2023年广东省中山市中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省中山市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，该几何体的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  六边形的内角和为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，矩形的对角线，相交于点，若，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在一个不透明的口袋中有个红球和个白球，它们除颜色外其他均相同若从袋中任取一个球，取出红球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设线段长为，甲、乙两质点同时从点出发朝点做匀速直线运动，到达点后即停止已知甲质点运动速度比乙质点运动速度快，且甲运动一段时间后停止一会儿又继续按原速度运动，直至到达点如图，该图表示甲、乙之间的距离单位：与时间单位：之间的函数关系，点横坐标为，点坐标为，点横坐标为下列说法：当时，；的面积为；点的横坐标为；的最大值为其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  若正比例函数的图象经过点，则该函数的解析式为______ ．

13.  不等式组的解集为______ ．

14.  如图，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点若，，，则 ______ ．

15.  如图，在菱形中，，，点，同时从，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动到点即停止点的速度为，点的速度为，经过后恰为等边三角形，则此时的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程组：
．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的根．

18.  本小题分
某市有个“网红”景点，，，，及其他景点年“五一”期间，该市旅游局对本市游客的旅游去向进行了随机抽查，依据调查数据制作成如图所示的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

扇形统计图中景点所对应的圆心角度数为______ ；
请补全条形统计图；
若年“五一”期间有万游客来该市旅游，试估计有多少万人去景点旅游．

19.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
利用图象直接写出：当在什么范围内取值时，满足．

20.  本小题分
某高铁站入口的双翼闸机如图所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行帮箱规格为长宽高，单位：当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行书箱是否可以通过闸机？请说明理由．

21.  本小题分
某文具店规定：凡一次购买练习本本以上含本，可以按批发价付款；购买本以下，只能按零售价付款李老师来该店购买练习本，如果给学校八年级学生每人购买本，则只能按零售价付款，需用元；如果多购买本，则可以按批发价付款，需用元．
求该校八年级学生人数的范围；
若按批发价购买本与按零售价购买本所需金额相同，求该校八年级学生的人数．

22.  本小题分
如图，已知是的直径，，为圆上任意一点，过点作圆的切线，分别与过，两点的切线交于，两点．
求的值；
如图，连接，交于点，证明直线．

 

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，且．
求该二次函数的解析式；
设为线段上的动点，过点作交线段上方的抛物线于点，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从几何体的左面看，可得选项C的图形．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据多边形的内角和可得：
．
故选：．
利用多边形的内角和即可解决问题．
本题考查了对于多边形内角和定理的识记．边形的内角和为．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
是的一个外角，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等得到，再根据三角形外角的性质得出，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，，
，，
，
的周长．
故选：．
由矩形的性质得出，由勾股定理求出，得出，即可求出的周长．
本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
，
，
点的坐标为，
，，
由旋转得：
，，
，
，
≌，
，，
点的坐标为，
故选：．
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，然后利用一线三等角构造全等模型证明≌，从而利用全等三角形的性质可得，，即可解答．
本题考查了坐标与图形的变化旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：取出一个球有中等可能情况，其中球为红色的有中，
．
故选：．
利用概率公式求出概率即可．
本题考查随机事件中概率的计算，概率为目标情况种数与总的可能情况种数的比值．
 

8.【答案】 

【解析】解：选项A中，，错误，不符合题意；
选项B中，，正确，符合题意；
选项C中，，错误，不符合题意；
选项D中，，错误，不符合题意．
故选：．
按照计算规则计算判断正误即可．
本题考查了有理数的乘法，二次根式的乘法，积的乘方，单项式乘以单项式，分式的加法等知识，计算中要注意符号，常数，字母的次数．同分母分式相加，分母不变，分子相加减．正确的计算是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得，
，
故选：．
根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断．
本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，甲质点运动一段时间后停止了，当时甲质点到达终点，
甲质点速度为，
当时，乙质点追上停止时的甲质点，
乙质点的速度为，
当时，，故错误；
当时，，
，
，故错误；
，
的横坐标为；故正确；
当时，，
的最大值为，故正确；
正确的有，
故选：．
由图象可知，甲质点运动一段时间后停止了，即可求得甲质点速度为，乙质点的速度为，再逐项判断可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息，求出甲，乙的速度．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
提取公因式分解．
本题考查了提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：设该正比例函数的解析式为，
这个正比例函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
设该正比例函数的解析式为，然后将点代入到该解析式并列出关于系数的方程，通过解方程即可求出值，从而求出这个函数解析式．
本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标的特征，待定系数法确定正比例函数的解析式，灵活运用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：
解不等式得，，
解不等式得，，
所以，不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，再找到公共部分即可得．
此题主要考查了求一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过作交的延长线于，
则，
由作图知，平分，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
过作交的延长线于，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
又是等边三角形，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，

，
故答案为：．
连接，证出≌，得到，再利用，，则，可求出时间的值．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出．
 

16.【答案】原方程整理得：，
得：，
把代入中得：，
解得：，
原方程组的解为． 

【解析】先整理方程组，再根据加减消元法进行计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式



．
是方程的根，
．
．
原式． 

【解析】先根据分式化简规则进行化简计算，再根据方程解的性质求解式子的值．
本题考查分式的化简求值，分式化简过程需要先因式分解后上下约分，注意最后形式中不保留括号除因式分解外任何计算结果都不保留括号正确计算是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：景点所对应的圆心角的度数是：，
故答案为：；
该市共接待游客数为：万人，
景点接待游客数为：万人，
补全条形统计图如下：

万人，
答：年“五一”期间选择去景点旅游的人数约为万人．
根据景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；求得景点所对应的圆心角的度数；
求得景点接待游客数补全条形统计图；
根据景点接待游客数所占的百分比，即可估计年“五一”期间选择去景点旅游的人数．
本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识，读懂统计图、从中获取正确的信息是解题的关键．
 

19.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的解析式是；
点在反比例函数的图象上，
，
，
点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式是；
根据图象可知，
当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 

【解析】由点坐标可得反比例函数解析式，将点，坐标代入直线解析式求解．
结合图象，根据点，横坐标求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
 

20.【答案】解：如图，过点作垂直于点，过点作垂直于点．

，，
，．
当双翼收回进闸机箱内时，闸机入口宽度．
长方体行李箱长为，且，
当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行李箱可以通过闸机． 

【解析】过点作垂直于点，过点作垂直于点，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
 

21.【答案】解：设该校八年级学生人数为．
由题意得
解得．
设学生有人，则零售价为每本元，批发价为每本元，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意，
答：该校八年级学生有人． 

【解析】设该校八年级学生人数为，根据题意列不等式组求解即可；
设学生有人，表示出零售价和批发价，再根据按批发价购买本与按零售价购买本所需金额相同列出方程求解即可．
此题考查了一元一次不等式组和分式方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出不等式组和方程．
 

22.【答案】解：如图，连接、，
、、分别与相切于点、、，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
是的直径，，
，
，
，，
，
的值为．
证明：如图，延长交于点，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】连接、，由切线的性质定理及切线长定理得，，，，则，，，所以，则，所以，则，所以，因为，，所以；
延长交于点，由，证明∽，则，所以，可证明∽，得，所以，则，所以．
此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、平行线的判定与性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得，
，
点的坐标为，点的坐标为．
将，两点坐标代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为．
设直线解析式为，
代入，求得直线解析式为，
过点作轴垂线交直线于点，如图：

设点坐标为，则点坐标为，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
．




．
当时，有最大值，最大值为． 

【解析】根据题意可知，根据，得到，，待定系数法求二次函数解析式即可；
待定系数法求得直线解析式为过点作轴垂线交直线于点，设点坐标为，则点坐标为，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，，根据相似三角形的判定和性质可得，求得，，即可得到，，根据二次函数的性质即可求得．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等，解题的关键是借助相似三角形的性质求得和的值．