模型09 逆等线最值模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

两线段和的最值问题, 大家首先想到的都是 “将军饮马”问题， 即要求的两条线段有公共端点,或者平移后有公共端点.

除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是今天咱们要说的逆等线最值问题.

讲逆等线模型之前我们先来一波回忆：

下图大家应该很熟：

D为动点！特殊化证明：DE+DF的和为定值.

一般化证明：DE+DF的和为定值

只要保证DE，DF与腰的夹角相等，总会有：DE+DF的和为定值的结论！

证明思路：

作AG∥FD，HD∥BC易得红蓝全等，黄色平四

∴DE＋DF＝AH＋HG＝AG（定长）

另证易得：△DEA∽△DFB ∵AD＋BD为定值∴DE＋DF为定值

引申：D在线段AB外时差为定值（证明同理）

然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！

此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！

考点一:等腰三角形中的逆等线模型

【例1】．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E分别是AB、AC上两动点，且AD＝CE，连接CD、BE，CD+BE最小值为　   　．

变式训练

【变式1-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是　   　．

【变式1-2】．如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（　　）

A．（0，4） B．（0，5） C． D．

考点二:等边三角形中的逆等线模型

【例2】.如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝　   　°．

变式训练

【变式2-1】．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 　   　．

【变式2-2】．在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为 　   　．

考点三：直角三角形中逆等线模型

【例3】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为 　   　．

变式训练

【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 　   　．

【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为 　   　．

考点四：一般三角形中的逆等线模型

【例4】．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　   　．

变式训练

【问题背景】（1）如图（1），E为△ABC的边AB上的一点，AE＝BC，过点A作AD∥BC，且AD＝AB，连接DE，求证：△ADE≌△BAC；

【变式迁移】（2）如图（2），在△ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，点E在AB上，且AE＝CD，若点C分别到AB，BD的距离之比为m，求证：；

【拓展创新】（3）如图（3），在△ABC中，∠ABC＝45°，，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且AE＝CD，直接写出CE+BD的最小值.

考点五：正方形中的逆等线模型

【例5】.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、BC上，且AE＝BF，CE与DF交于点P，连接BP，求BP的最小值．

变式训练

【5-1】已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为 　   　．

考点六：矩形中的逆等线模型

【例6】.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 　   　．

变式训练

【6-1】.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是　   　．

【6-2】.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 　   　．

考点七：菱形中的逆等线模型

【例7】．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 　   　．

变式训练

【7-1】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为 　   　．

【7-2】．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．

（1）求BD的长；

（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．

①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．

1．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为　   　．

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE＝AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△　   　，BP的最小值为　   　．

3.如图，AD为等腰△ABC的高，AB＝AC＝5，BC＝3，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 　   　．

4．如图，ABCD是⊙O内接矩形，半径r＝2，AB＝2，E，F分别是AC，CD上的动点，且AE＝CF，则BE+BF的最小值是（　　）

A． B．2 C．3 D．4

5.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 　   　．

6．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 　   　．

7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为 　   　．

8．如图，等边△ABC内部有一点D，DB＝3，DC＝4，∠BDC＝150°，在AB、AC上分别有一动点E、F，且AE＝AF，则DE+DF的最小值是（　　）

A．5 B．3 C．2 D．7

9.如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，过点C的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且CD＝BE，则OC的最小值为　   　．

10．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为　   　．