【同步讲义】苏科版数学八年级下册：9.4.2 菱形 讲义

9.4.2 菱形

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：

1）具有平行四边形的所有性质；

2）四条边都相等；

3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。

4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。

菱形的判定：

1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2）四条边相等的四边形是菱形。

3）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝

【题型一】利用菱形的性质求角度

【典题】（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

 巩固练习

1（）（2022春·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形中，若，则是（    ）

A．60 B．20 C．80 D．100

2（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．45°

3（）（2022春·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为_____．

4（）（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当时，则_____________．

5（）（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，把一个矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为100°的菱形，剪口与竖直折痕所成的锐角的度数为______．

6（）（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．∠E=50°，求∠BAO的大小．

7（）（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，∠BAE=30°，AD=4cm．

（1）求菱形ABCD的各角的度数；

（2）求AE的长．

【题型二】利用菱形的性质求线段长

【典题】（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（    ）

A．24 B．20 C．10 D．5

 巩固练习

1（）（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，菱形中，对角线、相交于点，若，则的长为（    ）

A．6 B．8 C． D．

2（）（2022春·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（4，3），点D是边OC上的一点，点E在直线OB上，连接DE、CE，则DE+CE的最小值为（　　）

A．5 B． +1 C．2 D．

3（）（2022春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的高为（　　）

A． B． C．12 D．24

4（）（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）若菱形的周长是12，，那么这个菱形的对角线的长是（    ）

A． B． C．3 D．4

5（）（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=7，S菱形ABCD＝56．则OH的长为 _____．

【题型三】利用菱形的性质求面积

【典题】（2022春·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BEAC，AEBD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积为(　　　)

A．20 B．22 C．24 D．40

巩固练习

1（）（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（    ）

A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2

2（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm．

3（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）已知一个菱形的两条对角线长分别为16cm和30cm，则这个菱形的高为______________

【题型四】添加一个条件证明四边形是菱形

【典题】（2022春·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考期末）的对角线与相交于点，添加以下条件，不能判定平行四边形为菱形的是（    ）

A． B．

C． D．

 巩固练习

1（）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（  ）

A．AB=CD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AD=BC

2（）（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③：从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是_______（只填写序号）．

3（）（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，四边形中，，，，分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件______．

【题型五】菱形的证明

【典题】（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，在中，，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且．

(1)求证：四边形BECF是菱形；

(2)若，，求菱形BECF的面积．

 巩固练习

1（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD．

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

2（）（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）在矩形ABCD中，连接AC，AC的垂直平分线交AC于点O，分别交AD、BC于点E、F，连接CE和AF．

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．

3（）（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．

4（）（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合．

(1)连接，求证：四边形是菱形；

(2)求折痕的长．