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    【同步讲义】苏科版数学八年级下册:10.5 分式方程 讲义
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    初中数学苏科版八年级下册第10章 分式10.5 分式方程精品习题

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    这是一份初中数学苏科版八年级下册第10章 分式10.5 分式方程精品习题,文件包含105分式方程原卷版docx、105分式方程解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共18页, 欢迎下载使用。

    10.5 分式方程

    解分式方程的一般步骤:1)去分母(方程两边同乘最简公分母,约去分母,把分式方程化成整式方程)

    2)解整式方程。

    3)验根(把整式方程的解代入最简公分母,

    情况一:最简公分母为0,则该根不是分式方程的解,这个根叫原分式方程的增根;  

    情况二:若最简公分母不为0,则该根是分式方程的解。

    分式的化简求值:

    1分式通过化简后,代入适当的值解决问题,注意代入的值要使分式的分母不为0

    2)灵活应用分式的基本性质,对分式进行通分和约分,一般要先分解因式;

    3)化简求值时,一要注意整体思想,二要注意解题技巧,三要注意代入的值要使分式有意义

    分式方程解决实际问题的步骤:

    1)根据题意找等量关系2)设未知数3列出方程4)解方程,并验根(对解分式方程尤为重要)5 写答案

     

    【题型解分式方程

    【典题】2022·江苏南京·八年级校联考期末)解方程:

    (1)

    (2)

    【答案】(1)

    (2)无解

    【分析】(1)先去分母,去括号,然后移项合并,系数化为1,最后进行检验即可;

    2)先去分母,去括号,然后移项合并,最后进行检验即可.

    【详解】(1)解:

    两边同时乘得,

    去括号得,

    移项合并得,

    系数化为1得,

    经检验,为原分式方程的根,

    分式方程的解为

    2)解:

    两边同时乘得,

    去括号得,

    移项合并得,

    检验:当时,

    为分式方程的增根,

    原方程无解.

    【点睛】本题考查了解分式方程.掌握解分式方程的步骤,正确的运算并检验是解题的关键.

    巩固练习

    12022·江苏盐城·八年级校考期末)解分式方程:

    (1)

    (2)

    【答案】(1)

    (2)该分式方程无解

    【分析】(1)利用去分母化为整式方程后,解整式方程,再代入最简公分母中检验即可.

    2)利用去分母化为整式方程后,解整式方程,再代入最简公分母中检验即可.

    【详解】(1)解:

    方程两边同时乘以,得:

    检验:当时,

    是该分式方程的解.

    2)解:

    方程两边同时乘,得:

    检验:当时,

    不是该分式方程的解.

    所以该分式方程无解.

    【点睛】本题考查了解分式方程,解题关键是掌握解分式方程的步骤,即先利用去分母将分式方程化为整式方程,求解后,再检验.

    22022·江苏南京·八年级校考期中)(1                

    2

    【答案】(1)无解;(2

    【分析】(1)方程两边同时乘以,化为整式方程,解方程即可求解,最后要检验;

    2)方程两边同时乘以,化为整式方程,解方程即可求解,最后要检验.

    【详解】(1)解:

    方程两边同时乘以

    解得:

    时,

    是原方程的增根,原方程无解;

    2)解:

    方程两边同时乘以

    解得:

    时,

    是原方程的解.

    【点睛】本题考查了解分式方程,找到公分母是解题的关键.

    32022·江苏无锡·八年级统考期中)解方程:

    (1)

    (2)

    【答案】(1)

    (2)无解

    【分析】(1)根据解分式方程的步骤解方程,即可求解;

    (2)根据解分式方程的步骤解方程,即可求解.

    【详解】(1)解:去分母,得:

    去括号,得:

    解得

    经检验:当时,

    故原方程的解是

    2)解:去分母,得:

    去括号,得:

    解得

    经检验:当时,

    是原方程的增根,

    所以原方程无解.

    【点睛】本题考查了解分式方程,熟练掌握和运用解分式方程的步骤是解决本题的关键.

    【题型根据分式方程解的情况求值

    【典题】2022·湖南衡阳·八年级校考期中)已知关于的分式方程

    (1)若方程的增根为,求的值;

    (2)若方程无解,求的值.

    【答案】(1)

    (2)

    【分析】(1)先把分式方程化为整式方程,再把代入整式方程,即可求解;

    2)根据方程无解可得两种情况:时,方程无解,方程有增根,进而即可求解.

    【详解】(1)解:方程两边同时乘以

    去分母并整理得

    是分式方程的增根,

    解得:

    2)解:由(1)知,当时,该方程无解,此时

    时,要使原方程无解,

    解得:

     

    综上,的值为

    【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题,把分式方程化为整式方程,理解分式方程产生增根的原因是解题的关键.

    固练习

    12022·北京石景山·八年级统考期末)若关于的分式方程的解为正数,求正整数的值.

    【答案】1

    【分析】把分式方程化为整式方程,再解出整式方程可得,再由原方程的解为正数,求出的取值范围,即可求解.

    【详解】解:原方程可化为:

    原方程的解为正数,

    的取值范围为

    正整数的值为1

    【点睛】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的基本步骤,并注意算出的答案要去除分母为0的情况.

    22022·湖北鄂州·八年级统考期末)若关于x的方程无解,求 m 的值.

    【答案】

    【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案.

    【详解】解:方程两边同乘以,得:

    化简得:

    时,原方程无解,

    可能的增根是

    时,

    时,

    时,原方程无解,

    时原方程无解.

    【点睛】本题考查了分式方程的解,正确分类讨论是解题的关键.

    32022·山西朔州·八年级校联考期末)已知关于x的方程

    (1)时,求方程的解;

    (2)m取何值时,此方程无解;

    (3)当此方程的解是正数时,求m的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

    (3)

    【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程,将代入计算即可求出x的值;

    2)分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,将代入计算,即可求出m的值;

    3)表示出分式方程的解,由解为正数确定出m的范围即可.

    【详解】(1)解:分式方程去分母得:

    整理得:

    1)当时,

    解得:

    经检验:是原方程的解;

    2)解:分式方程无解,

    时,

    时该分式方程无解;

    3)解:解关于x的分式方程得:

    方程有解,且解为正数,

    解得:

    【点睛】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是转化思想,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

    42022·山东潍坊·八年级统考期中)阅读材料:对于非零实数ab,若关于x的分式的值为零,则解得.又因为,所以关于x的方程x+的解为

    (1)【理解应用】解方程

    (2)【知识迁移】若关于x的方程的解为,求的值.

    【答案】(1)

    (2)

    【分析】(1)根据给定的方法解方程即可;

    2)根据给定的方法可得,再根据完全平方公式进一步计算即可.

    【详解】(1

    2关于x的方程的解为

    【点睛】本题考查了分式方程的解,理解题意,灵活求解,并结合完全平方公式的变形对代数式求解是解题的关键.

    52022·山东菏泽·八年级统考期中)若关于的方程有增根,求增根和的值.

    【答案】是增根,

    【分析】找出各个分母得最简公分母,即可得到增根,把增根代入去分母后的方程,即可求出k的值.

    【详解】解:关于的方程有增根,最简公分母为:

    ,即:是增根,

    去分母得:

    代入上式得:(等式不成立,舍去)或

    解得:

    综上,方程的增根为

    【点睛】本题主要考查分式方程的增根以及分式方程去分母,掌握分式方程增根的概念是是解题的关键.

    【题型分式方程的实际应用

    【典题】2022·江苏扬州·八年级校联考期中)抗击新冠肺炎疫情期间,某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能,现在每天生产的口罩比原来多4万个.已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同,问口罩厂现在每天生产多少万个口罩?

    【答案】口罩厂现在每天生产10万个口罩

    【分析】设原来每天生产x万个口罩,则现在每天生产(x + 4)万个口罩,根据工作时间=工作总量工作效率,结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同,即可得出关于x的分式方程,解方程,即可得出答案.

    【详解】解:设原来每天生产x万个口罩,则现在每天生产(x+4)万个口罩,

    依题意,得:

    解得:x6

    经检验,x6是原方程的解,且符合题意,

    x+410

    答:口罩厂现在每天生产10万个口罩

    【点睛】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.

    巩固练习

    12020·江苏泰州·八年级统考期末)为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种树480棵,由于青年志愿者支援,实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍,结果提前4天完成任务,原计划每天种树多少棵?

    【答案】40

    【分析】根据题意,找到等量关:原计划所用时间=实际所用时间+4,列出方程,解答即可.

    【详解】解:设原计划每天种树x棵.

    由题意,4,

    解得:x=40,

    经检验,x=40是原方程的解.

    答:原计划每天种树40棵.

    【点睛】此题主要考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.工程类问题主要用到公式:工作总量=工作效率×工作时间.

    22020·江苏泰州·八年级统考期末)为深刻践行习近平总书记的绿水青山就是金山银山重要思想,某单位积极开展植树活动,准备购买甲、乙两种树苗、已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同,乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元.

    1)求甲种树苗的单价;(请根据题意列方程解答)

    2)若购买这两种树苗共100棵,且费用不超过3800元,则至少购买乙种树苗多少棵?

    【答案】(140元(234

    【分析】(1)根据题意列出分式方程求解即可;

    2)根据题意列出不等式求解即可.

    【详解】解:(1)设甲种树苗每棵x元,由题意得

    解得:x40

    经检验,x40是原方程的根且符合题意,

    答:甲种树苗每棵40元.

    2)设购买乙种树苗y棵,则购买甲种树苗(100y)棵,

    由题意得:40100y+34y≤3800

    解得:y≥

    答:至少购买乙种树苗34棵.

    【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系,难度不大.

    32020·江苏常州·八年级统考期末)小敏去超市购买某商品,第一次按原价购买,用了60元,几天后,正好遇上这种商品八折出售,他用80元又买了一些,两次一共购买了40公斤,请问这种商品的原价是多少元?

    【答案】这种商品的原价是4元.

    【分析】设商品的原价为元,根据数量=则第一次购买的数量为,第二次购买的数量为,通过两次一共购买了40公斤可得,解方程即可.

    【详解】解:设商品的原价

    根据题意可得:

    解得:

    检验:把代入得:

    是原方程的解

    答:这种商品的原价是4元.

    【点睛】本题主要考查了分式方程的应用,通过两次购买的总和建立出分式方程是解题的关键.

    42020·江苏泰州·八年级校联考期中)某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天,需付甲工程队工程款2.4万元,乙工程队工程款1万元.工程领导小组根据甲,乙两队的投标书测算,有如下方案:

    1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成;

    2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天;

    3)若甲,乙两队合做6天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.

    试问:在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由.

    【答案】在不耽误工期的前提下,选第三种施工方案最节省工程款.

    【分析】关键描述语为:甲,乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成;说明甲队实际工作了3天,乙队工作了x天完成任务,工作量=工作时间×工作效率等量关系为:甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程.再看费用情况:方案(1)、(3)不耽误工期,符合要求,可以求费用,方案(2)显然不符合要求.

    【详解】解:设规定日期为x天.由题意得

    经检验:x=12是原方程的根.

    方案(1):2.4×12=28.8(万元);

    方案(2)比规定日期多用12天,显然不符合要求;

    方案(3):2.4×6+1×12=26.4(万元).

    28.826.4

    在不耽误工期的前提下,选第三种施工方案最节省工程款.

    【点睛】本题考查了分式方程的应用,找到合适的等量关系是解决问题的关键.在既有工程任务,又有工程费用的情况下.先考虑完成工程任务,再考虑工程费用.

    52022·河南郑州·八年级统考期末)刘峰和李明相约周末去科技馆看展览,根据他们的谈话内容,试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米?

    刘峰:我查好地图了,你看看

    李明:好的,我家门口的公交车站,正好有一趟到科技馆那站停的车,我坐明天的车.

    刘峰:从地图上看,我家到科技馆的距离比你家近10千米,我就骑自行车去了.

    李明:行,根据我的经验,公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍,那你明天早上点从家出发,如顺利,咱俩同时到达.

     

    【答案】刘峰骑自行车每小时行20千米,李明乘公交车每小时行60千米

    【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米,则李明乘车的速度为每小时3x千米,根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可.

    【详解】解:设刘峰骑自行车每小时行x千米,则李明乘公交车每小时行千米,

    根据题意,得

    解得

    经检验,是所列分式方程的解,且符合题意,

    (千米/时),

    答:刘峰骑自行车每小时行20千米,李明乘公交车每小时行60千米.

    【点睛】本题考查了分式方程的应用,根据题意列出分式方程是解题的关键.

    62022·上海·八年级校考期中)甲、乙两人各加工300个零件,甲比乙少用1小时完成任务;乙改进操作方法,使生产效率提高了1倍,结果乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用时间少小时,甲、乙两人原来每小时各加工多少个零件?

    【答案】甲每小时加工60个零件,乙原来每小时加工50个零件.

    【分析】设乙原来每小时加工x个零件,则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件,利用工作时间=工作总量÷工作效率,结合乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时,列出分式方程,解分式方程,再利用甲的工作效率=300÷(乙加工300个零件所需时间-1),即可求出甲的工作效率.

    【详解】解:设乙原来每小时加工x个零件,则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件,

    依题意得:

    解得:x=50

    经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,

    300÷=60

    答:甲每小时加工60个零件,乙原来每小时加工50个零件.

    【点睛】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.

    72022·云南红河·八年级统考期末)某部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务,按原计划完成总任务的后,为了让道路尽快投入使用,工兵连将工作效率提高了50%,一共用了9小时完成任务.

    (1)按原计划完成总任务的时,已抢修道路_____________米;

    (2)求原计划每小时抢修道路多少米?

    【答案】(1)900

    (2)原计划每小时抢修道路300

    【分析】(1)按原计划完成总任务的时,列式计算即可;

    2)设原计划每天修道路x米.根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=9,等量关系列出方程.

    【详解】(1)解:(1)按原计划完成总任务的时,已抢修道路为(米),

    答:按原计划完成总任务的时,已修建道路900米;

    故答案为:900

    2)解:设原计划每小时抢修道路米,根据题意得:

    解得:

    经检验:是原方程的解.

    答:原计划每小时抢修道路300米.

    【点睛】本题考查了分式方程的应用.分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.本题应用的等量关系为:工作时间=工作总量÷工作效率.

     

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