2022-2023学年广东省广州市白云实验学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市白云实验学校八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图中的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列各式从左至右变形一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图的四个三角形中，与全等的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列化简计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  用科学记数法表示： ______ ．

12.  若分式的值为，则的值是______．

13.  已知一个边形的内角和等于，则         ．

14.  已知，，则______．

15.  如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接、，若，则______

16.  如图，等腰的底边长为，面积是，，腰的垂直平分线交于点，交于点点为的中点，点为线段上一动点，设的周长的最小值为，则式子的值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
因式分解．
；
．

18.  本小题分
计算：
；
．

19.  本小题分
如图，已知，，；求证：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，，．

在图中画出关于轴对称的，并直接写出下列点的坐标：______，______，______；
求的面积．

22.  本小题分
为了健全某市的公园服务覆盖网络，年该市新建了一批口袋公园规模很小的城市开放空间在某一区域年已有口袋公园面积万平方米，年新建口袋公园万平方米，人均口袋公园面积比年增加了平方米，人口增加了，求年该区域人口为多少万人？

23.  本小题分
如图，在中，，．
用尺规作出的垂直平分线交于点，交于点；
若，求的长度．

24.  本小题分
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、证明：．
组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．

 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，，且，，以为边作等腰，，点为的中点，直线轴，交轴于点，交的延长线于点．
若，求点的坐标；
如图，若点为第四象限内一点，求的度数；
在的条件下，若，当，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：下列各式中，是分式的是：，
故选：．
根据分式的定义判断即可．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出的度数．
本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：
点关于轴的对称点为：，
点关于轴的对称点在第二象限，
，
解得：，
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特征以及第二象限点的坐标特征进行解答即可．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，熟练掌握关于轴、轴对称的点的坐标的特征是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为分式的分子与分母同时加上，所以不正确，故A不符合题意；
B.因为分式的分子与分母同时减去，所以不正确，故B不符合题意；
C.因为分式的分子与分母同时乘以，有可能是，所以不正确，故C不符合题意；
D.，
，
故D符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质判断即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：两边和其中一边的对角对应相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
B.两边和两边的夹角夹角的度数是分别对应相等，符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项符合题意；
C.两三角形的三角对应相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
D.两三角形的三角对应相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、是最简二次根式；
D、，不是最简二次根式；
故选：．
化简得到结果，即可做出判断．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、分子分母都除以，原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以，原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、分子分母都除以，原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都除以，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：．
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的基本性质，规律总结：同类分式中的操作可总结成口诀：“一排二添三变”，“一排”即按同一个字母的降幂排列；“二添”是把第一项系数为负号的分子或分母添上带负号的括号；“三变”是按分式变号法则把分子与分母的负号提到分式本身的前边．分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变．
 

10.【答案】 

【解析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．
本题是开放性试题，由题意知、是定点，是动点，所以要分情况讨论：以、为腰、以、为腰或以、为腰．则满足条件的点可求．
解：如图所示：

由题意可知：以、为腰的三角形有个，轴正半轴上的点不能成立，因为此时三点共线，不能构成三角形；
以、为腰的三角形有个；
以、为腰的三角形有个．
则点的个数是．
故选：．
 

11.【答案】 

【解析】解：  ，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为，这两个条件缺一不可．
根据分式的值为零的条件可以解答本题．
【解答】
解：由分式的值为，得
且，
解得．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和定理：边形的内角和为．
根据边形的内角和为得到，然后解方程即可求解．
【解答】
解：边形的内角和为，
则，
解得．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，，
原式



，
故答案为：．
将和的值代入原式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

15.【答案】 

【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
解：的垂直平分线交于点，
．
的垂直平分线交于点，
，
，，
，
，

．
故答案为：．
 

16.【答案】 

【解析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，准确的化简代数式并代入求值是解题的关键．
连接交于点，连接，当、、三点共线时，的周长最小，求出，再化简代数式求值运算即可．
解：连接交于点，连接．
是的垂直平分线，
．
是等腰三角形，是的中点，
，，
的周长，
当、、三点共线时，的周长最小．
的底边长为，面积是，
，
，
，
周长的最小值为，
．



，
当时，原式．
故答案为：．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可；
先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

18.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】根据有理数的乘方、零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质解答即可；
先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可．
本题考查了实数的运算，整式的运算，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】先求出，再利用“角边角”证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，求出相等的角是解题的关键，也是本题的难点．
 

20.【答案】解：




，
当时，
原式

． 

【解析】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．点，，；

． 

【解析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成长方形面积减去周围三个三角形面积即可．
 

22.【答案】解：设年该区域人口为万人，则年该区域人口为万人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：年该区域人口为万人． 

【解析】设年该区域人口为万人，则年该区域人口为万人，利用人均口袋公园面积口袋公园面积该区域人口数，结合年人均口袋公园面积比年增加了平方米，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出年该区域人口数，再将其代入中，即可求出年该区域人口数．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

23.【答案】解；如图，为所作；

连接，如图，
，．
，
垂直平分，
，
，
，
． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；
连接，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，接着计算出，然后根据含度角的直角三角形三边的关系求解．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

24.【答案】解：如图，

直线，直线，
，
，

，

在和中，

≌，
，，
；            
成立：．
如图，

证明如下：
，
，
，
在和中．
．
≌，
，，
；      
如图，

过作于，，交的延长线于．
，
由和同理可证≌，≌，


在和中，

≌，

是的中点． 

【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键．
由条件可证明≌，可得，，可得结论；
由条件可知，且，可得，结合条件可证明≌，同可得出结论；
过作于，，交的延长线于由条件可知，可得，结合条件可证明≌，可得出结论是的中点．
 

25.【答案】解：去分母，得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
．
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
轴，
，，
点是的中点，
，
≌，
，
，
，
．
，，，
，，
，
，
，
的最大值为． 

【解析】先解分式方程求得的值，然后得到点的坐标；
先由是等腰直角三角形证明≌，得到，，得到，然后证明≌，得到，进而得到，从而得到的度数；
先由的面积得到，然后由得到的取值范围，最后求得结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、解分式方程、等腰直角三角形的判定，解题的关键是会通过等腰直角三角形的性质证明≌．