数学八年级下册17.1 勾股定理优秀综合训练题

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义

第17章《勾股定理》章节复习

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

知识点01：勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

 2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为的线段.

知识点02：勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

　　 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；

（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

一、选择题

1．（2022秋·河南平顶山·八年级校考期中）下列各组数中是勾股数的是（    ）

A．3，4，7 B．，， C．，， D．9，12，15

2．（2021春·四川成都·八年级校考期中）如图，在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交边于点，若，则的面积为（    ）．

A． B． C． D．

3．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，以、和为直径分别作半圆，已知，，则的长为（　　）

A． B． C． D．

4．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，过正方形的顶点作直线，过、作直线的垂线，垂足分别为、，若，，则的长为（    ）

A． B．2 C．3 D．

5．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，一长方体木块长，宽，高， 一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（    ）

A． B． C． D．

6．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，在边长为6的等边三角形的三边上分别取点，，，使得，连接，，，若于点，则的周长为（　　）

A． B． C．6 D．12

7．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）在中，，，若点P在边上移动，则的最小值是（    ）

A．4 B． C．5 D．

二、填空题

8．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是______．

9．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图所示，在中，，平分，于E，，，则的长为__________．

10．（2021秋·浙江嘉兴·八年级期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过正方形对角线的交点，则这条直线平分该正方形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P是其中4个小正方形的公共顶点，小明将该图形沿着过点P的某条直线剪了一刀后，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是______．

11．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）己知直角三角形两边分别为3cm和4cm，则其斜边长为___cm．

12．（2023秋·山东青岛·八年级青岛超银中学校考期末）如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为______．

13．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小值为___________．

14．（2021春·四川成都·八年级校考期中）在等腰直角三角形中，，，是边上一点，且，是边上一点，将沿翻折，使点落在线段的点上，则_________．

三、解答题

15．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．

(1)若点在上，且满足时，求出此时的值；

(2)若点恰好在的角平分线上，求的值．

16．（2022秋·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，该路和铁路在P点处交汇，点A处是第九十四中学，米，点A到铁路的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到吸音影响，火车在铁路上沿方向行驶时．

(1)学校是否会受到影响？请说明理由；

(2)如果受到影响，已知火车的速度是50米/秒那么学校受到影响的时间是多久？

17．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【教材呈现】下图是华师版八年级上册124页的部分内容．

【证明定理】如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程．

18．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，，，点D在线段上从点B出发，以的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t．

(1)求．

(2)求边上的高．

(3)点D在运动过程中，当为等腰三角形时，直接写出t的值．

19．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，在中，，，是中线，且．

(1)延长到E，使，连结．画图并结合图形写出两条结论．

(2)求的长．

(3)若在中，，，是边上的高，且，那么边的长可能是____________．

20．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动.设点P的运动时间为t（）．

(1)BC=_______；

(2)求斜边AC上的高线长．

(3)①当P在上时，的长为_______，t的取值范围是_____（用含t的代数式表示）

②若点P在的角平分线上，则t的值为______．

(4)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时t的值．