2023年广东省中山市中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省中山市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  数，，，中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长米，这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  为考察甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计，若，，，，则成绩又高又稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8.  关于的方程有两个相等的实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，的直径的延长线与过点的切线相交于点，点为上一点，且，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其图象如图所示，下列结论：
；
方程的两个根为和；
；
当时，的取值范围是；
当时，随的增大而增大．
其中错误的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：        ．

12.  把二次函数的图象向右平移个单位后，再向上平移个单位，所得的函数的解析式为        ．

13.  已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的侧面积是        ．

14.  如图，在平行四边形中，：：，若，则的面积为        ．

15.  如图，点是内的一点，且，是等边三角形若，则的最大值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
化简分式：，并从，，这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值．

18.  本小题分
如图，曲线与直线交于，两点．
求曲线和直线的解析式；
根据第一象限图象观察，当时，的取值范围是        ．

19.  本小题分
某中学持续开展了“：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行”等一系列活动，学生可以任选一项参加为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了        名学生；
补全条形统计图；
若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

20.  本小题分
某超市以每千克元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到实惠现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求与之间的函数关系式．
若超市要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形．
若，，求四边形的面积．

22.  本小题分
如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
求证：是的切线；
如果，，
求的长；
求的面积．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
求该抛物线的解析式；
点为直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交线段于，过点作轴的垂线交线段于，求的周长的最大值．
若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称和轴对称的知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
数，，，中，最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
本题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
点位于第一象限．
故选：．
由题意可确定，再根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点可知：点位于第一象限．
本题考查的是点的坐标，平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：去括号，得：，
移项，得：，
系数化为，得：，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得，
解得，
所以，外角的度数为．
故选：．
根据多边形内角和公式列出方程，求出的值，即可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是，利用除以边数可得外角度数．
此题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是根据多边形的内角和公式和多边形的外角和为进行解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为若，，
所以乙和丁的成绩相等且较高，
又因为，，
所以丁的方差比乙小，
所以成绩又高又稳定的是丁．
故选：．
先比较平均数，再比较方差即可．
本题考查了方差的意义及算术平均数，解题的关键是方差的意义．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故选：．
利用一元二次方程的根的判别式即可得求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：对于一般形式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图：连接，

，
，
是的切线，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理可求得，再根据是的切线，可得，据此即可求得的度数．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握和运用圆周角定理和切线的性质是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有个交点，
，
，故错误；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，故正确；
，即，
而时，，即，
，
即，故错误；
抛物线与轴的两点坐标为，，
当时，的取值范围是，故正确；
抛物线的对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而增大，故正确；
所以其中结论正确有，共个．
故选：．
利用抛物线与轴的交点个数可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为可得到，则可对进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公司式，必须先提公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：把二次函数的图象向右平移个单位后，再向上平移个单位，所得新抛物线解析式为，即．
故答案为：．
根据图象的平移规律，可得答案．
本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面周长，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
则圆锥的侧面积．
故答案为：．
根据圆的周长公式求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

14.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，：：，
：：，
，，
∽，
：：：，
：：，且，
．
故答案为：．
根据题意可得：∽，根据相似的性质可得：：：，且，故．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．

是等边三角形，
，，
，
点在的外接圆上，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点说明，，，四点共圆，求出，可得结论．
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】结合零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算和二次根式的化简可以求出结果．
本题主要是想考查学生对零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算和二次根式的化简的掌握情况．解题的时候需要注意的是负整数指数幂要记得取其正整数指数幂的倒数，而不是相反数，也就是公式要使用正确．
 

17.【答案】解：



，
要使原分式有意义，
的值不能取、、，
可取的值为，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再在所给的值中选取一个使原式有意义的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟悉分式混合运算的相关运算法则，代值计算时，所选取的值必须使原分式有意义．
 

18.【答案】 

【解析】解：把点代入，
得：，
解得：，
曲线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
，
把、代入得：，
解得：，
直线的解析式为：．
由图可知：当时，．
故答案为：．
将点代入求出反比例函数表达式，再求出点的坐标，最后将点和点的坐标代入即可求解；
根据图象即可进行解答．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，会根据图象和不等式求函数值的取值范围．
 

19.【答案】 

【解析】解：在这次调查中，一共抽取了学生名，
故答案为：；
参加项活动的人数为名，补全条形统计图如下：

名，故估计参加项活动的学生为名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
由的人数除以所占的比例即可；
求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，以及用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

20.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为．
故答案为：．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价元． 

【解析】观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
利用总利润每千克的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价元．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据图中点的坐标，利用待定系数法求出与之间的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
解：四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
． 

【解析】由≌，推出，可知四边形是平行四边形，再根据可得结论；
利用勾股定理求出的长即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：连接，如图，

是的直径，，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
．
是的半径，
是的切线；
解：，
，
是的直径，，
．
，
，，
∽，
，
，
．
；
过点作，交的延长线于点，如图，

，，
∽．
，
设，则，
，
，
，，
．
，
，
解得：．
．
的面积． 

【解析】连接，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
利用勾股定理和相似三角形的判定定理与性质定理解答即可；
过点作，交的延长线于点，设，则，利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理求得，再利用三角形的面积公式解答即可．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

23.【答案】解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
如图，抛物线与轴交点，
轴，轴，
，，
，
∽，
设直线的解析式为，

则，
，
直线的解析式为，
设，则，
，
当时，的最大值为，
，
周长的最大值为；
存在，
由题意得，，，
设，，
当四边形是平行四边形时，
，
，
；
当四边形是平行四边形时，
，
，
；
当四边形是平行四边形时，
，
，
，
综上所述，或或 

【解析】将点、坐标直接代入函数解析式即可得出答案；
利用铅垂高求出的最大值，再根据∽，利用相似三角形的周长比等于相似比可得答案；
设，，根据中点坐标公式，结合分类讨论思想可得答案．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解决平行四边形问题的关键．