2023年江苏省宿迁市宿豫区中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省宿迁市宿豫区中考数学二模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，，直线与，分别交于点，，平分，交于点，若，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  下面调查中，最适合普查的是(    )

A. 调查京杭大运河水质情况 B. 了解全国中学生的心理健康状况
C. 了解全班学生的身高情况 D. 调查春节联欢晚会收视率

6.  若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  与最接近的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆与的半径为米，且经过的圆心已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

9.  用直尺和圆规作斜边上的高线，以下四个作图中，作法错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  点在直线：上，将直线绕点旋转得到直线：，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.  开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长，帮助家长解决按时接送学生困难的重要举措据统计年度全国义务教育学校共有名学生参加了课后服务将用科学记数法表示为______ ．

13.  分解因式：          ．

14.  不等式的正整数解为______ ．

15.  在菱形中，对角线，，则菱形的周长为______．

16.  如果点在第三象限内，那么的取值范围是______ ．

17.  一个圆锥的底面半径为，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是______．

18.  已知中，，，则的最大值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共9小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
如图，在中，的平分线交边于点，于点已知，．
求的度数；
若，求的长度．

22.  本小题分
中国古代有着辉煌的数学成就，周髀算经，九章算术，海岛算经，孙子算经等是我国古代数学的重要文献．
小聪想从这部数学名著中随机选择部阅读，则他选中九章算术的概率为______；
某中学拟从这部数学名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中九章算术和孙子算经的概率．

23.  本小题分
某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表

请根据所给信息，解答下列问题：
______，______；
请补全频数分布直方图；
已知该年级有名学生参加这次比赛，若成绩在分以上含分的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，以为直径的交于点，，连接交于点．
证明：与相切；
若，，求的长．

25.  本小题分
雄伟壮观的泗阳大桥成功连接了京杭大运河南北两岸交通，是千里京杭大运河上第一座红色、型、斜塔斜拉桥某校初三数学兴趣小组想测量泗阳大桥的外拱塔的最高点距离水面的高度如图所示，他们在桥面上选取了一个测量点，测得点的仰角为，到拉索端点的距离的长度为点在水平线上据了解，拉索，与水面之间的距离为求大桥的外拱塔的最高点距离水面的高度【参考数据：，，】

 

26.  本小题分
一辆摩托车从甲地出发以的速度匀速驶往乙地，同时一辆轿车从乙地出发沿同一条路以的速度匀速驶往甲地，两车相遇后摩托车休息半小时，再按原来的速度继续前往目的地，两车抵达对方出发地后即停止图中折线表示两车之间的距离与摩托车行驶时间的函数关系．
甲乙两地之间的距离是______ ，摩托车的速度是______ ；
求线段所表示的函数表达式；
求当为多少时，两车之间的距离为？

27.  本小题分
已知是四边形的对角线，点沿运动，到达点时停止运动点在线段运动，且始终保持射线交线段于点．

如图，当点在线段上时；
求证：；
若，求的度数；
如图，若点在线段上；是线段中点，在图中，仅用无刻度直尺在线段上作出点；
请求出点运动的路径长．

28.  本小题分
阅读下列材料：在九年级下册“二次函数的图象和性质”课时学习中，我们发现，函数：中的符号决定图象的开口方向，决定图象的开口大小，为了进一步研究函数的图象和性质，我们作如下规定：如图，抛物线上任意一点异于顶点到对称轴的垂线段的长度的长度叫做这个点的“勾距”，记作；垂足到抛物线的顶点的距离叫这个点的“股高”，记作；点到顶点的距离的长度叫这个点的“弦长”，记作；过这个点和顶点的直线与对称轴相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作．
由图可得，对于函数．
当勾距为定值时，
、；股高和弦长均随增大而增大；
；偏角随增大而减小；
如：函数中，当时，、、
当偏角为定值时，
、、，勾距、股高和弦长均随增大而减小；如：函数中，当时，、、
利用以上结论，完成下列任务：如图：已知以为顶点的抛物线与轴相交于点，若抛物线的顶点也是，并与直线相交于点，与轴相交于点．
函数中，当时， ______ ，当时， ______ ；
如图：以为顶点作抛物线：和，与轴相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点；
当时，设，随的取值不同，的值是否发生改变，如果不变，请求出的值，如果发生改变，请直接写出的取值范围；
若点在抛物线上，直线与的另一个交点为，记的面积为，的面积为，若，请求出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：排列得：，
则最小的数是．
故选：．
将个数按照从小到大顺序排列，确定出最小的数即可．
此题考查了有理数大小比较，正确排列出各数的大小是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了单项式乘以单项式运算以及结合完全平方公式、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用单项式乘以单项式运算法则以及结合完全平方公式、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】
解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得如下图形：

故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线的性质等知识，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等．
先根据角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】
解：，
，
平分，，
，
，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、调查京杭大运河水质情况，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解全国中学生的心理健康状况，适合抽样调查，故B不符合题意；
C、了解全班学生的身高情况，适合普查，故C符合题意；
D、调查春节联欢晚会收视率，适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

6.【答案】 

【解析】解：一元二次方程没有实数根，
，
，
故选：．
根据根的判别式列出不等式求出的范围即可求出答案．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
与最接近的整数是，
故选：．
先运用算术平方根知识估算出的值，再计算出此题结果．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，，，，，

等圆与的半径为米，经过的圆心，
米，
和是等边三角形，
，
优弧所对的圆心角的度数是，
花坛的周长为米，
故选：．
连接，，，，，根据等边三角形的判定得出和是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．
本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了作图复杂作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．
根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】

解：、根据垂径定理作图的方法可知，是斜边上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，是斜边上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，是斜边上的高线，不符合题意；
D、无法证明是斜边上的高线，符合题意．
故选D．
 

10.【答案】 

【解析】解：直线：，
直线：经过定点，
直线：经过点，
点的坐标为，
，，
当直线在直线的下方时，如图，

过直线：与轴的交点，作直线，交直线于点，作轴于，轴于，
时，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点坐标为，
代入得，，
解得，
；
当直线在直线的上方时，如图，

同理求得，
代入得，，
解得，
；
综上，或，
故选：．
由两条直线都经过点，即可得出，，然后构建全等三角形，求得点的坐标，最后运用待定系数法求点的值，从而求得的值．
本题主要考查了一次函数图象于几何变换，一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的性质可知，，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的性质即可直接求解．
本题主要考查二次根式的性质，二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用分解因式．
应先提取公因式，再对其利用平方差公式分解即可．
【解答】

解：，
，
．
故答案为：．

14.【答案】、 

【解析】解：解不等式得：，
该不等式的正整数解为：、，
故答案为：、．
先求出不等式的解集，再找出正整数解．
本题考查了一元一次不等式的整数解，掌握解不等式的方法是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
菱形的周长．
故答案为：．
由菱形，根据菱形的对角线互相平分且垂直，可得，，，易得；根据菱形的四条边都相等，可得菱形的周长．
此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边都相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
解得，
则不等式组的解集是．
故答案为：．
根据点在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
【解答】
解：底面半径为，则底面周长，侧面展开图是半圆，则母线长，
圆锥的侧面积．
故答案为．  

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，取，

是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，而一定，
当的面积最大时，最大，
，
点在以为直径的圆上，
当平分时，点到的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时，则为等腰直角三角形，
，
的最大值为．
故答案为：．
过点作，垂足为，取，即可证明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式混合元算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
本题考查了分式的化简求值．解题的关键是对分式的分子分母因式分解及分式混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算负整数指数幂，再化简二次根式、代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、特殊角的函数值及绝对值的意义是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：平分，
，
是的一个外角，
，
的度数为；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长度为． 

【解析】先利用角平分线的定义求出，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答；
根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余求出，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，再利用利用直角三角形的两个锐角互余求出，从而利用等腰直角三角形的性质即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形，熟练掌握含度角的直角三角形的性质，以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：
将四部名著周髀算经，九章算术，海岛算经，孙子算经分别记为，，，，记恰好选中九章算术和孙子算经为事件．
方法一：用列表法列举出从部名著中选择部所能产生的全部结果：

由表中可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件的结果有种，即，，
．
方法二：根据题意可以画出如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件的结果有种，即，，
． 

【解析】

解：小聪想从这部数学名著中随机选择部阅读，则他选中九章算术的概率为．
故答案为；

见答案；
【分析】
根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中九章算术只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．  

23.【答案】；；
补全直方图如下：


，
答：估计该年级成绩为优的有人． 

【解析】解：本次调查的总人数为，
则、，
故答案为：、；
见答案；
见答案．

由的频数及其频率求出被调查的学生总数，再根据频数频率总数求解可得；
根据中所求结果补全图形可得；
总人数乘以样本中的频率即可得．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

24.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
在和中

≌，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
与相切；
解：连接，

为直径，，
，
，
∽，
，
，
，
．
． 

【解析】根据全等三角形的性质和判定求出，求出，根据切线的判定得出即可；
连接，根据相似三角形的判定和性质求出长，即可得出答案．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质好判定等知识点，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
 

25.【答案】解：如图：设与相交于点，

由题意得：米，，
设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，米，
，
，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
米，
米，
大桥的外拱塔的最高点距离水面的高度约为米． 

【解析】设与相交于点，根据题意可得：米，，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出米，从而求出的长，再在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：由图可知，甲乙两地相距，
摩托车休息了小时，
行驶了小时，
，
故答案为，；
摩托车休息了小时，
的横坐标为，
，
由题可知，，
，
表示轿车已到达甲地，此时时间为小时，
而此时摩托车已走的路程为，
摩托车与轿车相距，
，
设解析式为，
，
，
所表述的函数表达式为；
两车相遇前：相距为，即共行驶了，
，两车速度和为，
两车相遇后，
，
时，，
，
当小时或小时时，两车相距为．
由图可知，甲乙两地相距，再由速度公式计算出值即可；
先求出的坐标和的坐标，然后设的解析式，将，代入解析式即可得到答案；
分两车相遇前和相遇后，分别计算出时间即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

27.【答案】证明：，，，
≌，
；
解：设，
由知：，
，
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理得，
，
，
；
解：如图，

Ⅰ连接，交于点，
Ⅱ连接，并延长，交于点，
Ⅲ作射线，交于点，
则点就是所求作的点；
解：如图，

当点在上时，
由知：，
，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上运动，
当点从点运动到点时，点的运动路径是，，
如图，

，
，
，
≌，
，
点、、、共圆，
点在等边三角形的外接圆上运动，
当点从运动到点时，点运动的路径是，
连接，，作于点，
，
，
，
，
点运动的路径长为：． 

【解析】可证明≌，从而；
设，可表示出，在中，由三角形内角和定理列出，进而求得结果；
作出点关于的对称点，进而得出点；
可推出，从而点在的垂直平分线上运动，当点从点运动到点时，点的运动路径是，；可推出，从而点、、、共圆，所以点在等边三角形的外接圆上运动，当点从运动到点时，点运动的路径是，根据弧长公式，进一步得出结果．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件，弧长公式等知识，解决问题的关键是分类讨论，找出点的运动路径．
 

28.【答案】  

【解析】解：函数中，，
当时，，当时，；
故答案为：，．
以为顶点，
，当时，，
，
抛物线：，当时，，
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
把，代入；
把代入；
求出，代入公式求出，由求出，再计算是个常数；
先证明∽，再利用得出相似比，最后求．
本题在新定义下考查了定值问题，三角形相似的判定与性质，对于，关键是由条件想到三角形相似．