物理选择性必修 第一册1 简谐运动精品练习题

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第03讲 简谐运动的回复力和能量

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课程标准
课标解读
1．掌握简谐运动的定义.
2．了解简谐运动的运动特征.
3．掌握简谐运动回复力的特征．
4．了解简谐运动的能量变化规律．
5．对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程．
1．知道回复力的概念，了解它的来源。
2．理解从力的角度来定义的简谐运动。
3．理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、能量等各物理量的变化规律。
4．掌握简谐运动的动力学公式.
5．知道简谐运动中机械能守恒，能量大小与振幅有关。会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。

知识精讲


知识点01 简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力。
3．弹簧振子的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是弹簧的劲度系数。
4．回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．

5．简谐运动的回复力的特点
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
【即学即练1】(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是(　　)

A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
【解析】 回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在题图情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；
回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程中回复力逐渐减小，C错误；
回复力总是指向平衡位置，故D正确．
【答案】 AD
【即学即练2】如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于(　　)

A．0　　　　　　 B．kx C．kx D．kx
【解析】 当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力(即弹簧弹力)的大小为kx，以整体为研究对象，此时m与M具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx＝(m＋M)a，得a＝，以A为研究对象，使m产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝kx，D正确．
【答案】　D
【归纳总结】 理解回复力的两点注意
(1)分析物体做简谐运动的回复力，首先要明确回复力是效果力，是由物体受到的力来充当的，不要认为回复力是物体受到的一种新力．
(2)对于相关联的多个物体，整体法和隔离法在分析简谐运动时，仍然适用．
知识点02 简谐运动的能量
1．能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2．能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3．简谐运动的特点：
如图所示的弹簧振子．

振子的运动
位移
加速度
速度
动能
势能
O→B
增大，方向向右
增大，方向向左
减小，方向向右
减小
增大
B
最大
最大
0
0
最大
B→O
减小，方向向右
减小，方向向左
增大，方向向左
增大
减小
O
0
0
最大
最大
0
O→C
增大，方向向左
增大，方向向右
减小，方向向左
减小
增大
C
最大
最大
0
0
最大
C→O
减小，方向向左
减小，方向向右
增大，方向向右
增大
减小
说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为T/2。
(1)凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小.
(2)在平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零；
(3)在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同．
(4)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反．
(5)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点．
(6)最大位移处是速度方向变化的转折点．
(7)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量．
4．因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
5．表达式中k虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。
6．简谐运动中，x变化，回复力F随之改变，可见a＝也是随x在改变，所以简谐运动是一个变加速运动。其位移跟加速度的关系为a＝－x，加速度大小跟位移大小成正比，方向相反。
【即学即练3】如图所示为一弹簧振子的振动图象，在A、B、C、D、E、F各时刻中：

(1)哪些时刻振子有最大动能？
(2)哪些时刻振子有相同速度？
(3)哪些时刻振子有最大势能？
(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？
【解析】　由题图知，B、D、F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A、C、E时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为0.B、F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B、F时刻虽然速率相同，但方向相反．A、E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A、E两时刻相同，但方向相反．由回复力知识可知C时刻与A、E时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反．
【答案】　(1)B、D、F时刻振子有最大动能　(2)A、C、E时刻振子速度相同，B、F时刻振子速度相同 (3)A、C、E时刻振子有最大势能　(4)A、E时刻振子有相同的最大加速度
【归纳总结】 对简谐运动能量的三点认识
(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．
(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的．
(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．

能力拓展


考法01 连接体的简谐振动的回复力的变化
【典例1】光滑的水平面上放有质量分别为m和m的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为Ff，为使这两个木块组成的系统能像一个整体一起振动，系统的最大振幅为

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
【解析】 质量分别为m和m的两木块作为一个整体同步振动，两者具有相同的加速度。当两木块之间静摩擦力达到最大值Ff时，m木块的加速度达到最大值，此时两木块组成的系统的加速度也达到最大值，弹簧弹力达到最大值Fmax＝(m＋m)amax＝3Ff，此时系统的位移大小即为振幅达到最大值Amax＝＝。
【答案】　C
【归纳总结】 理解回复力的两点注意
(1)分析物体做简谐运动的回复力，首先要明确回复力是效果力，是由物体受到的力来充当的，不要认为回复力是物体受到的一种新力．
(2)对于相关联的多个物体，整体法和隔离法在分析简谐运动时，仍然适用．
简谐振动能量的变化
考法02 简谐振动中能量的变化
【典例2】(多选)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　　)

A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小
B．从t2到t3时间内振幅不断增大
C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
【解析】　t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A项正确；振幅不随时间而改变，B项错误；t3时刻振子位移为零，速度最大，动能最大，C项正确；t1和t4时刻振子位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同D项错误．
【答案】　AC
【归纳总结】 (1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，Ep＝0，而Ek最大。
(2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。
考法03 简谐振动中各量的比较
【典例3】一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，在t1和t2时刻的位移为x1＝x2＝7 cm，在t3时刻的振动位移为x3＝－5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小，则以下关系正确的是(　　)

A．v1＝v2＞v3　a1＝a2＞a3
B．v1＝v2＜v3　a1＝a2＜a3
C．v1＝v2＞v3　a1＝a2＜a3
D．v1＝v2＜v3　a1＝a2＞a3
【解析】 x1＝x2＞|x3|，故t1、t2、t3时刻的势能关系为Ep1＝Ep2＞Ep3，据机械能守恒定律知，相应的三个时刻的动能关系为mv＝mv 【答案】 D



题组A 基础过关练
1．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为(　　)
A．20 m/s2，向右　　　　　　 B．20 m/s2，向左
C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左
【解析】　由力和位移的大小关系F＝kx可知，当x＝40 cm时，F＝8 N，a＝＝40 m/s2，方向指向平衡位置，因此方向向左，D正确。
【答案】　D
2．(多选)一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度的值越来越小，则在这段时间内(　　)
A．振子的速度越来越大
B．振子正在向平衡位置运动
C．振子的速度方向与回复力方向相反
D．振子正在远离平衡位置
【解析】 弹簧振子加速度的值越来越小，位移也必然越来越小，说明振子正在向平衡位置运动，选项B正确，D错误；
振子正在向平衡位置运动，振子的速度越来越大，选项A正确；
当振子向平衡位置运动时，速度方向与加速度方向一致，即振子的速度方向与回复力方向相同，当振子远离平衡位置时，速度方向与回复力方向相反，选项C错误．
【答案】 AB
3．如图甲所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，如图乙是振子做简谐运动时的位移—时间图像，则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图像中正确的是(　　)


【解析】　加速度与位移关系a＝－，而x＝Asin(ωt＋φ)，所以a＝－sin(ωt＋φ)，则可知C选项正确．
【答案】　C
4．(多选)做简谐运动的弹簧振子，质量为m，最大速率为v，则下列说法正确的是(　　)
A．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到mv2之间的某一个值
C．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某一时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到2v之间的某一个值
【解析】　弹簧振子在半个周期内刚好到达与初位置关于平衡位置对称的位置，两位置的速度大小相等，故由动能定理知，回复力做的功一定为零，则A正确，B错误.
由于速度反向(初位置在最大位移处时速度为零)，所以在半个周期内速度变化量的大小为初速度大小的2倍，因此在半个周期内速度变化量的大小应为零到2v之间的某一个值，则C错误，D正确．故正确选项为A、D.
【答案】 AD
5．把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它的平衡位置为O，在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　)

A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做负功
【解析】　小球在平衡位置时动能最大，加速度为零；小球在A、B位置时，动能最小，为零，加速度最大，A正确，B错误；
小球靠近平衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功，C、D错误．
【答案】 A
6．公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图所示，则(　　)

A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
【解析】 要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知在t＝T时，货物向上的加速度最大，则选项A错误，选项C正确；货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知在t＝时，货物向下的加速度最大，所以选项B、D错误。
【答案】 C
7．(多选)如图所示，轻质弹簧下挂重为300 N的物体A时伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时又伸长了2 cm，现将A、B间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则(　　)

A．最大回复力为500 N，振幅为5 cm
B．最大回复力为200 N，振幅为2 cm
C．只减小A的质量，振动的振幅变小，周期不变
D．只减小B的质量，振动的振幅变小，周期不变
【解析】　轻质弹簧下挂重为300 N的物体A时伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时又伸长了2 cm，故劲度系数为k＝＝＝10 000 N/m，若将连接A、B两物体的细线烧断，物体A将做简谐运动，烧断瞬间，合力充当回复力；由于细线烧断前是平衡状态，烧断后细线对A的拉力减小了200 N，而弹力不变，故合力为200 N，故最大回复力为200 N，刚剪断细线时物体的加速度最大，此处相当于是物体A到达简谐运动的最大位移处，故振幅为2 cm，故A错B对；
只减小A的质量，A振动的平衡位置上移，振动的幅度变大，而周期与振幅无关，所以周期不变，故C错误；
只减小B的质量，振动的幅度变小，而周期与振幅无关，所以周期不变，故D正确。
【答案】　BD
8．一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示．

(1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
【解析】　(1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为x＝Asin (ωt－)＝－Acos ωt＝－2cos t cm＝－2cos 100πt cm
当t＝0.25×10－2 s时，x＝－2cos cm＝－ cm.
(2)由题图可知在1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
(3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内经历个周期，质点的路程为s＝17A＝34 cm，位移为2 cm.
【答案】　(1)－ cm　(2)变大　变大　变小　变小　变大 (3)34 cm　2 cm
9．测物体的质量可以有很多方法，可以用天平直接测出，也可以利用所学的弹簧振子的知识来测量．如图所示是一个测物体质量的装置，其中弹簧是轻质弹簧，P是水平面，A是质量为M的带夹子的标准质量的物体，Q是待测物体．已知该装置的弹簧振子做简谐运动时的周期为T＝π ，其中m是振子的质量，k是弹簧的劲度系数．当只有A物体振动时，测得其振动周期为T1，将待测物体Q固定在A上后，测得振动周期为T2，则待测物体的质量为多少？

【解析】 设待测物体的质量为m′，由周期公式T＝π
知T1＝π ①
T2＝π ②
由①②解得m′＝.
【答案】
题组B 能力提升练
1．(多选)如图所示，一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m，可视为质点的小球从弹簧正上方h处自由下落到弹簧上端A点处，然后压缩弹簧到最低点C，若小球放在弹簧上可静止在B点(B点未画出)．小球运动过程中空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是(g为重力加速度)(　　)

A．B点位于AC连线中点的上方
B．B点位于AC连线中点的下方
C．小球在A点的回复力等于mg
D．小球在C点的回复力大于mg
【解析】　小球放在弹簧上，可以静止于B点，知B点为平衡位置，若小球从A点静止释放，平衡位置在A点和最低点的中点，而小球从弹簧正上方下落，在A点有向下的速度，故最低点需下移，但平衡位置不变，所以B在AC连线中点的上方，故A正确，B错误；
小球在A点弹力为零，则小球在A点所受的合力为mg，即回复力为mg，故C正确；
由振动的对称性可知， 小球在C点的回复力大于mg，故D正确．
【答案】 ACD
2．(多选)如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是(　　)

A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
【解析】 m在平衡位置O处两弹簧均处于原长状态，则m振动后任取一位置A，如图．设在A处m的位移为x，则在A处m在水平方向的合力F＝k2x＋k1x＝(k2＋k1)x，考虑到回复力F与x方向关系有F＝－(k2＋k1)x＝－3kx，选项D正确，选项C错误；
可见m做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，选项A正确，B项错误．

【答案】 AD
3．(多选)一个弹簧振子，做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，若t2－t1<，则(　　)
A．t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻大小相等、方向相反
B．在t1～t2的中间时刻，振子处在平衡位置
C．从t1到t2时间内，振子的运动方向不变
D．从t1到t2时间内，振子所受回复力的方向不变
【解析】 弹簧振子在t1、t2两个不同时刻的振动图象如图所示，由图可知t1、t2时刻的加速度大小相等、方向相反，A正确；
且在t1～t2的中间时刻，振子处于平衡位置，B正确；
在t1～t2时间内，振子的运动方向都沿y轴的正方向，故运动方向不变，C正确；
从t1到t2时间内，位移方向发生了变化，振子所受回复力的方向发生了变化，D错误．

【答案】 ABC
4．如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图象如图乙所示．关于这个图象，下列说法正确的是(　　)

A．t＝1.25 s，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1 s，弹性势能最大，重力势能最小
C．t＝0.5 s，弹性势能为零，重力势能最小
D．t＝2 s，弹性势能最大，重力势能最小
【解析】 由题图可知t＝1.25 s时，位移为正，加速度为负，速度也为负，A不正确．竖直方向的弹簧振子，其振动过程中机械能守恒，在最高点重力势能最大，动能为零；在最低点重力势能最小，动能为零，所以弹性势能最大；在平衡位置，动能最大，由于弹簧发生形变，弹性势能不为零．由此可知D正确．
【答案】 D
5．如图所示，一底端有挡板的斜面体固定在水平面上，其斜面光滑，倾角为θ.一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物块A连接在一起，物块B紧挨着物块A静止在斜面上．某时刻将B迅速移开，A将在斜面上做简谐运动．已知物块A、B的质量分别为mA、mB，若取沿斜面向上为正方向，移开B的时刻为计时起点，则A的振动位移随时间变化的图象是选项图中的(　　)


【解析】 刚移开B时应为简谐振动的最低点，此时弹簧的形变量x1＝，简谐振动处于平衡位置时，弹簧的形变量x2＝，所以简谐振动的振幅为x1－x2＝，B正确．
【答案】 B
6．(多选)装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示．把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5 s．竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图象如图乙所示，其中A为振幅．对于玻璃管，下列说法正确的是(　　)

A．回复力等于重力和浮力的合力
B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒
C．位移满足函数式x＝4sin cm
D．振动频率与按压的深度有关
E．在t1～t2时间内，位移减小，加速度减小，速度增大
【解析】 装有一定量液体的玻璃管只受到重力和液体的浮力，所以装有一定量液体的玻璃管做简谐振动的回复力等于重力和浮力的合力，故A正确；
玻璃管在做简谐振动的过程中，液体的浮力对玻璃管做功，所以振动的过程中玻璃管的机械能不守恒，故B错误；
振动的周期为0.5 s，则圆频率ω＝＝＝4πrad/s，由图可知振动的振幅为A，由题可知，A＝4 cm，t＝0时刻：x0＝－A＝Asinφ0，结合t＝0时刻玻璃管振动的方向向下，可知φ0＝π，则玻璃管的振动方程为：x＝Asin(ωt＋φ0)＝4sin cm＝4sin cm，故C正确；
由于玻璃管做简谐振动，与弹簧振子的振动相似，结合简谐振动的特点可知，该振动的周期与振幅无关，故D错误；
由图可知，在t1～t2时间内，位移减小，回复力：f＝－kx，加速度a＝＝－减小；在t1～t2时间内，玻璃管向着平衡位置做加速运动，所以速度增大，故E正确．
【答案】 ACE
7．如图所示，倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动)，重力加速度为g。

(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)物块做简谐运动的振幅是多少；
(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足)
【解析】 (1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力。
根据平衡条件，有mgsinα＝k·Δx，解得
故弹簧的长度为
(2)物块做简谐运动的振幅为
(3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为k(x＋Δx)＝k(x＋)
故合力为F＝mgsinα－k(x＋)＝－kx
故物块做简谐运动。
【答案】 (1)；(2)；(3)物块做简谐运动
8．一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k＝400 N/m，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上、下表面恰与盒子接触，如图所示。A和B的质量mA＝mB＝1 kg，g取10 m/s2，不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小，试求：

(1)盒子A的振幅；
(2)物体B的最大速率；
(3)当A、B的位移为正的最大和负的最大时，A对B的作用力的大小分别是多少？
【解析】　(1)振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则
kΔx＝(mA＋mB)g，Δx＝g＝5 cm。
开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A＝5 cm＋5 cm＝10 cm。
(2)由于开始时弹簧的伸长量恰好等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，
设振子的最大速率为v，物体B从开始运动到达到平衡位置，
应用机械能守恒定律，得mBgA＝mBv2，v＝≈1.4 m/s。
(3)在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，
由牛顿第二定律得(mA＋mB)a1＝kΔx＋ (mA＋mB)g，
a1＝20 m/s2，方向向下，A对B的作用力方向向下，且F1＋mBg＝mBa1，
得F1＝mB(a1－g)＝10 N；
在最低点由简谐运动的对称性得a2＝20 m/s2，方向向上，
A对B的作用力方向向上，且F2－mBg＝mBa2，得F2＝mB(g＋a2)＝30 N。
【答案】 (1)10 cm　(2)1.4 m/s　(3)10 N　30 N

题组C 培优拔尖练
1．(2020-2021学年北京四中高二(下)期中)如图所示，用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量为m的木板B连接组成如图所示的装置，B板置于水平地面上，现用一竖直向下的力F向下压木板A，撤消F后，B板恰好被提离地面，由此可知力F的大小是( )

A．7mg B．4mg C．3mg D．2mg
【解析】 撤销F后，A板做简谐运动
在最高点，B恰好被提离地面，弹簧伸长，拉力等于物体B的重力mg，即F弹=mg
弹簧对A、B的拉力相等，故对物体A的拉力也等于mg
最高点物体A的回复力：F回=3mg+F弹=3mg+mg=4mg
根据对称性可知：物体A压缩到最低点释放瞬间的回复力也为4mg，此时：F回=FN-3mg=4mg，
故FN=7mg
没有撤去推力F时，物体A受重力、支持力和推力，根据三力平衡条件，有：F+3mg=FN
故F=FN-3mg=4mg
【答案】 B
2．(多选)如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物体A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板．现让一质量为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，之后在斜面上做简谐运动，在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为mgsin θ，则(　　)

A．简谐运动的振幅为
B．简谐运动的振幅为
C．B对C的最大弹力为
D．B对C的最大弹力为
【解析】　当弹簧弹力等于A、D的重力沿斜面方向的分力时A、D处于平衡状态，由kx0＝2mgsin θ可知，平衡时弹簧的形变量为x0＝，弹簧处于压缩状态；当B对C的弹力最小时，对B受力分析，则有mgsin θ＝kx＋mgsin θ，此时弹簧伸长达最大位移处，形变量为x＝，故简谐运动的振幅为A＝x0＋x＝，A错误，B正确；
当A、D运动到最低点时，B对C的弹力最大，此时弹簧的形变量为x′＝A＋x0＝，此时弹簧的弹力最大，为F＝k(A＋x0)＝，此时B对C的弹力F′＝F＋mgsin θ＝，C错误，D正确．
【答案】 BD
3．如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动.已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是(　　)

A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块在C、D两点的加速度相同
【解析】　如果在t1时刻物块位于O点上方且向下运动，t2时刻物块位于O点下方且与t1时刻物块速度相同，则t2－t1的最小值小于，选项A正确；
如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2时刻物块速度与t1时刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于，选项B错误；
题图中O点是平衡位置，物块通过O点时位移最小，根据a＝－知，其加速度最小，选项C正确；
C、D两点关于平衡位置对称，加速度等大反向，选项D错误.
【答案】　AC
4．如图所示，竖直轻弹簧两端分别与物块A、B相连，物块A、B所受重力均为mg，物块B放在固定于水平面上的压力传感器上，物块A在初始位置处于平衡状态．现对物块A施以大小为F＝mg的力将其下压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，压力传感器的读数是多少？

【解析】　设物块A在初始位置时弹簧的压缩量为x0，
对A列平衡方程：mg＝kx0①
施加力F后，A的平衡方程为
F＋mg＝k(x＋x0)②
又由于F＝mg③
由①②③式，得kx＝mg，
撤去力F的瞬间，物块A所受的回复力F回＝k(x＋x0)－mg＝kx
当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，由对称性知F回＝kx，而kx＝mg，
可见物块A所受弹簧弹力恰好为零，以物块B为研究对象，
受力分析知压力传感器对物块B的支持力为mg，故压力传感器的读数是mg.
【答案】　mg
5．如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体，mA＝0.1 kg，mB＝0.5 kg，系统静止时弹簧伸长15 cm，若剪断A、B间的细绳，A做简谐振动，其最大加速度和振幅分别是多少？(g取10 m/s2)

【解析】 此题等效于用F＝mBg的力拉A使弹簧伸长15 cm后释放，
则释放时A的加速度最大，此时合力与F等大、反向，
则amax＝＝＝ m/s2＝50 m/s2.振子的平衡位置是不用F拉时A静止的位置．
设弹簧的劲度系数为k，A、B静止时，弹簧伸长量为15 cm，
由平衡条件得，(mA＋mB)g＝k·x′，解得k＝40 N/m.
没有B且A平衡时，弹簧伸长量x＝＝2.5 cm，
则振子的振幅A＝(x′－x)cm＝12.5 cm.
【答案】 50 m/s2　12.5 cm
6．(2020-2021学年北京四中高二(下)期中)质量为m的小球被劲度系数分别是k1和k2的轻弹簧拴住，置于光滑水平面上，如图所示，此时两个弹簧均处于原长状态，记为位置O。

(1)证明：若将小球在水平方向上拉离位置O再释放，小球将做简谐运动。
(2)已知简谐运动的周期是：，其中k是回复力与位移的比例系数。求出此弹簧振子的周期。
(3)定义：振动物体出现在某区域的时间△t与观察时间t的比值，为振动物体在该区域出现的概率。那么在小球的振动过程中，当观察时间为振动周期的整数倍时，求：小球出现在位置O与右侧0．5A(A为振幅)的区域内的概率P。
【解析】 (1)规定向右为正，
因为弹簧串联则有，则有，所以是简谐运动。
(2)由(1)可知，所以
(3)小球在o右侧0．5A处的相位是或，对应的时刻为，
所以，所以
【答案】 (1)见解析；(2)；(3)