高考 第5讲 用构造辅助数列通项公式

第5讲   用构造辅助数列通项公式

考点一　由an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)求an型

递推关系形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0，A，B为常数)可化为an＋1＋＝A(p≠1)的形式，利用是以A为公比的等比数列求解．

对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．

若f(x)＝Ax＋B(A≠0，1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝A(an－p)，即{an－p}是公比为A的等比数列．

[典例 1]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，

∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，

又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1．

(迭代法)an＋1＝3an＋2，

即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，

所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，

故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1．

[典例 2]　已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线3x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线3x－y＋1＝0上，

所以3an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝3an＋1，所以an＋1＋＝3，

所以数列是公比为3的等比数列，首项为a1＋＝3＋＝，

所以an＋＝·3n－1，所以an＝·3n－1－．

[典例 3]　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

设f(x)＝x＋1，令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2，∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不动点

∴an＋1－2＝(an－2)，∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列，

∴an－2＝－1×n－1，∴an＝2－n－1，n∈N*．

[典例 4]　已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

设f(x)＝－x－2，由f(x)＝x，得x＝－．∴an＋1＋＝－，

又a1＝4，∴是以为首项，以－为公比的等比数列，

∴an＋＝×n－1，∴an＝－＋·n－1，n∈N*．

【典例精练】

1．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________．

解析：　

设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，

即an＋1＝2an＋t，解得t＝3．故an＋1＋3＝2(an＋3)．

令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2．

所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．

∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3．

2．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝________．

解析：　

由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，

∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1．

3．已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，

所以4an－an＋1＋1＝0．所以an＋1＋＝4．

因为a1＝3，所以a1＋＝．

故数列是首项为，公比为4的等比数列．

所以an＋＝×4n－1，故数列{an}的通项公式为an＝×4n－1－．

考点二　由an＋1＝pan＋f(n)求an型

递推关系形如an＋1＝pan＋f(n)(p是非零常数)的数列{an}的通项公式，可先在两边同除以f(n)后再用累加法求得．

[典例 5]　在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，则通项公式an＝________．

解析：　

将式子an＋1＝2an＋2n＋1两边同除以2n＋1得，＝＋1，

所以是首项、公差均为1的等差数列，所以＝n，an＝n·2n．

[典例 6]　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则通项公式an＝________．

解析：　

由题意得an＝an－1＋n(n≥2)，∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即3nan－3n－1an－1＝1(n≥2)．

又a1＝1，∴31·a1＝3，∴数列{3nan}是以3为首项，1为公差的等差数列，

∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴an＝(n∈N*)．

[典例 7]　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列，则an＝________．

解析：　

由a1，a2＋5，a3成等差数列可得a1＋a3＝2a2＋10，

由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得2a1＋2a2＝a3－7，即2a2＝a3－7－2a1，

代入a1＋a3＝2a2＋10，得a1＝1，代入2S1＝a2－22＋1，得a2＝5．

2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，

两式相减，得2an＝an＋1－an－2n，即an＋1＝3an＋2n，

当n＝1时，5＝3×1＋21也适合an＋1＝3an＋2n，

所以对任意正整数n，an＋1＝3an＋2n．

上式两端同时除以2n＋1，得＝·＋，两端同时加1，

得＋1＝·＋＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以＋1＝n，所以＝n－1，所以an＝3n－2n．

【典例精练】

1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．

解析：　

an＋1－2an＝2n两边同除以2n＋1，可得－＝，又＝，

∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝n·2n－1．

2．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an－，则其通项公式an＝________．

解析：　

由an＋1＝an－得2nan＋1＝2n－1an－1，

令bn＝2n－1an，则bn＋1－bn＝－1，又a1＝1，

∴b1＝1，∴bn＝1＋(n－1)×(－1)＝－n＋2．即2n－1an＝－n＋2，∴an＝．

3．已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：　

∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，∴－＝1．

∴{}为首项是2，公差为1的等差数列，

∴＝n＋1，∴当n≥2时，an＝．

∵a1＝也符合上式，∴an＝(n∈N*)．

考点三　由an＋2＝pan＋1＋qan求an型

递推关系形如an＋2＝pan＋1＋qan型，可化为an＋2＋xan＋1＝(p＋x)，令x＝，求得x来解决．

[典例 8]　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：　

由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，

∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，

∴an＋1－an＝3×2n－1，

∴当n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，

将以上各式累加，得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，

∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足)．

【典例精练】

1．若a1＝5，a2＝2，an＋2＝2an＋1＋3an，则an＝________．

解析：　

设an＋2＋xan＋1＝(2＋x)an＋1＋3an(x≠－2，x是待定系数)，

即an＋2＋xan＋1＝(2＋x)，

令x＝，解得x＝－3或1．

当x＝－3时，得an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，

所以{an＋1－3an}是首项为－13、公比为－1的等比数列，得an＋1－3an＝－13·(－1)n－1．

当x＝1时，同理可得an＋1＋an＝7·3n－1，

解关于an＋1，an的方程组可得an＝．

考点四　由an＋1＝求an型

递推关系形如an＋1＝型可取倒数，构造新数列求解．

对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．

设f(x)＝(c≠0，AD－BC≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·．

[典例 9]　已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：　

∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，

又a1＝2，则＝，∴是以为首项，为公差的等差数列．

∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝．

[典例 10]　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，

所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，

所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，

所以＝，所以an＝．

[典例 11]　已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

由方程x＝，得数列{an}的不动点为1和2，

＝＝＝·，

所以是首项为＝2，公比为的等比数列，

所以＝2·n－1，解得an＝＋2＝，n∈N*．

[典例 12]　已知数列{an}满足a1＝2，an＝(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

解方程x＝，化简得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1，

令＝c·，由a1＝2，得a2＝，可得c＝－，

∴数列是以＝为首项，以－为公比的等比数列，

∴＝·n－1，∴an＝．

[典例 13]　设数列{an}满足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N*)，且a1＝1，记bn＝(n≥1)．则数列{bn}的通项公式为________．

解析：　

由已知得an＋1＝，由方程x＝，得不动点x1＝，x2＝．

所以＝＝·，

所以数列是首项为－2，公比为的等比数列，

所以＝－2×n－1＝－，解得an＝．故bn＝＝，n∈N*．

【典例精练】

1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，所以＝＋，即－＝．

又因为a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列．

所以＝＋(n－1)×＝＋．所以an＝．

2．若a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：　

对an＋1＝两边取倒数，得＝＋3，

所以数列是首项为＝1，公差为3的等差数列，

所以＝3n－2，an＝．

3．若a1＝5，an＋1＝，则an＝________．

解析：　

令an＝bn＋p，得bn＋1＋p＝bn＋1＝－p＝

令4p－4－p2＝0，得p＝2，所以b1＝3，bn＋1＝，

两边取倒数，＝1＋，为首项为＝，公差为1的等差数列，

可求得bn＝，所以an＝．

考点五　由其他形式的递推公式求an型

对递推公式进行合理的变形，然后转化为等差数列或等比数列

[典例 14]　数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0，n∈N*)，则an＝(　　)

A．10n－2　　　　　　　B．10n－1　　　　　　　　C．102n－1 　　　　　　　　D．22n－1

解析：　

因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an＞0，n∈N*)，

所以log2an＋1＝2log2an，即＝2．又a1＝2，所以log2a1＝log22＝1．

故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列．

所以log2an＝2n－1，即an＝22n－1．故选D．

[典例 15]　已知各项都为正数的数列{an}满足：a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，则数列an的通项公式为________．

解析：　

∵a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，∴(an－2an＋1)(an＋1)＝0．

又∵数列{an}的各项都是正数，∴an－2an＋1＝0，即＝．

∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝．

[典例 16]　(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

解析：　

(1)由题意得a2＝，a3＝．

(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得，2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．

因为{an}的各项都为正数，所以＝．

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝．

【典例精练】

1．已知数列{an}满足a1＝1，(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1，且an＋1＞an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝(　　)

A．2n　　　　　　　　B．n2　　　　　　　　C．n＋2　　　　　　　　D．3n－2

解析：　

因为a1＝1，an＋1＞an，所以＞．

由(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1得an＋1＋an－1＝2，

所以(－)2＝1，所以－＝1，

所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以＝n，即an＝n2，故选B．

2．已知数列{an}满足an≠0，2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：　

∵an≠0，2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，

∴两边同除以an·an＋1，得－＝－＋1，

整理，得－＝1，即是以3为首项，1为公差的等差数列，

∴＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝．

3．各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an(n∈N*)，且a3＝2a8＝，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

因为＝an＋2an，所以an＋1an＋an＋1an＋2＝2an＋2an．

因为anan＋1an＋2≠0，所以＋＝，所以数列为等差数列．

设数列的公差为d，则＝＋(8－3)d． 因为a3＝2a8＝，

所以d＝1，又＝－2d＝3，所以数列 是以3为首项，1为公差的等差数列．

∴＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴an＝．

4．(2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．

@钻研数学

解析：　

由已知S梯形

即，

由相似三角形面积比是相似比的平方知OA＋OA＝2OA，即a＋a＝2a，

因此{a}为等差数列且a＝a＋3(n－1)＝3n－2，故an＝．