，
故选：．
根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由点和点关于轴对称，得
，．
则．
故选：．
根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得、的值，根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，利用关于轴对称的点的坐标特征得出、的值是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
首先求出的长，然后根据相似三角形的知识得到，进而求出的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是利用三角形相似列出比例等式，此题难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线过点和点，
，，
，故A正确，不合题意；
由图象可知，抛物线与直线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，故B正确，不合题意；
，即，
抛物线的顶点在第三象限，
，即，
开口向上，即，
，得，
则，
，
，
，故C正确，不合题意；
，，
，，
即，故D错误，符合题意；
故选：．
把，代入得，即可判断、；根据图象即可判断；根据，即，得到，进而得到，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，能熟知二次函数的图象和系数的关系是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：分式方程的解是，
，
解得：．
故答案为：．
先将代入分式方程中求解即可．
本题考查分式方程的解，理解分式方程的解是解答的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将点向下平移个单位长度得到点，则，
点恰好在反比例函数的图像上，
，
故答案为：．
点向下平移个单位长度得到点，代入利用待定系数法即可求得的值．
本题考查了坐标与图形变化平移，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理得出，，根据角的和差求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，如图，利用基本作图得到点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出
．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

14.【答案】解：原式

；
由得，，
由得，，
故此不等式组的解集为：，
不等式组的非负整数解为：，，． 

【解析】先分别根据负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合条件的的非负整数解即可．
本题考查的是实数的运算，一元一次不等式的整数解，熟知负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：本次调查的学生人数为：人，
的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计学校平均每周做家务的时间不少于小时的学生人数约为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有种，
恰好抽到一男一女的概率为． 

【解析】由的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数即可解决问题；
由学校共有学生人数乘以平均每周做家务的时间不少于小时的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】解：过点作于，过点作于，如图所示，
则四边形为矩形，
，，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
答：的长约为． 

【解析】过点作于，过点作于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

17.【答案】证明：连接，过点作交于点，
，点是边的中点，
，
，
，
，
，
平分，
点在边上，，，
，
是的半径，
是的半径，
是的切线；

解：，，
，
设，则，，
在中，，
，
，，
设的半径为，则，，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，作，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，进而得出，再利用平行的性质得到，从而得到，推出平分，最后利用角平分线的性质得到，即可证明结论；
根据，可设，则，利用勾股定理求出，得到，，设的半径为，则，，根据∽得到，即可求出的半径．
本题考查了圆的切线的性质和判定，直接三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质和判定是解题关键．
 

18.【答案】解：点的坐标为，，
，，
设反比例函数的解析式为，
则，
的面积为，
，
解得，
即反比例函数解析式为，
，
的面积矩形的面积的面积的面积的面积，
的值为，的面积为；
，的面积为，
，
，
，直线的解析式为，
，
解得或或舍去是负数的情况，
的面积矩形的面积的面积的面积的面积，
代入的值得或，
的面积为或；
，
，，，
当时，作，交延长线于点，作，交延长线于，

是等腰直角三角形，
，
，，
，
又，
≌，
，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
，
解得舍去负值，
当时，作，交延长线于点，过点作轴于点，

同理可证≌，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得或，
综上所述，符合条件的值为或或，
即反比例函数解析式为或或． 

【解析】根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可；
根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可；
分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可．
本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：方程的两根分别为，，
，
，
，
；
故答案为：．
根据方程的两根分别为，，得出，，再把要求的式子变形为，最后代入计算即可．
此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程的两根分别为，，则有，．
 

20.【答案】 

【解析】解：关于的分式方程的解为非负数，
，且，
解得：且，
正比例函数的图象过第二、四象限，
，
解得：，
且，
，，，
．
故答案为．
根据题意可以求得的满足条件的所有整数值，从而可以解答本题．
本题考查正比例函数的性质、分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用正比例函数的性质、分式方程和不等式的性质解答．
 

21.【答案】或 

【解析】解：是“互融三角形”，
当时，则，

，
由勾股定理得，，
，
当时，则，
，
∽，
，
设，，
，
，
，
解得，
，
故答案为：或．
分两种情形：当时，则，当时，则，分别进行计算．
本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，依据定义进行分类讨论是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：连接，取中点，连接，则，
即，

则，
当、、共线时，上式取等号，
，，
则点，
而点，
由点、的坐标得，，
故AD的最小值为．
故答案为：．
根据中位线定理得出，由，即可求解．
本题考查的是几何变换，主要考查了坐标与图形的变化，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

23.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，设，
，
由翻折可知，，设，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，，，，
设，
在中，则有，
解得，
，
连接，延长交于，则四边形是平行四边形，过点作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，，
，
．
故答案为．
四边形是正方形，设，利用相似三角形的性质，求出用表示，构建方程求出，再想办法求出，即可解决问题．
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

24.【答案】解：设男生人数为，则女生人数为，
依题意得：，
解得：．
答：的取值范围为．
设购买服装所需费用为元，
则．
，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
当时，，此时；
当时，，此时．
，
当参加演出的男生为人、女生为人或参加演出的男生为人、女生为人时，购买服装所需费用最少，最少为元． 

【解析】设男生人数为，则女生人数为，根据女生人数不能少于男生人数且不能多于男生人数的倍，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
设购买服装所需费用为元，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

25.【答案】解：，
，
，
，
，
将、代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
，
抛物线的对称轴为直线，
设，，
当时，，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
，，
，，
，
解得舍或，
；
过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，
，，
轴，
，
，，，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，由，可得，设，，分别求出，，根据，建立方程求出的值即可求点坐标；
过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，则，根据平行线的性质可得，，，
，化简得，，再由，求出，再由，得到，根据平行得到，求出，则，因为，则，即可求，．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，灵活的对分式进行变形处理是解题的关键．
 

26.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
平分，
，
，
≌，
，，
在中，，，
，
，
在中，，
，
；
四边形是矩形，
，，
，
，
，
∽，
：：，
，，，，
，
解得：，
，
：：，
即，
解得：．
即关于的函数关系式为；
当点在线段上时，在线段上，

∽，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
∽，
，
即，
解得：；
当在的延长线上时，如图：

，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
解得：．
综上所述，的长为或． 

【解析】证明≌，可得，，利用勾股定理求出，则，再由勾股定理即可求得的长；
先证明∽，得出：：，再证明：：，从而求得关于的函数关系式．
根据∽，得出，求得，然后再份情况讨论，从而求得的长．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理以及分类讨论等知识．本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．