模型35 垂美四边形模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB2+CD2＝AD2+BC2

【证明】∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2

方法点拨

①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；

②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形

【例1】．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AB＝5，AD＝5，CD＝12，则BC＝　       　．

变式训练

【变式1-1】．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）

A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2

【变式1-2】．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，请回答下列问题：

（1）若AB∥CD，求证：弧BD＝弧AC

（2）若AC⊥BD，CD＝4，圆O的半径为3，求AB的长；

（3）在（2）的条件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．

【例2】．已知点P是矩形ABCD内的一点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则PD＝　　      ．

变式训练

【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝　    　．

【变式2-2】．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝　　．

1．两个矩形，小矩形绕着公共点C任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE2+DK2的值．

2．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2＝　   　．

3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M、N是BC边上的点，BM＝MN＝NC，如果AM＝4，AN＝3，则MN＝　  　．

4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　　      ．

5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．

（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．

（2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；

①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；

②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　    ．

7．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 　         　．

（2）性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．

（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

8．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是　    　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．

9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的中心．

（1）写出一种你学过的和美四边形　      　；

（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是　      　．

A．矩形   B．菱形   C．正方形   D．无法确定

（3）如图1，点O是和美四边形ABCD的中心，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接OE、OF、OG、OH，记四边形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面积为S1、S2、S3、S4，用等式表示S1、S2、S3、S4的数量关系（无需说明理由）

（4）如图2，四边形ABCD是和美四边形，若AB＝3，BC＝2，CD＝4，求AD的长．

10．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）写出2个所学的特殊四边形是垂美四边形：　    　，　     　．

（2）性质探究：

已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．

（3）问题解决：

如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰Rt△ACG（∠GAC＝90°）和等腰Rt△ABE（∠BAE＝90°），连接GE，GB，CE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的长．

11．如图1，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1＝S2+S3．

（1）如图2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）

（2）如图3，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明．

（3）四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1、S2、S3和S4之间的关系是 　                      　．

12．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．

（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称 　      　；

（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，经过点A、B的圆交AC边于点D，交BC边于点E，连结DE．若四边形ABED为圆美四边形，求的值；

（3）如图2，在△ABC中，经过A、B的圆交AC边于点D，交BC于点E，连结AE，BD交于点F．若在四边形ABED的内部存在一点P，使得∠PBC＝∠ADP，连结PE交BD于点G，连结PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．求证：四边形ABED为圆美四边形．

13．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：经探究发现，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有这样的数量关系：AB2+CD2＝AD2+BC2，请写出证明过程；（先画出图形，写出已知，求证）

（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG和GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE长．

14．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 　               　；

（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；

（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．

15．数学活动：图形的变化

问题情境：如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，E是AC边上的一个动点（点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD．猜想线段BE，AD之间的关系．

（1）独立思考：请直接写出线段BE，AD之间的关系；

（2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点H，交AD于点O．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．

（3）拓展延伸：“科技”小组将（2）中的等腰直角△ABC改为Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将等腰直角△ECD改为Rt△ECD，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3．试猜想BD2+AE2是否为定值，结合图（3）说明理由．

16．【概念认识】

定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）如图1，已知在垂等四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，若AB⊥AD，AB＝4cm，cos∠ABD＝，求AC的长度．

【数学理解】

（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在⊙O中，已知AB是⊙O的弦，只需作OD⊥OA、OC⊥OB，分别交⊙O于点D和点C，即可得到垂等四边形ABCD，请你写出证明过程．

【问题解决】

（3）如图3，已知A是⊙O上一定点，B为⊙O上一动点，以AB为一边作出⊙O的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线AC与BD交于点E，⊙O的半径为2，当点E到AD的距离为时，求弦AB的长度．