2023年广东省江门市中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省江门市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，台积电宣称年将量产纳米芯片，纳米就是米，数据用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，下列几何体的左视图不是矩形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中直角顶点在直线上，斜边与直线交于的中点，连接若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  对于反比例函数，下列说法正确的是(    )

A. 图象经过点 B. 图象位于第二、第四象限
C. 该函数与坐标轴不可能有交点 D. 当时，随的增大而增大

7.  已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

8.  一组数据，，，，若添加一个数，则发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

9.  如图，在直角坐标系中，菱形顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为
，，将绕点顺时针旋转得到，当恰好第一次落在线段上时，的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形中，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向匀速运动到点停止，设点的运动路程为，，图是点运动时随变化的关系图象，根据图中的数据，(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

12.  已知满足不等式组，则该不等式组整数解的个数为______ ．

13.  有背面完全相同，正面写有“十九届六中全会”字样的卡片张，“元宇宙”字样的卡片张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，从中随机抽取一张，若抽中“十九届六中全会”字样的卡片的概率为，则 ______ ．

14.  如图，已知扇形，点为中点，点在弧上，将扇形沿直线折叠，点恰好落在点，若，，则图象中阴影部分的面积是______ ．

15.  如图，在等腰三角形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，点关于直线的对称点为点，分别连接，，当时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值，

17.  本小题分
为丰富师生的校园文化生活，激发师生热爱体有运动的兴趣，增强师生体质，营造奋进、和谐的校园氛围，年月日，商丘市梁园区某校举行了“趣味十一月”神采飞扬跳绳比赛活动该校七年级采用随机抽签的方式选出了部分同学，并对这些同学一分钟跳绳的成绩进行了统计，绘制了如下统计图和统计表：

请结合上述信息解决下列问题：
本次随机抽签的样本容量是______ ； ______ ；
请补全频数分布直方图；
在扇形统计图中，“不合格”等级对应的圆心角的度数是______ ；
若该校有名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数．

18.  本小题分
如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，交于点、、可重合，过点作，垂足为．
求证：；
填空：
当的度数为______ 时，四边形为正方形；
当的度数为______ 时，四边形为菱形．

19.  本小题分
如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部处米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为同时测得建筑楼窗户处的仰角为、、、在同一直线上然后，小明沿坡度为：的斜坡从走到处，此时正好与地面平行，若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度结果精确到米，，

20.  本小题分
年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的关于进一步加强塑料污染治理的意见正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批型可降解聚乳酸吸管和一批型可降解纸吸管生产设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元，购买台型设备的费用恰好可购买台型设备．
求两种设备的价格．
市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量两种吸管总量的关系如所示以及吸管的销售成本与销售量的关系如所示．
的解析式为______；的解析式为______．
当销售量满足条件______时，该公司盈利即收入大于成本．
由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共台，其中型设备每天生产量为吨，型设备每天生产量为吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出型设备至少需要购进多少台？

21.  本小题分
如图，半圆中，，点为上一点，，点为半圆上一个动点，连接、，过点作，垂足为小明根据学习函数的经验，对线段、、的长度之间的关系进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：
设的长度为，的长度为，的长度为，对于点在半圆上的不同位置，通过画图、测量，得到了线段、、的长度的几组值，如表：

请计算，当时， ______ ；
利用表格中的数据，在如平面直角坐标系中画出中所确定的函数关于的函数图象；
观察函数图象分别写出函数、的一条性质；
当等腰三角形时：
通过计算可知： ______ ；
通过进一步探究函数图象可知：长度的近似值为______ 保留一位小数

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，，抛物线经过点，，
求抛物线的解析式；
根据图象写出不等式的解集：
点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为，当时，求点的坐标．

23.  本小题分
如图，在菱形中，，，连接，点是上的一点，连接交于点，过点作于点，连接．
当且时， ______ ， ______ ；
当时，若时求的长度；
当时，如图，分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点和，作直线，分别交，，于点，，，请你判断点的位置是否变化？若不变，求的长；若变化说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据等式的性质进行计算即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；
D、长方体的左视图是矩形，不符合题意．
故选：．
根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．
本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是同类项，不能合并，选项A不符合题意；
B.，选项B符合题意；
C.，不是同类二次根式，不能合并，选项C不符合题意；
D.，选项D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则可判断选项A，根据完全平方公式可判断选项B，根据二次根式的减法法则可判断选项C，根据同底数幂的除法法则可判断选项D．
本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，二次根式的减法以及同底数幂的除法，掌握相关的法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
故选：．
利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，再利用平行线的性质即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，余角和补角，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，点不在反比例函数的图象上，故本选项说法错误；
B、，反比例函数的图象在一、三象限，故本选项说法错误；
C、函数是反比例函数，该函数与坐标轴不可能有交点，故本选项说法正确；
D、，此函数在每一象限内随的增大而减小，故本选项说法错误．
故选：．
根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键，
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，

解得：且．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原数据的，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
新数据，，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
所以发生变化的是方差，
故选：．
依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、标准差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，恰好第一次落在线段上，如图所示：
过点作于点，
则，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
、、在坐标轴上，
，
，
，
，
又，
∽，
，
点的坐标为，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
故选：．
过点作于点，证∽，得，求出，，，，再求出，，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据图可知，
点到点时，，
点到点时，，
即，
．
点到点时，，
此时经过两个边长，即．
故选：．
利用开始为，到最大值为，也就是到达点时，即，，可求得对角线，从而求得边长，从而是两个边长为．
本题考查的是正方形中的动点问题，解题的关键是找到图中的关键点及对应的关键数．
 

11.【答案】全体实数 

【解析】解：，是一次函数，
自变量的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数．
根据函数自变量的定义和取值方法即可求解．
本题主要考查函数自变量的取值，掌握一次函数图象的特点，自变量的取值方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为，
原不等式组的整数解为，，，共个．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：正面写有“十九届六中全会”字样的卡片张，“元宇宙”字样的卡片张，若抽中“十九届六中全会”字样的卡片的概率为，
则，
解得，
经检验，是原方程的解，
的值为．
故答案为：．
正面写有“十九届六中全会”字样的卡片张，“元宇宙”字样的卡片张，若抽中“十九届六中全会”字样的卡片的概率为，则，计算即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接．

由题意得，是线段的垂直平分线，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
图象中阴影部分的面积


，
故答案为：．
连接，根据中点的性质得到，证明为等边三角形，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式、等边三角形的性质、折叠的性质是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，点为的中点，
，
当直线与直线垂直时，如图，
点关于直线的对称点为点，
，，
，
，
，
，
过作与
；
当直线与直线垂直时，如图，
将沿直线折叠，点落在点处，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
当直线与直线垂直时，如图，如图，根据对称的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
，
，，
可取，
则原式． 

【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．
 

17.【答案】     

【解析】解：人，
，
故答案为：，；
根据得出的数据补图如下：

“不合格”等级对应的圆心角的度数是，
故答案为：；
人，
答：估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数有人．
根据优秀的人数和百分比求样本容量，用总人数减去其它组的人数求即可；
根据的值和频数分布表的数据即可补全频数分布直方图；
用乘以不合格等级人数所占比例即可；
用总人数乘以样本中成绩达到良好及以上的人数所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

18.【答案】   

【解析】证明：连接．

，是斜边的中线，
．
是的直径，
，
；
解：当的度数为时，四边形为正方形，理由如下：

连接，
，，是斜边的中线，
，
是斜边的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
故答案为：；
当的度数为时，四边形为菱形，理由如下：

连接，，
是斜边的中线，
，
，
是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
同理：是等边三角形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故答案为：．
连接，由直角三角形的性质可得，由圆周角定理的推论可得，由等腰三角形的性质可得；
当的度数为时，根据正方形的判定可以证明四边形为正方形；
当的度数为时，根据菱形的判定可以证明四边形为菱形．
本题考查正方形，菱形的判定，关键是掌握正方形，菱形的判定方法．
 

19.【答案】解：过点作于，依题意知，，，，
四边形是矩形，
，
在中，米，
斜坡的坡度为：．
中，米，
米．
在中，米，
米．
答：宣传牌的高度约为米．
 

【解析】过点作于，依题意知，得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：设型设备每台的价格万元，型设备每台万元，
，解得，
答：型设备每台的价格万元，型设备每台万元；
设与的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，得，
即与的函数关系式为；
设与的函数关系式为，
，
解得，
即与的函数关系式为；
故答案为：，；
由图象可得，
当时，该公司盈利，
故答案为：；
设购进型设备台，则购进型设备台，
由题意可得，，
解得，
为正整数，
至少是，
答：型设备至少需要购进台．
根据购买台型设备和台型设备共需万元，购买台型设备的费用恰好可购买台型设备，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据函数图象中的数据，可以分别求得的解析式和的解析式；
根据函数图象中的数据，可以直接写出当销售量满足什么条件时，该公司盈利；
根据题意和图象中的数据，可以列出相应的不等式，然后再根据台数为正整数，从而可以得到型设备至少需要购进多少台．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式．
 

21.【答案】    和 

【解析】解：如图，连接，

是直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，则，
，
在中，，
故答案为：；
描点、连线，如图，即为所求，

从函数图象看，当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小答案不唯一；
等腰三角形，在等腰中，，
故答案为：；
观察函数图象可知，交点位置即为所求，即和答案不唯一，
故答案为：和答案不唯一．
连接，证明∽，推出，求得的长，再利用勾股定理即可求解；
先描点，再连线，即可得出结论；
根据中函数图象求解即可得到答案；
根据中函数图象求解即可得到答案．
本题主要考查了函数图象的画法，相似三角形的判定，利用函数图象估值等等，解题的关键在于熟练的掌握相关知识点．
 

22.【答案】解：当，，
，
，
，，
把，，代入抛物线解析式，
得，
解得，
该抛物线的解析式为：；
直线与坐标轴交于，两点，
，
解得，
；
不等式，
即，
观察函数图象可知当时的函数值大于的函数值，
不等式的解集为解集应为或；
作轴于点，交于点，作于，
如图，当在上方时，
在中，
，
，
，
在中，，
，
，
设点，则点，
，
即，
解得，
此时点的坐标为，
如图，当点在点左侧时，
同理可得，
设点，则点，
，
即，
解得，
由图象知此时点在第三象限，
，
此时点的坐标为，
如图，当点在点右侧时，
在中，
，
，
，
在中，，
，
，
设点，则点，
，
即，
解得，
由图象知此时点在第一象限，
，
此时点的坐标为，
综上，点的坐标为或或 

【解析】根据题意得出、点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；
根据的解析式由图象判断即可；
作轴于点，交于点，根据函数图象点的位置分三种情况分别计算出点的坐标即可．
本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质等是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图，作，交的延长线于点，则，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
∽，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
当时，如图，作，交的延长线于点，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，作，交的延长线于点，则，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长度为或．
点的位置不变，
如图，连接交于点，则，，
，
，
由得，
，
由作图得垂直平分，
，，
，
，
的长为．
作，交的延长线于点，由，得，再证明∽，得，则，所以；由，得，所以，由，得，则，所以；
分两种情况，一是，作，交的延长线于点，由，得，则，，因为，所以，则；二是，作，交的延长线于点，可求得，则，，因为，所以，则；
连接交于点，则，可求得，由作图可知垂直平分，所以，则，所以，可知点的位置不变，的长为．
此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．