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模型08 垂线段最短模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）
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这是一份模型08 垂线段最短模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用），文件包含模型08垂线段最短模型原卷版docx、模型08垂线段最短模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
模型介绍
R【结论一】
如图 直线外一点A到直线上所有点的距离中，垂线段AM最小.
R【结论二】
如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值。则有以下结论成立：
过A作BC的垂线，垂足为Q，于DE相交于P，当M、N分别与P、Q重合时，AM+MN有最小值，即为AQ的长度.
R方法点拨
1.题型特征：
①一定点 ②动点的运动轨迹为直线
R2.模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短.
例题精讲
【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是 ≤AM＜6 ．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝×5×12＝×13×AP，
∴AP＝，
即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，
∴AM的范围是AM≥，
∵AP＜AC，即AP＜12，∴AM＜6，
∴≤AM＜6．
故答案为：≤AM＜6．
Ø变式训练
【变式1】．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
解：作CP⊥AB于P，
由垂线段最短可知，此时PC最小，
由勾股定理得，AB＝＝＝5，
S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×3×4＝×5×PC，
解得，PC＝，
故答案为：．
【变式2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 2 ．
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，
∵AP′＝P′D'，
2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为：2．
【变式3】.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE＝BC•cos45°＝4×＝4．
故CM+MN的最小值为4．
【变式4】.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，
∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝PB，
∴MP+PB＝PM+PE，
∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，
∵AM＝3，
∴MC＝7，
∵sin∠ACB＝＝，
∴ME＝，
∴MP+PB的最小值为，故答案为．
实战演练
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
解：当DE⊥AB时，DE的值最小，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝5，
∴DE的最小值＝CD＝5， 故选：C．
2．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
解：作C点关于BD的对称点G，过G点作GF⊥BC交BC于F，交BD于E，
∴EG＝EC，
∴EC+EF＝EG+EF＝GF，此时EC+EF最小，
∵BD平分∠ABC，
∴G点在AB上，
∴BC＝BG，
∵AC＝BC＝10，
∴BG＝10，
∠ACB＝4∠A，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴GF＝BG＝5，
∴EC+EF的最小值是5， 故选：C．
3．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4.5
解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M使PE+PM取得最小值，
PE+PM＝PE′+PM＝E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC＝6，BD＝6，
∴AB＝＝3，
由S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•E′M得×6×6＝3•E′M，
解得：E′M＝2，
即PE+PM的最小值是2，故选：C．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，
∴∠DP2P1＝90°，
∴∠DP1P2＝45°，
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2，∴PB的最小值是2． 故选：D．
5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，
在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，∴DH＝，
在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF，∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．
∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，∴∠CDP＝∠QDT，
在△CDP和△TDQ中，，∴△CDP≌△TDQ（SAS），
∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，
∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，
解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．
∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，
∵DP＝DQ，DM＝DC，∴△DPM≌△DQC（SAS），∴PM＝CQ，
∴PM的值最小时，CQ的值最小，当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1，
∴CQ的最小值为1．故选：B．
7．如图，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，点M是∠ABC平分线BD上一动点，点N是BC上一动点，则CM+MN的最小值是 ．
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵点M是∠ABC平分线BD上一动点，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，
∴MN+CM＝ME+CM＝CE，
∵CE⊥AB，∴CE是点C到AB最短的线段，即CM+MN的最小值就是线段CE的长度，
在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，又∵•AB•CE＝S△ABC，∴×6×CE＝10，
∴CE＝
故答案为．
8．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分别为线段AD、AB上的动点，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，则BE+EF的最小值为 ．
解：过点D作DB'⊥AC交于点B'，过B'作B'F⊥AB交AD于点E，交AB于点F，
∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝B'D，∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），
∴B与B'关于AD对称，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，
∵AB＝8，AC＝10，BD＝，∴B'D＝，BC＝6，
∵AB＝AB'，∴AB'＝8，
∵sin∠CAB＝＝＝，∴B'F＝，∴BE+EF的最小值为，故答案为．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG＝，连接EF，BG，则EF+BG的最小值为 ．
解：如图，取BC的中点E'，连接EE'，GE'，
∵E为AB的中点，
∴EE'为△ABC的中位线，即EE'∥AC，且EE'＝AC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝＝2，
∴EE'＝AC＝，
∵FG＝，
∴EE'＝FG，且EE'＝FG，即四边形EE'GF为平行四边形，
∴EF＝E'G，
连接DG，DE'，根据正方形的对称性可知，BG＝DG，
∴EF+BG＝E'G+DG，
根据两点间线段最短可得，当点E'，G，D在同一直线上时，E'G+DG取得最小值，
即此时EF+BG的最小值为线段E'D的长度，
连接E'G，则在Rt△E'CD中，
∵E'C＝1，CD＝2，
∴E'D＝＝，
故EF+BG的最小值为，
故答案为：．
10．如图，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为 6﹣3 ．
解：连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR，如图：
∵AD∥CG，OK⊥AD，
∴OK⊥CG，
∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，
∴四边形AGTK是矩形，
∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3，
∵折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，
∴OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，
∴△AOK≌△MOT（AAS），
∴OK＝OT＝，
∵OK⊥AD，
∴OR≥OK＝，
∵∠AOF＝90°，AR＝RF，
∴AF＝2OR≥3，
∴AF的最小值为3， ∴DF的最大值为6﹣3． 故答案为：6﹣3．
11．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
解：如图，连接BF，
由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，
∴∠CAE＝30°，BD＝4，∴∠CBF＝30°，
即点F的运动轨迹为直线BF，∴当DF⊥BF时，DF最短，
此时，DF＝BD＝×4＝2，∴DF的最小值是2
故答案为2．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过C、E、P三点⊙O交AC于F点，连接EF，则EF的最小值为 ．
解：∵经过P、E、F三点确定⊙O，由圆周角定理可知：⊙O的直径为EF，
连接PC，PF，PE，∵AC＝BC＝8，∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P是AB的中点，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠PEF＝45°，
∴△EFP是等腰直角三角形，∴FE＝PE，当PE⊥BC时，PE最小，即EF最小，
此时PE＝AC＝4，∴EF的最小值＝4，故答案为：4．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为 ．
解：如图，过点A作AF⊥y轴于点F，连接AM，OM，
∵∠BAC＝∠BOC＝90°，M为BC中点，
∴AM＝OM，
∴点M在线段AO的垂直平分线上，
作线段AO的垂直平分线交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE，PM最小，
连接AD，则AD＝OD，
∵A（2，4），
∴AF＝2，OF＝4，
设OD＝AD＝t，则FD＝4﹣t，
∵FD2+AF2＝AD2，
∴（4﹣t）2+22＝t2，
∴t＝，
∴OD＝，
∵∠FOA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OED＝90°，
∴∠FOA＝∠OED，
∵∠AFO＝∠DOE＝90°，
∴△FAO∽△ODE，
∴，
即AF•OE＝OD•OF，
∴OE＝5，
∵P（1，0），
∴PE＝4，
在Rt△AFO中，
OA＝＝2，
当PM⊥DE时，PM最小，
∴∠PME＝∠AFO＝90°，
∴△PME∽△AFO，
∴，
∴，
∴PM＝，
故答案为：．
14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接DE，以DE为斜边作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，则BF的取值范围是 ．
解：如图1，以AD为斜边在AD下方作等腰直角△AGD，
∴∠ADG＝∠EDF＝45°，∴∠ADE＝∠GDF，∴△ADE∽△GDF，
∴∠DGF＝∠DAE＝60°，∴点F的运动轨迹是GF，∴BF的最短距离为×2＝；
如图2，当点E移动到点B时，BF最大，在等腰直角三角形BDF中，
BF＝BD＝2，所以BF的取值范围为2﹣2≤BF≤2，
故答案为：≤BF≤2．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，动点M、N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求MN的最小值．
解：如图①，
∵∠MCN＝45°，在AB上方以MN为斜边作等腰Rt△MON，
以OM为半径作△CMN的外接⊙O，连接OC、OM、ON，
取MN的中点为P，AB的中点为Q，连接OP、CP、CQ，
设⊙的半径为r，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，
在Rt△MON中，OM＝ON＝r，
∴CQ＝，OP＝r，MN＝r．
∵OC+OP≥CP≥CQ，∴r+r≥CP≥．
如图②，
当且仅当点C、Q、P共线，且CP与CQ重合时，r+r＝，
此时r最小，解得r＝﹣1，MN＝r＝2﹣，即MN的最小值为2﹣．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点．
（1）求AM+BM+CM的最小值；
（2）求AM+BM的最小值．
解：（1）连接AC，MC，将△BCM绕点B逆时针旋转60°得△BAM′，再将△BAM绕点B逆时针旋转60°得△BA′M′，连接CA′，与AB交于点E，如图，则A′M′＝AM，BM′＝BM，A′B＝AB＝BC＝4，∠ABA′＝∠ABC＝60°，∠ABM′＝∠CBM＝∠ABM＝30°，
∴△BMM′是等边三角形，BE⊥A′C，
∴BM＝MM′，
∴AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM≥A′C，
当A′、M′、M、C四点共线时，AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM＝A′C的值最小，
此时A′C＝2CE＝2．
故AM+BM+CM的最小值为4；
（2）如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHM＝90°，
∴MH＝BM，
∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，
∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB•sin60°＝2，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥2，
∴AM+BM≥2，
∴AM+BM的最小值为2，
故答案为：2．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于O、A两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）求证：△OCD∽△A′BD；
（3）求的最小值．
（1）解：在中，令y＝0得x＝0或x＝4，
∴A（4，0），
∵＝（x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），
∴A的坐标为（4，0），C的坐标为（2，﹣2）；
（2）证明：如图1，
由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
（3）解：∵△OCD∽△A′BD，
∴，
∵AB＝A'B，
∴＝，
∴的最小值就是的最小值，
∵C（2，﹣2），
∴OC＝2，
∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，
此时CD＝2，的最小值为＝．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点A（1，0），C（﹣3，0）．与y轴交点B（0，3），如图1所示，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1若R为y轴上的一个动点，连接AR，则RB+AR的最小值为 2
（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于点Q、F、E，如图2所示，求证：EF＝EP．
（4）设此抛物线的对称轴为直线MN，在直线MN上取一点T，使∠BTN＝∠CTN．直接写出点T的坐标．
解：（1）根据题意得：
，
解得：，
则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1中，作RH⊥BC于H．
∵OB＝OC＝3，∠COB＝90°，
∴BC＝3，∠HBR＝45°，
在Rt△BHR中，RH＝BR，
∴AR+BR＝AR+RH，
∴当H、R、A共线时，AR+BR＝AR+RH的值最小，
此时•BC•AH＝•AC•OB，
∴AH＝2，
∴AR+BR的最小值为2．
故答案为2
（3）如图2中，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
则D的坐标是（﹣1，4）．
设直线BC的解析式是y＝kx+b，则，
解得：，
则直线BC的解析式是y＝x+3．
同理，直线CD的解析式是y＝2x+6．
∵动点P（m，0）在x轴上，﹣3＜m＜﹣1，且PF⊥x轴．
∴点E（m，m+3），点F（m，2m+6），即PE＝m+3，PF＝2m+6．EF＝PF﹣PE＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3．
∴EF＝EP；
（4）如图3中，
延长AB交MN于T，连接TC．
∵MN垂直平分线段AC，
∴TC＝TA，
∴∠CTN＝∠ATN，即∠CTN＝∠BTN．
∵直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，
∴x＝﹣1时，y＝6，
∴T的坐标（﹣1，6）．
模型介绍
R【结论一】
如图 直线外一点A到直线上所有点的距离中，垂线段AM最小.
R【结论二】
如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值。则有以下结论成立：
过A作BC的垂线，垂足为Q，于DE相交于P，当M、N分别与P、Q重合时，AM+MN有最小值，即为AQ的长度.
R方法点拨
1.题型特征：
①一定点 ②动点的运动轨迹为直线
R2.模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短.
例题精讲
【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是 ≤AM＜6 ．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝×5×12＝×13×AP，
∴AP＝，
即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，
∴AM的范围是AM≥，
∵AP＜AC，即AP＜12，∴AM＜6，
∴≤AM＜6．
故答案为：≤AM＜6．
Ø变式训练
【变式1】．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
解：作CP⊥AB于P，
由垂线段最短可知，此时PC最小，
由勾股定理得，AB＝＝＝5，
S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×3×4＝×5×PC，
解得，PC＝，
故答案为：．
【变式2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 2 ．
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，
∵AP′＝P′D'，
2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为：2．
【变式3】.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE＝BC•cos45°＝4×＝4．
故CM+MN的最小值为4．
【变式4】.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，
∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝PB，
∴MP+PB＝PM+PE，
∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，
∵AM＝3，
∴MC＝7，
∵sin∠ACB＝＝，
∴ME＝，
∴MP+PB的最小值为，故答案为．
实战演练
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
解：当DE⊥AB时，DE的值最小，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝5，
∴DE的最小值＝CD＝5， 故选：C．
2．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
解：作C点关于BD的对称点G，过G点作GF⊥BC交BC于F，交BD于E，
∴EG＝EC，
∴EC+EF＝EG+EF＝GF，此时EC+EF最小，
∵BD平分∠ABC，
∴G点在AB上，
∴BC＝BG，
∵AC＝BC＝10，
∴BG＝10，
∠ACB＝4∠A，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴GF＝BG＝5，
∴EC+EF的最小值是5， 故选：C．
3．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4.5
解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M使PE+PM取得最小值，
PE+PM＝PE′+PM＝E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC＝6，BD＝6，
∴AB＝＝3，
由S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•E′M得×6×6＝3•E′M，
解得：E′M＝2，
即PE+PM的最小值是2，故选：C．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，
∴∠DP2P1＝90°，
∴∠DP1P2＝45°，
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2，∴PB的最小值是2． 故选：D．
5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，
在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，∴DH＝，
在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF，∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．
∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，∴∠CDP＝∠QDT，
在△CDP和△TDQ中，，∴△CDP≌△TDQ（SAS），
∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，
∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，
解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．
∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，
∵DP＝DQ，DM＝DC，∴△DPM≌△DQC（SAS），∴PM＝CQ，
∴PM的值最小时，CQ的值最小，当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1，
∴CQ的最小值为1．故选：B．
7．如图，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，点M是∠ABC平分线BD上一动点，点N是BC上一动点，则CM+MN的最小值是 ．
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵点M是∠ABC平分线BD上一动点，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，
∴MN+CM＝ME+CM＝CE，
∵CE⊥AB，∴CE是点C到AB最短的线段，即CM+MN的最小值就是线段CE的长度，
在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，又∵•AB•CE＝S△ABC，∴×6×CE＝10，
∴CE＝
故答案为．
8．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分别为线段AD、AB上的动点，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，则BE+EF的最小值为 ．
解：过点D作DB'⊥AC交于点B'，过B'作B'F⊥AB交AD于点E，交AB于点F，
∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝B'D，∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），
∴B与B'关于AD对称，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，
∵AB＝8，AC＝10，BD＝，∴B'D＝，BC＝6，
∵AB＝AB'，∴AB'＝8，
∵sin∠CAB＝＝＝，∴B'F＝，∴BE+EF的最小值为，故答案为．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG＝，连接EF，BG，则EF+BG的最小值为 ．
解：如图，取BC的中点E'，连接EE'，GE'，
∵E为AB的中点，
∴EE'为△ABC的中位线，即EE'∥AC，且EE'＝AC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝＝2，
∴EE'＝AC＝，
∵FG＝，
∴EE'＝FG，且EE'＝FG，即四边形EE'GF为平行四边形，
∴EF＝E'G，
连接DG，DE'，根据正方形的对称性可知，BG＝DG，
∴EF+BG＝E'G+DG，
根据两点间线段最短可得，当点E'，G，D在同一直线上时，E'G+DG取得最小值，
即此时EF+BG的最小值为线段E'D的长度，
连接E'G，则在Rt△E'CD中，
∵E'C＝1，CD＝2，
∴E'D＝＝，
故EF+BG的最小值为，
故答案为：．
10．如图，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为 6﹣3 ．
解：连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR，如图：
∵AD∥CG，OK⊥AD，
∴OK⊥CG，
∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，
∴四边形AGTK是矩形，
∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3，
∵折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，
∴OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，
∴△AOK≌△MOT（AAS），
∴OK＝OT＝，
∵OK⊥AD，
∴OR≥OK＝，
∵∠AOF＝90°，AR＝RF，
∴AF＝2OR≥3，
∴AF的最小值为3， ∴DF的最大值为6﹣3． 故答案为：6﹣3．
11．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
解：如图，连接BF，
由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，
∴∠CAE＝30°，BD＝4，∴∠CBF＝30°，
即点F的运动轨迹为直线BF，∴当DF⊥BF时，DF最短，
此时，DF＝BD＝×4＝2，∴DF的最小值是2
故答案为2．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过C、E、P三点⊙O交AC于F点，连接EF，则EF的最小值为 ．
解：∵经过P、E、F三点确定⊙O，由圆周角定理可知：⊙O的直径为EF，
连接PC，PF，PE，∵AC＝BC＝8，∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P是AB的中点，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠PEF＝45°，
∴△EFP是等腰直角三角形，∴FE＝PE，当PE⊥BC时，PE最小，即EF最小，
此时PE＝AC＝4，∴EF的最小值＝4，故答案为：4．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为 ．
解：如图，过点A作AF⊥y轴于点F，连接AM，OM，
∵∠BAC＝∠BOC＝90°，M为BC中点，
∴AM＝OM，
∴点M在线段AO的垂直平分线上，
作线段AO的垂直平分线交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE，PM最小，
连接AD，则AD＝OD，
∵A（2，4），
∴AF＝2，OF＝4，
设OD＝AD＝t，则FD＝4﹣t，
∵FD2+AF2＝AD2，
∴（4﹣t）2+22＝t2，
∴t＝，
∴OD＝，
∵∠FOA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OED＝90°，
∴∠FOA＝∠OED，
∵∠AFO＝∠DOE＝90°，
∴△FAO∽△ODE，
∴，
即AF•OE＝OD•OF，
∴OE＝5，
∵P（1，0），
∴PE＝4，
在Rt△AFO中，
OA＝＝2，
当PM⊥DE时，PM最小，
∴∠PME＝∠AFO＝90°，
∴△PME∽△AFO，
∴，
∴，
∴PM＝，
故答案为：．
14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接DE，以DE为斜边作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，则BF的取值范围是 ．
解：如图1，以AD为斜边在AD下方作等腰直角△AGD，
∴∠ADG＝∠EDF＝45°，∴∠ADE＝∠GDF，∴△ADE∽△GDF，
∴∠DGF＝∠DAE＝60°，∴点F的运动轨迹是GF，∴BF的最短距离为×2＝；
如图2，当点E移动到点B时，BF最大，在等腰直角三角形BDF中，
BF＝BD＝2，所以BF的取值范围为2﹣2≤BF≤2，
故答案为：≤BF≤2．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，动点M、N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求MN的最小值．
解：如图①，
∵∠MCN＝45°，在AB上方以MN为斜边作等腰Rt△MON，
以OM为半径作△CMN的外接⊙O，连接OC、OM、ON，
取MN的中点为P，AB的中点为Q，连接OP、CP、CQ，
设⊙的半径为r，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，
在Rt△MON中，OM＝ON＝r，
∴CQ＝，OP＝r，MN＝r．
∵OC+OP≥CP≥CQ，∴r+r≥CP≥．
如图②，
当且仅当点C、Q、P共线，且CP与CQ重合时，r+r＝，
此时r最小，解得r＝﹣1，MN＝r＝2﹣，即MN的最小值为2﹣．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点．
（1）求AM+BM+CM的最小值；
（2）求AM+BM的最小值．
解：（1）连接AC，MC，将△BCM绕点B逆时针旋转60°得△BAM′，再将△BAM绕点B逆时针旋转60°得△BA′M′，连接CA′，与AB交于点E，如图，则A′M′＝AM，BM′＝BM，A′B＝AB＝BC＝4，∠ABA′＝∠ABC＝60°，∠ABM′＝∠CBM＝∠ABM＝30°，
∴△BMM′是等边三角形，BE⊥A′C，
∴BM＝MM′，
∴AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM≥A′C，
当A′、M′、M、C四点共线时，AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM＝A′C的值最小，
此时A′C＝2CE＝2．
故AM+BM+CM的最小值为4；
（2）如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHM＝90°，
∴MH＝BM，
∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，
∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB•sin60°＝2，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥2，
∴AM+BM≥2，
∴AM+BM的最小值为2，
故答案为：2．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于O、A两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）求证：△OCD∽△A′BD；
（3）求的最小值．
（1）解：在中，令y＝0得x＝0或x＝4，
∴A（4，0），
∵＝（x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），
∴A的坐标为（4，0），C的坐标为（2，﹣2）；
（2）证明：如图1，
由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
（3）解：∵△OCD∽△A′BD，
∴，
∵AB＝A'B，
∴＝，
∴的最小值就是的最小值，
∵C（2，﹣2），
∴OC＝2，
∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，
此时CD＝2，的最小值为＝．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点A（1，0），C（﹣3，0）．与y轴交点B（0，3），如图1所示，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1若R为y轴上的一个动点，连接AR，则RB+AR的最小值为 2
（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于点Q、F、E，如图2所示，求证：EF＝EP．
（4）设此抛物线的对称轴为直线MN，在直线MN上取一点T，使∠BTN＝∠CTN．直接写出点T的坐标．
解：（1）根据题意得：
，
解得：，
则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1中，作RH⊥BC于H．
∵OB＝OC＝3，∠COB＝90°，
∴BC＝3，∠HBR＝45°，
在Rt△BHR中，RH＝BR，
∴AR+BR＝AR+RH，
∴当H、R、A共线时，AR+BR＝AR+RH的值最小，
此时•BC•AH＝•AC•OB，
∴AH＝2，
∴AR+BR的最小值为2．
故答案为2
（3）如图2中，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
则D的坐标是（﹣1，4）．
设直线BC的解析式是y＝kx+b，则，
解得：，
则直线BC的解析式是y＝x+3．
同理，直线CD的解析式是y＝2x+6．
∵动点P（m，0）在x轴上，﹣3＜m＜﹣1，且PF⊥x轴．
∴点E（m，m+3），点F（m，2m+6），即PE＝m+3，PF＝2m+6．EF＝PF﹣PE＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3．
∴EF＝EP；
（4）如图3中，
延长AB交MN于T，连接TC．
∵MN垂直平分线段AC，
∴TC＝TA，
∴∠CTN＝∠ATN，即∠CTN＝∠BTN．
∵直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，
∴x＝﹣1时，y＝6，
∴T的坐标（﹣1，6）．
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