第14讲 利用旋转的性质解决有关问题-2022-2023学年九年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第14讲 利用旋转的性质解决有关问题（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一　利用旋转的性质求角度
典例1（2022•南岗区校级二模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝6，将△ABC向右平移得到△DEF，再将△DEF绕点D逆时针旋转至点E、C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（　　）

A．1，30° B．4，30° C．2，60° D．4，60°
思路引领：由平移的性质和旋转的性质可证△DEC是等边三角形，可得DE＝EC＝CD＝4，∠EDC＝60°，即可求解．
解：∵将△ABC向右平移得到△DEF，
∴∠B＝∠DEF＝60°，AB＝DE＝4，
∵将△DEF绕点D逆时针旋转至点E、C重合，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD＝4，∠EDC＝60°，
∴BE＝2，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
针对训练1
1．（2022•雁塔区校级模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，若∠E＝65°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
思路引领：由旋转的性质可得∠C＝∠E＝65°，∠BAD＝50°，再由垂直的定义可得∠AFC＝90°，利用直角三角形两锐角互余可得∠CAF＝90°﹣∠C＝25°，即可得∠BAC＝75°．
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，
∴∠C＝∠E＝65°，∠BAD＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠C＝25°，
∴∠BAC＝∠CAF+∠BAD＝25°+50°＝75°，
故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是解答本题的关键．
类型二　利用旋转的性质或勾股定理求长度
典例2（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（　　）

A．35 B．1255 C．955 D．1655
思路引领：由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，
∴AB=AO2+BO2=42+82=45，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝45，
∵点E为BO的中点，
∴OE=12BO=12×8＝4，
∴OE＝A′O＝4，
过点O作OF⊥A′B′于F，如图，

S△A′OB′=12×45•OF=12×4×8，
解得：OF=855，
在Rt△EOF中，EF=OE2−OF2=42−(855)2=455，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×455=855，
∴B′E＝A′B′﹣A′E=45−855=1255．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
针对训练2
2．（2022春•开州区期中）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC′D＝90°，BC′=25，则线段C′D的长度为（　　）

A．5 B．2 C．4 D．2153
思路引领：过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CE＝C'E＝C'D，由勾股定理可得出答案．
解：过点B作BE⊥CC'于点E，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠C'CD＝90°，
∵∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠C'CD＝∠CBE，
又∵∠BEC＝∠CC'D，
在△BCE和△CDC'中，
∠CBE=∠C'CD∠BEC=∠CC'DBC=CD，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE＝C'D，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC＝BC'＝CD＝25，
又∵BE⊥CC'，
∴CE＝C'E＝C'D，
∵C'D2+C'C2＝CD2，
∴5C'D2＝20，
∴C'D＝2，（负值舍去），
故选C．
解题秘籍：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
3．（2022春•碑林区校级期中）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，C'D＝2，则线段BC的长度为（　　）

A．4 B．5 C．26 D．25
思路引领：过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝4，由勾股定理可得出答案．
解：过点B作BE⊥CC'于点E，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠C'CD＝90°，
∵∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠C'CD＝∠CBE，
又∵∠BEC＝∠CC'D，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE＝C'D，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC＝BC'，
又∵BE⊥CC'，
∴CE＝C'E＝C'D＝2，
∴CC'＝4，
∴CD=CC'2+C'D2=42+22=25，
∴BC＝25．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
类型三　利用旋转计算面积
典例3（2022•回民区二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为23、2、4，则正方形ABCD的面积为（　　）

A．28+83 B．14+43 C．12 D．24
思路引领：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．

∵BP＝BM=2，∠PBM＝90°，
∴PM=2PB＝2，
∵PC＝4，PA＝CM＝23，
∴PC2＝CM2+PM2，
∴∠PMC＝90°，
∵∠BPM＝∠BMP＝45°，
∴∠CMB＝∠APB＝135°，
∴∠APB+∠BPM＝180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH＝HM，
∴BH＝PH＝HM＝1，
∴AH＝23+1，
∴AB2＝AH2+BH2＝（23+1）2+12＝14+43，
∴正方形ABCD的面积为14+43，
故选：B．
解题秘籍：本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
针对训练3
4．（2022•禅城区校级二模）如图，将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（　　）

A．3 B．3 C．3−3 D．1+3
思路引领：设C'D'与AD交于M，连接BM，边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，可得AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，从而有△ABM≌△C'BM（HL），即得∠ABM＝∠C'BM＝30°，AM=AB3=1，可得S△ABM=12AB•AM=32=S△BC'M，故S阴影＝（3）2﹣S△ABM﹣S△BC'M＝3−3．
解：设C'D'与AD交于M，连接BM，如图：

∵边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30°，
∴AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，
∵BM＝BM，
∴△ABM≌△C'BM（HL），
∴∠ABM＝∠C'BM＝30°，
在Rt△ABM中，
AM=AB3=1，
∴S△ABM=12AB•AM=32=S△BC'M，
∴S阴影＝（3）2﹣S△ABM﹣S△BC'M＝3−3，
故选：C．
解题秘籍：本题考查正方形中的旋转，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
5．（2021秋•金安区校级期末）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为144，AE＝13，则DE的长为（　　）

A．23 B．13 C．4 D．5
思路引领：由旋转得△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为144，实际正方形ABCD的面积是144，进而求出正方形的边长，在直角三角形中，由勾股定理可以求出DE的长．
解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，
∴S△ADE＝S△ABF，
∵四边形AECF的面积为144，
∴正方形ABCD的面积为144，
∴正方形ABCD的边长为12，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
DE=AE2−AD2=132−122=5，
故选：D．
解题秘籍：考查旋转的性质、正方形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，将四边形AECF的面积为49转化为正方形ABCD的面积是解决问题的关键．
6．（2022•东莞市一模）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'位置，此时AC'的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AD＝3，则△AEC的面积为（　　）

A．12 B．43 C．33 D．6
思路引领：根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，根据正切的概念求出CD，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
解：由旋转的性质可知：AC＝AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD=12AC，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝30°，
∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，
∴∠EAC＝30°，
∴AE＝EC，
∴DE=12AE=12CE，
∴CE＝2DE，
CD=3AD＝33，
∴EC＝23，
∴△AEC的面积=12×EC×AD＝33，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数，三角形面积计算等知识点，清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．
类型四　利用旋转的性质解决综合问题
典例4（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC
思路引领：根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
解：A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋转的性质可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；
B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
解题秘籍：本题考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
针对训练4
7．（2022春•潼南区期中）如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°，得△ADF，连接EF，P为EF的中点，则下列结论正确的是（　　）
①AE＝AF；②EF＝2EC；③∠DAP＝∠CFE；④∠ADP＝45°；⑤PD∥AF．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤
思路引领：①根据旋转的性质推即可得AE＝AF；
②在直角△CEF中，根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”进行判断；
③、④点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，所以由圆周角定理进行证明；
⑤利用反证法．利用④的结论推知点P在对角线BD上，所以通过旋转的角度、正方形的性质来证明线段PD与AF不平行．
解：①∵△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得到△ADF，
∴△ABE≌△ADF，∠FAE＝90°，
∴AE＝AF，即△AFE是等腰直角三角形，故①正确；
②如图，连接CP．

∵△ABE绕着顶点A逆时针旋转90°得到△ADF，
∴∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ADF+∠ADC＝180°，
∴C、D、F在一条直线上，
∵∠ECF＝90°，
∴当∠CFE＝30°时，EF＝2EC．即EF不一定等于2EC．故②不正确；
③∵P为EF的中点，AE＝AF，
∴∠APF＝90°．
∵∠APF＝∠ADF＝90°，
∴点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，
∴∠DAP＝∠DFP，即∠DAP＝∠CFE，故③正确；
④∵△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝AFE＝45°．
又∵点A、P、D、F在以AF为直径的圆上，
∴∠ADP＝∠AFP，即∠ADP＝∠AFE＝45°，故④正确；
⑤如上图，连接AC、BD交于点O．
∵∠ADP＝45°，
∴点P在正方形ABCD的对角线BD上．
假设PD∥AF．
∵∠PAE＝90°，即FA⊥AE，
∴DP⊥AE．
又∵AC⊥BD，
∴AE与AC重合，这与已知图形相矛盾，
∴PD与AE不平行，故⑤错误．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质和正方形的性质，正方形的对角线平分对角，且两条对角线互相垂直，解题的关键是掌握旋转的性质．
8．（2011•珠海）如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．
（1）写出旋转角的度数；
（2）求证：∠A1AC＝∠C1．

思路引领：（1）∠CBC1即为旋转角，其中∠ABC＝120°，所以，∠CBC1＝180°﹣∠ABC；
（2）由题意知，△ABC≌△A1BC1，易证△A1AB是等边三角形，得到AA1∥BC，继而得出结论；
（1）解：∵∠ABC＝120°，
∴∠CBC1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴旋转角为60°；

（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB，∠C＝∠C1，
由（1）知，∠ABA1＝60°，
∴△A1AB是等边三角形，
∴∠BAA1＝60°，
∴∠BAA1＝∠CBC1，
∴AA1∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠A1AC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∴∠A1AC＝∠C1．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键．
9．如图，△ABC中，∠BAC＞90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B的对应点B'落在BA的延长线上，且BB'＝4BA，求AC：AB的值．

思路引领：由旋转的性质可得CB＝CB′，∠BCB′＝90°，由等腰直角三角形的性质可得CD=12AB＝BD＝B'D，由勾股定理可求AC的长，即可求解．
解：作CD⊥BB′于D，如图，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上，
∴CB＝CB′，∠BCB′＝90°，
∴△BCB′为等腰直角三角形，
∵CD⊥BB'，
∴CD=12AB＝BD＝B'D，
设AB＝x，
∵BB'＝4BA，
∴BB'＝4x，AB'＝3x，CD＝BD＝B'D＝2x，
∴AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=4x2+x2=5x，
∴AC：AB=5．

解题秘籍：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，求出AC的长是解题的关键．
第二部分 专题提优测试
1．（2021•南海区模拟）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则随着θ的增大，∠PAH的度数（　　）

A．增大 B．减小
C．不变 D．先增大后减小
思路引领：由旋转性质可得PB＝BC＝AB，由等腰三角形性质和三角形内角和定理可得∠BPC+∠BPA＝135°＝∠PAH，再由外角关系求得∠PAH度数．
解：将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴PB＝BC＝AB，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BAP＝∠BPA．
∵∠BCP+∠CBP+∠BPC＝180°，∠PAB+∠ABP+∠BPA＝180°且∠ABP+∠CBP＝90°．
∴∠BPC+∠BPA=12×（360°﹣90°）＝135°，
即∠CPA＝135°，
∴∠PAH＝∠CPA﹣90°＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数为定值．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，灵活运用这些知识是解题关键．
2．（2021秋•义马市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AEF，EF交AC于点D．若AD＝22，则△ABC的周长是多少？

思路引领：由直角三角形的性质可求∠BAC＝60°，AC＝2AB，BC=3AB，由旋转的性质可得∠BAE＝15°，AB＝AE，可证△AED是等腰直角三角形．可得AE＝AB＝2，即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝2AB，BC=3AB，
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AEF，
∴∠BAE＝15°，AB＝AE，
∴∠EAD＝45°，
∴△AED是等腰直角三角形．
∵AD=22，
∴AE＝DE＝2，
∴AB＝2，
∴AC＝4，BC＝23，
∴△ABC的周长=2+4+23=6+23．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（2022春•双流区校级期中）如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转110°，得到△AB'C′（点B、C的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（　　）

A．45° B．60° C．70° D．75°
思路引领：由△ABC逆时针旋转110°，得到△AB'C′，可得∠BAB'＝110°＝∠CAC'，AB＝AB'，即得∠AB'B＝∠ABB'＝35°，而AC'∥BB'，得∠C'AB'＝∠AB'B＝35°，从而∠CAB'＝∠CAC'﹣∠C'AB'＝75°．
解：∵△ABC逆时针旋转110°，得到△AB'C′，
∴∠BAB'＝110°＝∠CAC'，AB＝AB'，
∴∠AB'B＝∠ABB'＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
∵AC'∥BB'，
∴∠C'AB'＝∠AB'B＝35°，
∴∠CAB'＝∠CAC'﹣∠C'AB'＝110°﹣35°＝75°，
故选：D．
解题秘籍：本题考查三角形中的旋转变换，涉及平行线的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
4．（2022•南明区模拟）如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝50°，点D在AC边上，AD＝2CD，线段AD绕着点D逆时针旋转α（0°＜α＜180°）后，如果点A恰好落在Rt△ABC的边上，那么α的度数是（　　）

A．50°或120° B．50°或60° C．80°或60° D．80°或120°
思路引领：由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案．
解：如图，在线段AB取一点A′，使DA＝DA′，在线段BC取一点A″，使DA＝DA″，

∴①旋转角m＝∠ADA′＝180﹣∠DA′A﹣∠A＝180°﹣2∠A＝80°，
②在Rt△A″CD中，
∵DA″＝DA＝2CD，
∴∠CDA″＝60°，
旋转角∠ADA″＝180°﹣∠CDA″＝120°．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质．关键是将图形的旋转转化为点的旋转，求旋转角．
5．（2022•昭化区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC=32，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接CQ，则线段CQ长度的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．32 D．322
思路引领：在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝32，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠CAQ＝∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，AC＝32，
∴AB＝62，
∵AE＝AC＝32，
∴BE＝AB﹣AE＝32，
在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝32，
∴EF=12BE=322，
故线段CQ长度最小值是322，
故选：D．

解题秘籍：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
6．（2022•定安县一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为(1，3)，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．23
思路引领：证明△OAA′是等边三角形，可得结论．
解：∵A（1，3），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB=3，
∴tan∠AOB=ABOB=3，
∴∠AOB＝60°，
由旋转的性质可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°，
∵OA＝OA′，
∴△ABC是等边三角形，
∴AA′＝OA＝2OB＝2，
故选：B．
解题秘籍：本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的判定，解直角三角形等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2022春•宝山区校级月考）如图正方形ABCD和正方形EFGH全等，把点A固定在正方形EFGH的中心，当正方形ABCD绕点A转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（　　）

A．15 B．25 C．14 D．12
思路引领：如图，AD与EH交于M，AB与GH交于N，连接AH，AG，根据正方形的性质得AG＝AH，∠HAG＝90°，∠AHM＝∠AGN＝45°，再利用等角的余角相等得到∠HAM＝∠GAN，则可根据“ASA”判断△HAM≌△GAN，即S△HAM＝S△ANG，原式得到S四边形AMHN=14S正方形EFGH，然后根据正方形的面积公式求解．
解：如图，AD与EH交于M，AB与GH交于N，连接AH，AG，

∵点A为正方形EFGH的中心，
∴AG＝AH，∠HAG＝90°，∠AHM＝∠AGN＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠HAM＝∠GAN，
在△HAM和△GAN中，
∠HAM=∠GANAH=AG∠AHM=∠AGN，
∴△HAM≌△GAN（ASA），
∴S△HAM＝S△GAN，
∴S四边形AMHN＝S△HAM+S△AHN＝S△AHN+S△ANG＝S△AGH=14S正方形EFGH=14．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
8．（2021秋•山阴县期末）如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠A＝60°，点O是对角线BD的中点．如图在点O处放置一个含60°角的三角板OMN，把这个三角板绕点O旋转，斜边ON与边AD交于点F，直角边OM与边DC交于点E，若∠MON＝60°，则四边形OEDF的面积是（　　）

A．随着三角板OMN的位置的变化而变化
B．163
C．83
D．43
思路引领：过点O作OG∥BC于G．则△FDO≌△EGO，所以S△FDO＝S△EGO，因S四边形OEDF＝S△FDO+S△DOE＝S△EGO+S△DOE＝S△OOG，据此解答即可．
解：过点O作OG∥BC于G．
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴∠C＝60°，∠ABC＝120°，∠DBC＝∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠DOG＝∠DGO＝60°，
∴ODG＝60°，
∴OD＝OG＝DG，
∵∠EOF＝60°，
∴∠EOF＝∠DOG，
∴∠FOD＝∠EOG，
∵OD＝OG，∠FDO＝∠EGO＝60°，
∴△FDO≌△EGO（ASA），
∴S△FDO＝S△EGO，
∴S四边形OEDF＝S△FDO+S△DOE
＝S△EGO+S△DOE
＝S△OOG
=12×(82)2sin60°
＝43．
故选：D．

解题秘籍：本题考查了菱形的性质，正确运用菱形的性质和全等三角形的性质是解题的关键．
9．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．3 B．1 C．3 D．32
思路引领：先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠B＝60°，AC=3BC＝2×3=23，AB＝2BC＝4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC＝CD=12AB＝2，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∴∠DCF＝30°，∠DFC＝90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD=12AB＝2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=12BC=12×2＝1，CF=12AC=12×23=3，
∴S阴影=12DF×CF=12×1×3=32，
故选：D．

解题秘籍：本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
10．（2022•郑州二模）如图，将▱ABCD绕点A顺时针旋转，其中点B，C，D分别落在点E，F，G处，且点B，E，D，F在同一直线上．若∠CBA＝115°，则∠CBD的度数为 　 　．

思路引领：由旋转的性质得出AB＝AE，∠AEF＝∠CBA＝115°，由等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE＝65°，即可得出答案．
解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，
∴AB＝AE，∠AEF＝∠CBA＝115°，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABE＝115°﹣65°＝50°；
故答案为：50°．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
11．（2022春•青羊区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B按顺时针方向旋转后与Rt△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数是 　 　．

思路引领：先根据∠CAB＝50°，求出∠ABC，再结合图形，由旋转的性质确定∠ABE的度数，然后根据等腰三角形的性质得出答案即可．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣50°＝40°，
∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转后与Rt△EBD重合，
∴旋转中心是点B，旋转角是40°，BE＝BA，
∴∠BAE=12(180°−40°)=70°，
故答案为：70°．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键．
12．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝　 　°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 　 　．

思路引领：第一个问题证明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠DBC＝∠EAC＝20°，可得∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．第二个问题，如图1中，设BE交AC于点T．证明∠BCT＝∠AFT＝60°，推出点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，求出AE，EF可得结论．
解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形，
∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
CB=CA∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC＝20°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．
如图1中，设BE交AC于点T．

同法可证△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵∠BTC＝∠ATF，∴∠BCT＝∠AFT＝60°，
∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，
∴BD=BC2−CD2=52−32=4，
∴AE＝BD＝4，∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵CD＝CE，CF＝CF，
∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL），
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，∴EF =3，
∴AF的最小值＝AE﹣EF＝4−3，
故答案为：80，4−3．
解题秘籍：本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．（2022•丽江二模）已知矩形ABCD的两边长分别为6和8，点O是矩形对角线的交点．绕点C旋转CO，当点B、O、C三点共线（在一条直线上）时，OA的长度是 　．
思路引领：当AB＝6，BC＝8时，由勾股定理可得AC=62+82=10，则OC＝5，若点O落在线段BC上，O'B＝8﹣5＝3，则AO'=AB2+BO'2=35；当点O落在线段BC的延长线上时，BO''＝8+5＝13，则AO''=AB2+BO″2=205；当AB＝8，BC＝6时，由勾股定理可得AC=62+82=10，则OC＝5，若点O落在线段BC上，O'B＝6﹣5＝1，则AO'=AB2+BO'2=65；当点O落在线段BC的延长线上时，BO''＝6+5＝11，则AO''=AB2+BO″2=185．
解：当AB＝6，BC＝8时，

由勾股定理可得AC=62+82=10，
∴OC＝5，
若点O落在线段BC上，O'B＝8﹣5＝3，
∴AO'=AB2+BO'2=35；
当点O落在线段BC的延长线上时，BO''＝8+5＝13，
∴AO''=AB2+BO″2=205；
当AB＝8，BC＝6时，

由勾股定理可得AC=62+82=10，
∴OC＝5，
若点O落在线段BC上，O'B＝6﹣5＝1，
∴AO'=AB2+BO'2=65；
当点O落在线段BC的延长线上时，BO''＝6+5＝11，
∴AO''=AB2+BO″2=185．
故答案为：35或205或65或185．
解题秘籍：本题考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
14．（2022•洛阳一模）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠B＝60°，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为 　 　．

思路引领：在BC上取点P，使BP＝AB，作射线PF交AD于点M，过点D作DH⊥PF于H，证明△BAE≌△PAF（SAS），得∠ABE＝∠APF＝60°，∠BPM＝∠APB+∠APF＝120°，可得△APM是等边三角形，即得AM＝6，DM＝4，由DH⊥PM，∠DMH＝∠AMP＝60°，可得DH＝DM•sin60°＝2，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的值最小，最小值为23．
解：在BC上取点P，使BP＝AB，作射线PF交AD于点M，过点D作DH⊥PF于H，如图：

∵AB＝BP，∠B＝60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝AP，∠BAP＝60°，
∵线段AE逆时针旋转60°得到AF，
∴∠EAF＝60°，AE＝AF，
∴∠BAE＝∠PAF，
在△BAE和△PAF中，
AB=AP∠BAE=∠PAFAE=AF，
∴△BAE≌△PAF（SAS），
∴∠ABE＝∠APF＝60°，
∴∠BPM＝∠APB+∠APF＝120°，
∵AM∥BP，
∴∠AMP＝180°﹣120°＝60°，
∴△APM是等边三角形，
∴AM＝AP，
∵AB＝AP＝6，
∴AM＝6，
∴点F在射线PM上运动，
∵BC＝10，
∴DM＝AD﹣AM＝BC﹣AM＝4，
∵DH⊥PM，∠DMH＝∠AMP＝60°，
∴DH＝DM•sin60°＝4×32=2，
根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的值最小，最小值为23，
故答案为：23．
解题秘籍：本题考查平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点F的在射线PM上运动，属于中考填空题中的压轴题．
15．（2022•新城区校级一模）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝6，CD＝4，当BD长最大时，△ABC的面积为 　 　．

思路引领：以CD为边作等边△DCE，连接AE．利用全等三角形的性质证明BD＝AE，利用三角形的三边关系，可得BD的最大值为10，利用直角三角形的性质和勾股定理可求AB2，即可求解．
解：如图1，以CD为边作等边△DCE，连接AE．

∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
BC−AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
∵AE≤AD+DE，
当A、D、E三点共线时，AE＝AD+DE＝10，其值最大，
∴AE的最大值为10，
∴BD的最大值为10，
过点A作AF⊥BD于F，如下图，

∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠ADF＝60°，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF＝30°，
∴DF=12AD＝3，AF=3DF＝33，
∴BF＝10﹣3＝7，
∴AB2＝AF2+BF2＝76，
∴△ABC的面积=34AB2＝193，
故答案为：193．
解题秘籍：本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝6 cm，点P为边AD上一个动点，连接CP，点P绕点C顺时针旋转90°得到点P'，连接CP'并延长到点E，使CE＝2CP'，以CP、CE为邻边作矩形PCEF，连接DE、DF，则△DEF和△DCE面积之和的最小值为 　 ．

思路引领：如图，过点D作DH⊥PC于H．设PD＝x．构建二次函数解决问题即可．
解：如图，过点D作DH⊥PC于H．设PD＝x．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3（cm），∠PDC＝90°，
∴PC=DP2+CD2=9+x2（cm），
∵DH⊥PC，
∴DH=3x9+x2，CH=CD2−DH2=9−9x29+x2=39+x2，
∵四边形PCEF是矩形，
∴EF＝PC=9+x2，
∵EC＝2PC＝29+x2，
∴S△EDF+S△ECD=12•9+x2（29+x2−3x9+x2）+12×29+x2×39+x2=x2−32x+12＝（x−34）2+18316，
∵a＝1＞0，
∴S△EDF+S△ECD的最小值为18316（cm2），
故答案为：18316cm2．
解题秘籍：本题考查矩形的性质，旋转变换，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（2022•工业园区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．将△ABC绕点A旋转得△AB'C'，连接B'C，则△B'CB面积的最大值为 　 　．

思路引领：要使△B'CB面积的最大，由于BC＝4为定值，只有BC边上的高最大，故当点A、C、B'共线时，△B'CB面积的最大，从而解决问题．
解：要使△B'CB面积的最大，由于BC＝4为定值，只有BC边上的高最大，故当点A、C、B'共线时，△B'CB面积的最大，
∵将△ABC绕点A旋转得△AB'C'，
∴AB'＝AB＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC=52−42=3，
∴△B'CB面积的最大值为12×4×8＝16，
故答案为：16．
解题秘籍：本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确当A、C、B'共线时，△B'CB面积的最大是解题的关键．
18．（2022春•永丰县期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转110°，得到△DBE，连接AD，CE．
（1）求证：△ABD≌△CBE．
（2）求∠ACE的度数．

思路引领：（1）利用“SAS”可证△ABD≌△CBE．
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝35°，∠ACB＝70°，即可求解．
（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转110°，
∴∠ABC＝∠DBE，∠ABD＝∠CBE，AB＝BC＝BD＝BE，
在△ABD与△CBE中，
BA=BC∠ABD=∠CBEBD=BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝110°，BA＝BC＝BD＝BE，
∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝35°．
∵AB＝BC，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝70°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝105°．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．（2022春•南城县期中）如图，两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝16cm．
（1）求∠BCE的度数；
（2）求CF的长度．

思路引领：（1）由旋转的性质可得∠BCE＝∠ACD，AC＝CD，∠BAC＝∠D＝60°，可证△ACD是等边三角形，可求解；
（2）由直角三角形的性质可求解．
解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝16cm．
∴AC＝8cm，BC＝83cm，∠BAC＝60°，
由旋转可得：∠BCE＝∠ACD，AC＝CD，∠BAC＝∠D＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°；
（2）∵∠BCF＝60°，∠ABC＝30°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF=12BC＝43cm．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
20．（2022春•阜宁县期中）已知：四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 　 　点，按顺时针方向旋转 　 　度得到；
（3）若BC＝5，DE＝2，求△AEF的面积．

思路引领：（1）根据正方形的性质得AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）由图形直接可得；
（3）先利用勾股定理可计算出AE=29，再根据旋转的性质得到AE＝AF，∠EAF＝90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°
在△ADE和△ABF中，
AB=AD∠ABF=∠ADEBF=DE，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转 90度得到，
故答案为：A，90；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝5，
又∵DE＝3，
∴AE=AD2+DE2=29，
由旋转性质得：
∴AE＝AF=29，∠EAF＝90°，
∴△AEF的面积=12AE2=12×29=292．
答：△AEF的面积为292．
解题秘籍：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，证明△ADE≌△ABF．