【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第18讲 八种构造法求通项公式（二）

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第四章 数列
第18讲 八种构造法求通项(二)
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课程标准
重难点
1.掌握求数列的常见的几种方法；
2.掌握常见的构造法的应用
1.八种构造的适用条件及应用

知识精讲

知识点01 构造法求通项公式
◆构造四:同型构造法
所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.
模型一:,构造,则,为常数数列.
模型二:,构造,则,为常数数列.
模型三:,构造,则,为常数数列.
模型四:,构造,则,为等比数列.
模型五:,构造,则,为等比数列.
模型六:,构造,则,为等差数列.
模型七:,构造,则,为等差数列.
模型八:,构造,则,为等差数列.
看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将和,和等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.

【即学即练1】已知数列满足,求.
【解析】
因为,所以令,则,即是常数数列,所以,即.

【即学即练2】已知数列中,且,求数列的通项公式.
【解析】
因为,所以令,则,即是常数数列,所以因此

【即学即练3】已知数列中,且,求数列的通项公式.
【解析】
,等式两侧同除,形成,令,则,这又回到了构造一的形式,所以,是以2为首项,2为公比的等差数列,即, ,所以,.

【即学即练4】已知,且,求数列的通项公式.
【解析】
等式两侧同除,得,即,,另，所以,接下来就是叠加法发挥作用的时候了



……

叠加得,,所以，即，.

◆构造五:取倒数构造等差
类型一:数列满足:,则有.
所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).
类型二:数列满足:,则有.
所以是等差数列.
类型三:若数列的前项和为,且满足,则有,两边同除以得:,故是以为首项,为公差的等差数列,即 ,再用,求.

【即学即练5】在数列中,若,则___________.
【解析】
取倒数得:,即所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以.

【即学即练6】已知数列的前项和为,且满足.
(1)求证:是等差数列.
(2)求的表达式.
【解析】
(1)因为 ,所以,两边同除以得:,故是以为首项,2为公差的等差数列,即,所以.
(2).

【即学即练7】已知数列的首项,证明:数列是等比数列并求的通项公式.
【解析】
因为,所以,所以是以 为首项,为公比的等比数列,所以.

◆构造六:取对数构造法
型如,或者为常数.
针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.

【即学即练8】数列中, ,,求数列的通项公式.
【解析】
取以为底的对数(不能取为底,因为,不能作为对数的底数),得到,,设,则有,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,.

【即学即练9】数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
取以为底的对数(这里知道为什么不能取为底数的对数了吧),得到,,设,则有,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,,.

【即学即练10】已知,点在函数的图像上,其中,求数列的通项公式.
【解析】
将代入函数得,,即
两边同时取以3为底的对数,得(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为,,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以是以1为首项,2为公比的等比数列,即,,.

【即学即练11】在数列中, ,当时,有,求数列的通项公式.
【解析】
由,得,即,两边同取以3为底的对数,得,即,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,,即.

◆构造七:二阶整体构造等比
简单的二阶整体等比:关于的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为,利用成等比数列,以及叠加法求出.还有一小部分题型可转化为,利用成等比数列求出.

【即学即练12】已知数列满足,求数列的通项公式.
【解析】
由,故是以为首项,2为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加得:,所以.

【即学即练13】已知数列中,,,,求数列的通项公式。
【解析】
由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加,利用等比数列求和得:,.


【即学即练14】数列中,,,,求数列的通项公式。
【解析】
由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法,全部相加,利用等比数列求和得:,.
此方法可以解决大多数的,模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.

【即学即练15】已知数列满足,,,求数列的通项公式.
【解析】
看到这道例题,当我们希望通过构造为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得,所以构造为首项为2,公比为2的等比数列,所以,即,这就回到了熟悉的型.下面的操作就看你们的了.

【即学即练16】已知数列满足,,,求的通项公式.
【解析】
通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得或,我们发现解出两组结果,没关系,都是成立的,可以构造首项为,公比为的等比数列或构造为首项为1,公比为2的等比数列.我们都来尝试下.
构造一: ,即,这就回到了熟悉的型,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.
构造二: ,即 ,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.

秒杀求法:
类通项公式暴力秒杀求法
对应的特征方程为:,设其两根为
当时,
当时,
其中,的值的求法,用的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可
【即学即练17】已知数列满足,,,求的通项公式.
【解析】
,对应的特征方程为:,解得两根为,,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即
,解得,代入化简得.

【即学即练18】已知数列满足,,,求数列的通项公式.
【解析】
,对应的特征方程为:,解得两根为,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即
解得,代入化简得.


◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)
针对这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.
对于函数,若存在实数,使得,则称是函数的不动点.
在几何上，曲线与曲线的交点的横坐标即为函数的不动点.
一般地,数列的递推式可以由公式给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列,若其递推式为,且存在实数,使得,则称是数列的不动点。
数列的不动点有什么性质呢? 若从某一项开始,数列的取值即为,也即,则 ,以此类推,根据数学归纳法, 可以得到当 时,,也即数列在之后“不动”了.
这就为我们求数列的不动点提供一个思路,当数列达到不动点,之后的每一项都相等,所以在给定等式中,令数列当中的每一项都等于,最后解方程即可.
接下来我们来看分式递推数列,这也是不动点法主要应用的范围.所谓分式递推数列是指以下类型：若数列满足,其中,,,是给定的实数,求数列的通项公式。
这时候要求它的不动点,考虑方程,得到了一个二次方程,我们从几个例子出发：
【即学即练19】设数列满足,求数列的通项公式。
【解析】
根据数列不动点得性质,令,方程,故1是数列的不动点,尝试在递推式两边同时减去1,得到.
注意到左右两边分别出现了和这样相似的结构,并且都是在分母,我们可以尝试构造新数列,当然也可以直接变形：

也即,因此数列是首项为1,公差为的等差数列,累加得 ,因此.

【即学即练20】设数列满足,求数列的通项公式。
【解析】
根据数列不动点得性质,令,同样地,考虑方程,这时候数列有两个不动点1和2,分别在递推式两边減去1和2后,可以得到：

.
两式相除得,因此数列是首项为2,公比为的等比数列,累乘得 ,因此.
【即学即练21】已知,且,求的通项公式.
【解析】
考虑方程,故1和是数列的不动点,根据上面的思路,尝试在递推式两边同时减去1和,分别得到：
.

两式相除得,因此数列是首项为,公比为的等比数列,累乘得 ,因此.


总结:
形如的递推数列,首先令,解出数列的不动点.
处理时也可以分两种情况:
(1)若其有一个不动点,则是等差数列;
(2)若其有两个不动点,则是等比数列。







能力拓展

◆ 构造法求通项:同型构造法型
【典例1】已知数列满足,则
A. 28 B. C. D.
【答案】B
【解析】
数列满足,
,
则:(常数)
则：数列是以为首项,3为公差的等差数列。
所以：,
所以：
则:
故选：B
【典例2】已知是首项为1的正项数列,且,则它的通项公式是______________.
【解析】
已知等式可转化为因为,所以,所以令,则,即是常数数列,所以,即,因此.
评注:
本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.
【典例3】已知数列满足,求数列的通项公式.
【解析】
将等式两边同时除以得,,所以是以为首项,3为公差的等差数列,即,所以.
【典例4】已知数列满足,,求数列的通项公式.
【解析】
等式两侧同除,得,即 ,另，所以,接下来依旧是叠加法


……

叠加得,,,即,,当时,代入题干原式得,经检验可以合并,.
【典例5】已知数列前项的和为,且满足.
(1)求的值;
(2)求的通项公式.
【解析】
(1)当时,因为,所以.
当时,因为,所以.
(2) ,所以当时,所以,即
所以令,则,即是常数数列,所以因此.

◆ 构造法求通项:取倒数构造等差法
【典例6】设是数列的前项和,且,则
A. B. C. D.
【答案】
【解析】



是首项为,公差为-1的等差数列

综上所述，答案选择:
【典例7】已知中,,则_______.
【答案】
【解析】
数列是首项为,公差为的等差数列, , .

【典例8】已知数列,求的通项公式.
【答案】
【解析】由已知得,则,即.所以数列 是以为公差的等差数列.所以,即.

◆ 构造法求通项:二阶整体构造等比型
【典例9】在数列中,,则_______.
【答案】
【解析】
,
, 即,
数列是首项为1,公比为2的等比数列,
, 由累加法可得,

,

【典例10】设数列的前项和为.已知,且当时, .
(1)求的值；
(2)证明：为等比数列 ;
(3)求数列的通项公式.
【答案】
【解析】当时,,即
解得:;
(2)证明:

即,


数列是以为首项,公比为的等比数列;
(3)由(2)知,是以为首项,公比为的等比数列,

即,
是以为首项,4为公差的等差数列,,即
数列的通项公式是
【典例11】数列满足.
(1)设,证明是等差数列;
(2)求的通项公式.
【答案】
【解析】
(1)证明:,,
又,
数列是以1为首项、2为公差的等差数列,
即数列是等差数列;
(2)由(1)可知
,
,

,
累加得,



,

数列的通项公式.










分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．若数列满足，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题设，，而，所以，则.故选：A
2．已知数列满足：，，则(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，，即，故，
又因为，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
从而，解得.
故选：C.
3．已知数列中，，，则数列的通项公式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，可得，即.
又，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，
所以.
故选：.
4．已知数列的前项和为，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为，所以，又，
所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，
则数列也是等比数列，公比为，首项为3．
所以．
故选：A．
5．在数列中，，，则的值为(       )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】
∵，，∴，解得.
∵，∴，两式相减得，，
∴，
∴是以＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴，两边同除以，则，
∴是以为公差，为首项的等差数列，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
6．已知数列满足，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由可得，
若，则，与题中条件矛盾，故，
所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以
，所以，
故选：A．

二、填空题
7．已知数列满足，且，则数列__________
【答案】
【解析】
解：由两边取倒数可得，即
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，
所以；故答案为：
8．数列满足，且，则___________.
【答案】
【解析】
因为，所以，
式子两端除以，整理得：，
即为常数列.
因为，所以，
所以，所以.
故答案为：.
9．在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为______．
【答案】##
【解析】
解：由，得．
又，，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以，
因为符合上式，所以.
故答案为：
10．已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.
【答案】
【解析】
因为，
所以，
因此，
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当时，
，，，，，
以上各式累加可得：

，
因为，
所以；
又符合上式，所以.
故答案为：.

三、解答题
11．已知正项数列满足，且
(1)求正项数列的通项公式；
(2)求和．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由可变形为： ∴ ．
∵∴数列是首项为2，公差为1的等差数列．
，∴．
(2)

12．已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)数列中，，由，可得
又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，
则数列的通项公式为
(2)由（1）知，则
则数列的前n项和
由，可得，即．




题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知数列满足，，则数列的前100项的和是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，且，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，
即，

.
故选：A
2．已知数列满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，所以两边取倒数得
，则，所以数列为等比数列，
则，所以，
故.
故选：C.
3．已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
解：因为，所以，所以，又，
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．
所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；
故选：C
4．已知数列满足，则满足的的最大取值为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
因为，两边取倒数，得，
整理为：，，
所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，
，，
因为，即，得，
解得：，,
所以的最大值是7.
故选：B
5．数列满足，，则下列结论错误的是（       ）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】D
【解析】
由，且，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，，所以，且，
所以，数列是等差数列，且该数列的首项为，公差为，
所以，，则，其中，C对；
，所以，数列是等比数列，B对；
由等差中项的性质可得，A对；
由上可知，则，，
所以，，D错.
故选：D.
6．已知数列满足，且，，其前n项和为，若对任意的正整数n，恒成立，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由得，
数列是以为首项，2为公比的等比数列，
，
当时，，，，，
将以上各式累加得，
，当时，也满足，
，
由，得，
，即，
，．
故m的取值范围是．
故选：C．
二、填空题
7．已知数列满足，则数列的前项和为______．
【答案】
【解析】
解：因为，
所以，即，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，则，
令数列的前项和为，
则
故答案为：
8．已知数列满足：，（N+），由、、归纳出数列的通项公式是__________.
【答案】
【解析】
，，，
，
由此归纳出数列的通项公式，
以下证明：
由，得，所以，
又，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以数列的通项公式．
故答案为：.
9．在数列中，，，且满足，则___________.
【答案】
【解析】
解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以

所以
故答案为：
10．已知数列满足，且，则的通项公式______________.
【答案】
【解析】
解：由,得，则，
由得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
当时，
，
所以，
当时，也适合上式，
所以，
故答案为：.

三、解答题
11．已知数列的通项公式为，
(1)求数列的通项公式.
(2)若，求满足条件的最大整数值.
【答案】(1) (2)99
【解析】
(1)解：因为，
所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以；
(2)解：由（1）可得，
则，
由，则，
因为函数是增函数，
且当时，，
当时，，
所以满足的最大正整数的值为99.
12．已知是数列的前项，.
(1)设，求数列与的通项公式.
(2)证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】
(1)当时，，
，即，
，
，
由条件知，
是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，
，
，
，
是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，，即.
(2)由（1）得，，
，
两式相减得，，
，
解得，
所以，.




题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．已知数列，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由可得，
，根据递推公式可得出，，，
进而可知，对任意的，，
在等式两边取对数可得，
令，则，可得，则，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
，
即.
故选：B.
2．已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，）.则（       ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【解析】
由题设，，，
故是首项为4，公差为2的等差数列，则，
则，
所以，故，又，
当时，当时，
所以2021.
故选：D

二、解答题
3．已知数列中，，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
(1)由，可得，即
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
(2)不等式对于恒成立
即对于恒成立
即对于恒成立
设，
由
当时，，即
即
当时，，即
即
所以最大，
所以，故的最小值为