【同步讲义】苏科版数学七年级下册：7.5.1 三角形的内角和与外角和 讲义

7.5.1 三角形的内角和与外角和

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°，即：在中，∠A+∠B+∠C=180。

三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角

【性质】1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三角形的外角和定理：三角形的外角和是360

与三角形内角和与外角和有关的常见模型

A字型模型： ∠1+∠2=∠A+180° （结论）

证明：

8字模型（基础）：∠A+∠B=∠C+∠D      （结论）

证明：

飞镖模型（基础）：∠C=∠A+∠B+∠D   （结论）

证明：

老鹰抓小鸡模型一: ∠A+∠O=∠1+∠2     （结论）

证明:

老鹰抓小鸡模型二：∠A+∠O=∠2-∠1     （结论）

证明：

双角平分线模型（三角形）

模型一：（图一）已知BD、DC分别平分∠ABC、∠ACB，则∠D=

模型二：（图二）已知BD、DC分别平分∠EBC、∠FCB，则∠D=

模型三：（图三）已知BE、EC分别平分∠ABC、∠ACD，则∠E=

【题型一】与平行线有关的三角形内角和问题

【典例】（2022秋·广东河源·七年级校考期末）如图，已知l1l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（　　）

A．50° B．55° C．45° D．60°

 巩固练习

1．（）（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ）

A．90° B．85° C．60° D．55°

2．（）（2022春·山东济南·七年级统考期中）如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E 的度数是 （    ）．

A．100° B．90° C．80° D．70°

3．（）（2022春·辽宁辽阳·七年级统考期末）将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

4．（）（2022秋·重庆沙坪坝期末）如图，， ．

(1)试说明；

(2)若，且，求的度数．

【题型二】与角平分线有关的三角形内角和问题

【典例】（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在中，，，BD平分，于点E，则的度数为（    ）

A．90° B．100° C．110° D．120°

 巩固练习

1．（）（2021秋·江苏泰州·七年级靖江市期中）如图，已知为三边垂直平分线的交点，且，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

2．（）（2021春·江苏无锡·七年级统考期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（　　）

A．50° B．40° C．70° D．35°

3．（）（2021春·江苏苏州·七年级校联考期中）如图，的三个顶点，和分别在平行线，上，平分，交线段于点，若，，则的大小为________．

4．（）（2021春·江苏苏州·七年级苏州高新区期中）如图，在中，于点D，平分，则_______．

5．（）（2021春·江苏南京·七年级统考期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DF∥AB，DE∥AC．

(1)求证∠ADE＝∠ADF；

(2)若∠B＋∠C＝98°，则∠EDF＝      °．

【题型三】三角形内角和定理的应用

【典例】（2022春·江苏苏州·七年级期末）在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　）

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形

巩固练习

1．（）（2022春·江苏无锡·七年级统考期中）若△ABC三个角的大小满足条件∠A：∠B：∠C＝1：3：4，则∠C的大小为（    ）

A．22.5° B．45° C．67.5° D．90°

2．（）（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）在中，，，则的度数是（    ）

A．40° B．60° C．80° D．160°

3．（）（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）在中，，则_________．

4．（）（2022春·江苏南京·七年级统考期末）如图，直线GD、EH、FI两两相交于点A、B、C，则∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝______°．

【题型四】三角形外角性质

【典例】（2022秋·江苏·七年级统考期末）如图，已知，，，则的度数为（    ）

A．155° B．125° C．135° D．145°

巩固练习

1．（）（2022春·江苏苏州期中）如图，和相交于点O，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． 

C． D．

2．（）（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）如图，∠CBD、∠EDA为△ABD的两个外角，，，则∠A的度数是（      ）

A．20° B．30° C．40° D．50°

3．（）（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，直线AB//CD，∠B＝50°，∠D＝30°，则∠E的度数是（   ）

A．20° B．30° C．40° D．50°

【题型五】A字模型、8字模型、飞镖模型

巩固练习

1．（）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）．

A． B． C． D．

2．（）（2022秋·湖北武汉·七年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．

3．（）（2022秋·福建南平·七年级统考期中）如图，若，则____________．

4．（）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．

5．（）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．

（1）若，求的度数；

（2）若，求的度数．

6．（）阅读材料：

如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．

结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．

结论应用举例：

如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．

解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，

在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，

即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，

∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°

即五角星的五个内角之和为180°．

解决问题：

（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　；

（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　；

（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　；

（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　；

请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．

【题型六】双角平分线模型

巩固练习

1．（）如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）

A．36° B．30° C．20° D．18°

2．（）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）

A． B． C． D．

3．（）如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（   ）

A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°

C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O

4．（）（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．

（2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．

（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．

【题型七】老鹰抓小鸡模型

巩固练习

1．（）如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（    ）．

A． B． C． D．无法确定

2．（）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（    ）．

A． B． C． D．

3．（）（2022秋·重庆渝北·七年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ）

A．20° B．30° C．40° D．50°

4．（）如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为_________．