模型24 辅助圆系列最值模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

【点睛1】触发隐圆模型的条件

（1）动点定长模型

若P为动点，但AB=AC=AP                         原理：圆A中，AB=AC=AP

则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径              备注：常转全等或相似证明出定长

（2）直角圆周角模型

固定线段AB所对动角∠C恒为90°                原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径

则A、B、C三点共圆，AB为直径                  备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角

（3）定弦定角模型

固定线段AB所对动角∠P为定值                    原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等

则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆              备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可

（4）四点共圆模型①

若动角∠A+动角∠C=180°                         原理：圆内接四边形对角互补

则A、B、C、D四点共圆                          备注：点A与点C在线段AB异侧

（5）四点共圆模型②

固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C                 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等

则A、B、C、P四点共圆                          备注：点P与点C需在线段AB同侧

【点睛2】圆中旋转最值问题

条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点

（1）求CM最小值与最大值

（2）求线段AB扫过的面积

（3）求最大值与最小值    

作法：如图建立三个同心圆，作OM⊥AB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆

结论：

①CM1最小，CM3最大   

②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积

③最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高

考点一：定点定长构造隐圆

【例1】．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为 　   　．

变式训练

【变式1-1】．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（　　）

A． B． C． D．

【变式1-2】．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　   　．

考点二：定弦定角构造隐圆

【例2】．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 　   　．

变式训练

【变式2-1】．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝　   　．

【变式2-2】．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为 　   　．

考点三：对角互补构造隐圆

【例3】．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.

变式训练

【变式3-1】．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 　   　．

【变式3-2】．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点O，BO＝BA，则OC的值为 　   　．

1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（　　）

A．（5，0） B．（2，0） 

C．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0）

2．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　）

A．2 B． C．3 D．

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　）

A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4

4．如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．14

5．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为 　   　．

6．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为 　   　．

7．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为　　．

8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为 　   　．

9．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 　   　．

10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为　   　．

11．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面积为8，则BC长为 　   　．

12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 　   　．

13．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，连接DF交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM．连接DM．交EF于点N．若AF＝2．则△EMN的面积是 　   　．

14．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则FM＝　   　，＝　   　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°

（1）证明：△ABF∽△FCE；

（2）当DE取何值时，∠AED最大．

16．如图，将两张等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，4）．将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，连接AC，BD，直线AC与BD相交于点P．

（1）求证：AP⊥BP；

（2）若点Q为OA的中点，求PQ的最小值．

17．（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　　°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．

（3）【问题拓展】

如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 　　．

18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）如图①，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一动点，若△PBC的面积为12，求点P的坐标；

（3）如图②，已知⊙B的半径为2，点Q是⊙B上一个动点，连接AQ，DQ，求DQ+AQ的最小值．

19．模型分析

如图在△ABC中，AD⊥BC于点D，其中∠BAC为定角，AD为定值，我们称该模型为定角定高模型．

问题：随着点A的运动，探究BC的最小值（△ABC面积的最小值）．

（1）当∠BAC＝90°时（如图①）：

第一步：作△ABC的外接圈⊙O；

第二步：连接OA；

第三步：由图知AO≥AD，当AO＝AD时，BC取得最小值．

（2）当∠BAC＜90°时（如图②）：

第一步：作△ABC的外接圆⊙O；第二步：连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E：

第三步：由图知AO+OE≥AD，当AO+OE＝AD时，BC取得最小值．

那么∠BAC＞90°呢？

结论：

当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小

当∠BAC＜90°时，请根据【模型分析】（2）中的做法将下面证明过程补充完整．

求证：当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，BC取得最小值，此时△ABC的面积最小．

证明：如解图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，

设⊙O的半径为r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，

∴BC＝2BE＝2OB•sinα＝2r•sinα，

∵sinα为定值，∴要使BC最小，只需…

自主探究：我们知道了当AD过△ABC的外接圆圆心O（即AB＝AC）时，△ABC的面积取得最小值，那么要使△ABC的周长取得最小值，需要满足什么条件呢？

20．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；

（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．