2023年江苏省宿迁市宿城区中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省宿迁市宿城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  年宿迁接待游客预计人次，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知点，是直线上两点，则下列正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，与相切于点，弦，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，中，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，以为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，与交于点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点，点为抛物线的顶点，点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  的立方根为          ．

10.  使二次根式有意义的的取值范围是______．

11.  分解因式： ______ ．

12.  已知比它的补角大，则度数是______．

13.  点与点之间的距离是______．

14.  要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为，圆心角为的扇形纸板制成的，那么这个圆锥模型的侧面积为______．

15.  在半径为的中，用刻度尺单位：测得弦的长如图所示，则劣弧的长为______．

16.  设，是方程的两个实数根，则的值为______．

17.  如图，已知直线与、轴分别交于、两点，与反比例函数交于点，，则点的坐标是______．
 

18.  如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为          ．

 

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，▱中，点是边的中点，延长交的延长线于点．
求证：≌；
若且，连接，求的度数．

22.  本小题分
随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市某旅游景区有、、、、等著名景点，该市旅游部门统计绘制出年“十一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：

年“十一”期间，该市此旅游景区共接待游客______万人，扇形统计图中景点所对应的圆心角的度数是______；
补全条形统计图；
根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计年“十一”节将有万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去景点旅游？

23.  本小题分
有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
随机抽取一张卡片，求抽到标有负数的卡片的概率；
设平面直角坐标系内点，现随机抽取一张卡片，将卡片上的数字记作，然后不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的数字记作请求出点在第二象限的概率．

24.  本小题分
某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品件和乙商品件共需元；购进甲商品件和乙商品件共需元．
求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
商场决定甲商品以每件元出售，乙商品以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．

25.  本小题分
某种落地灯如图所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度支杆与悬杆之间的夹角为．
如图，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；
在图所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长如图，此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长结果精确到，参考数据：，，，，，
 

26.  本小题分
如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．
 

27.  本小题分
【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，是线段上一点．对于平面内一点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，我们称点是点的“平移点”，点为点的“移对点”．
【解答问题】在平面直角坐标系中，已知的半径为．
若点，点是的中点，点，则点的“平移点”的坐标是______，点的“移对点”的坐标是______；
如图，点，点是的中点，点在图中用直尺与圆规作出点的“移对点”点，并求点的坐标不写作法，保留作图痕迹；
若点是上一点，是线段上一点，且，是外一点，点为点的“移对点”，连接当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差．

28.  本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，为顶点，其中点的坐标为，点的坐标为．
求该二次函数的表达式；
点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标；
试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：的相反数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了积的乘方与幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握是正整数与是正整数的应用是解此题的关键．
【解答】
解：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：主视图是三角形，俯视图是两个长方形，左视图是一个长方形，
故选：．
根据简单几何体的三视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】

【解析】
解：点，都在直线上，
，解得；
，解得，，
，即
故选：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可以求得，的值，从而可以比较它们的大小关系．
【考点】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
由切线的性质得出，求出，由平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结果．
本题考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【解答】
解：与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，
连接，由作图知，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质得到，，连接，由作图知，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于点，过点作于点，抛物线的对称轴与轴交于点，如图，

令，得方程，
解得：，，
点坐标为，即，
将配成顶点式得：，
点坐标为，
，，
，，
，
根据抛物线对称轴的性质可知，
，
在中，
利用勾股定理得，
，，
∽，
同理可证得∽，
，，
，即，
，
当、、三点共线，且三点连线垂直时，最小，
最小值为，如图所示，
，
，
最小值，
即．
故选：．
连接，过点作于点，过点作于点，抛物线的对称轴与轴交于点，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出、、，再证明∽，∽，进而可得，当、、三点共线，且三点连线垂直时，最小，根据求出，最小值即为，则问题得解．
本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出，进而得出是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
利用立方根定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【解答】
解：的立方根是．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的意义，得，
解得．
故答案为：．
二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先把和分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
此题主要考查了用平方差公式进行因式分解，把和分别写成完全平方的形式再用平方差公式分解是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
，
解得，
故答案为
设，根据题意列出方程，解方程求之即可．
本题考查了补角，正确理解补角的定义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点，点
轴，
轴上或平行于轴的直线上两点的距离为两点横坐标的差的绝对值，
，
故答案为．
根据轴上或平行于轴的直线上两点的距离为两点横坐标的差的绝对值解答即可．
本题考查了两点间的距离，理解轴上或平行于轴的直线上两点距离为两点横坐标的差的绝对值是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：这个圆锥模型的侧面积为：，
故答案为：．
根据这个圆锥模型的侧面积为扇形的面积，即可解答．
本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是熟记圆锥侧面积是扇形．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，过点作于点，
，，
是等边三角形，
，
劣弧的长，
故答案为：．
连接，，过点作于点，根据已知条件得到是等边三角形，求得，根据弧长公式即可得到结论．
本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于根据题意正确的画出图形，运用圆周角定理和垂径定理认真的进行分析．
 

16.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：，是方程的两个实数根
由韦达定理可得：
，，
而


故答案为．
根据韦达定理可以求出，，将可化为，代入求值即可解答．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理进行计算与转化是解决问题的关键．

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用得到是的中位线是解题的关键．
过点作轴的垂线，垂足为首先利用一次函数图象上点的坐标特征表示出、、三点的坐标，再结合图形得到是的中位线，利用中位线的性质及反比例函数图象上点的特征解决问题．
【解答】
解：过点作轴的垂线，垂足为．

直线与、轴分别交于、两点，
点的坐标为，点的坐标为，
点也在直线上，设点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，，
是的中位线，
，
，，
点的坐标为，
点在反比例函数上，
，解得，舍弃，
点的坐标为
故答案为：  

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，连接，

，，
∽，
，
，
∽，
，，
，
∽，
，
即在点的运动过程中，的大小不变且等于，
当时，最小，
设此时，
，
，
，
，
，
代入，解得，
，
，
．
，
故答案为：．
过点作于点，连接，则可得∽，进而可知为定值，因此时，最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出、，即可求出结果．
本题考查相似三角形综合，熟练掌握手拉手相似模型是解题关键，掌握“瓜豆原理”则可以快速找到解题思路．
 

19.【答案】解：

；


 

【解析】先算开方，特殊角三角函数值，零指数幂，再算加减即可；
利用单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可．
本题主要考查单项式乘多项式，零指数幂，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：


，
当时，
原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，

≌；
解：≌，
，
四边形是平行四边形，
，，

，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，得出，由证明≌即可；
由全等三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，得出，证出，，由等腰直角三角形的性质得出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】，；
组人数：万人，
条形图如图所示：

万人，
答：估计有万人会选择去景点旅游． 

【解析】

解：由题意：万人，
，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【分析】根据组人数以及百分比求出总人数，根据圆心角百分比计算即可；
求出组人数，画出条形图即可；
利用样本估计总体的思想解决问即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．  

23.【答案】解：随机抽取一张卡片，数字有种等可能的结果，其中抽到负数的可能有两种，分别是或，
所以抽到标有负数的卡片的概率；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中点在第二象限的结果数为，
所以点在第二象限的概率． 

【解析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，用树状图法求概率：利用树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
直接利用概率公式求解；
画树状图展示所有种等可能的结果数，利用第二象限点的坐标特征找出点在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
 

24.【答案】解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，
，得，
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元；
设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为元，
则，
，
解得，，
当时，取得最大值，最大利润为：元，，
答：当购进甲商品件，乙商品件时可获得最大利润元． 

【解析】根据购进甲商品件和乙商品件共需元，购进甲商品件和乙商品件共需元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；
根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

25.【答案】解：过点作于，

，，
，
，
答：灯泡悬挂点距离地面的高度为；
如图，过点作垂直于地面于点，过点作于，过点作于，

，
，
，
，
，
答：的长为． 

【解析】利用锐角三角函数可求的长，即可求解；
由锐角三角函数可求的长，由线段和差关系可求的长，的长，由锐角三角函数可求的长．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形．
 

26.【答案】解：直线与相切，
理由：连接，

，
，
，
，
在中，，
，
，
  即：，
，
又是半径，
直线与相切；
，，
，
，

，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积． 

【解析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据等边对等角得到，，推出，即，于是得到结论；
根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
 

27.【答案】；；
如图，点即为所求．

连接，根据作法知，，，，
又点是的中点，
是的中位线，
，
点坐标为

如图，连接，并延长至，使，延长到，使，

由题意知，，，，
，
，
，
，
，
的最小值为，的最大值为，
长的最大值与最小值的差为． 

【解析】根据“平移点”和“移对点”的定义，结合中点坐标公式可得出结论；
  解：由题意知，，
  ，
  点为的中点，
  ，
  ，即点为的中点，
  ．
  故答案为：；；
根据平移得出点，

作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，点即为所求．
连接，根据作法知，，，，
又点是的中点，
是的中位线，
，
点坐标为
连接，并延长至，使，延长到，使，由题意知，，，，利用三角形中位线定理得的长，从而求出的长，在中，，则的最小值为，的最大值为，从而解决问题．利用三角形中位线定理求出的长是解题的关键
本题是圆的综合题，主要考查了三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形是解题的关键．
 

28.【答案】解：依题意，设二次函数的解析式为，
将点代入得，得，
二次函数的表达式为：；
依题意，点，点，设直线的解析式为，
代入得，解得，
线段所在的直线为，
设点的坐标为：，
，，
，
，
整理得，解得，舍去，
故点的纵坐标为，
点的坐标为；
存在点，
设点的坐标为，
，
且由二次函数的对称性可知，，
点仅可能在对称轴的左侧．
当时，如图，

令对称轴与轴交于点，过点作轴，交轴于点，
由可知，，
则

，


，
由题意可知，，
则，
与联立可得，
或舍去，
点坐标为；
当时，如图，

令对称轴与轴交于点，过点作轴，
交轴于点，过点作轴的垂线，交于点，
则梯形ANHD
=
，


，
由题意可知，，
则，
与联立可得，
或舍去，
点坐标为；
综上可知，存在满足题意的点，坐标为或． 

【解析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用割补法求出三角形的面积是解题的关键．
依题意，利用二次函数的顶点式即可求；
先求出线段的关系式，设出点的坐标，表示出，
，通过，建立方程求解即可；
分类讨论，利用割补法分别求出三角形的面积即可．