【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：拓展一：排列组合18种常考考法归类 讲义

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 拓展一：排列组合18种常见考法归类

考点一 直接法
考点二 特殊元素和特殊位置优先法
考点三 相邻问题捆绑法
考点四 相离问题插空法
考点五 相邻问题和相离问题综合
考点六 定序问题倍缩法
考点七 分堆分配问题
考点八 相同元素隔板法
考点九 间接法
考点十 环（圆）排问题直排法
考点十一 多排问题单排法
考点十二 小集团问题先整体后局部法
考点十三 两类元素的排列，组合选位法
考点十四 含约束条件问题合理分类与分步法
考点十五 数字排序问题查字典法
考点十六 简单问题实际操作穷举法
考点十七 排列组合综合问题
考点十八 涂色问题分类分步综合法

排列组合问题的解题方法主要有捆绑法、插空法、隔板法、间接法等.不同解题方法适用情境以及在相关细节的处理上存在较大差异.只有充分把握其本质，对相关情境进行正确、合理地想象，正确选择对应的解题方法，才能提高解题效率，因此，实践中应严把理解关，使学生真正地吃透与掌握.
直接法
分类法
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数
分步法
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
特殊元素或特殊位置优先法
所谓“优先法”是指在解决排列组合问题时，对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
相邻元素用捆绑法

捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.
不相邻用插空法

插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量.
定序问题倍缩（消序法）
部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法（消序法），还可用空位法。①消序法：将m＋n个元素排成一列，其中有m个元素之间的排列顺序不变，设排列数为x；然后允许这m个元素任意排列共有种排法，经过上述两步后，问题等价于m＋n个元素任意排成一列，共有种不同的排法，根据分步乘法计数原理得，因此②定序问题还可以采用先定后插或者先选后定等方法处理.

元素相同
隔板法
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入 n 个元素排成一排的个空当中，所有分法数为，隔板法中"隔板"的目的在于将元素划分成不同的“组别”，隔板既可以作为特殊的对象“插入”到实际元素形成的空中，也可将其看做特殊对象将其与实际元素进行针对性地排列组合.究竟采用何种方法，需具体问题具体分析.
间接法
排列组合问题中有一类问题采用直接方法虽然能分析出结果，但是步骤较为繁琐，对于多数学生而言容易忽略某一种情况为避免出错可采用间接法进行处理，有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。（在解答有关"至多"与"至少"的问题时，通常有两种方法：直接法或间接法.直接法是让学生在解决相关的问题时. 把重点放在对题目中每个元素的分析上面，这样可以确定相关元素的限制性，更好地寻找其他的元素，结合更多元素进行问题的综合考虑.而间接法则是先让学生忽略题目中给出的一些附加条件，再进行整体的排列组合和相关的数量计算，这样就可以得出一个结果，然后用这个附加条件来计算出一些不符合题目要求的结果，去除这些不合适的结果，这样就可以通过减法得出最后的答案.但需要注意的是，此类题型的做法有很多，学生在审题时，一定考虑好做题的入手角度，在做题过程中，不要忽略任何一种情况，因为是客观题，所以结果是得分的关键.如果在审题时你就发现不只有一种方法，那么选你最拿手的方法来思考，之后在检验时用其他方法.）
重排问题求幂法

允许重复的排列问题是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。一般地，n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为。
环排问题线排法
围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线，一般地，n个不同元素圆形排列，共有种排法。如果从n个不同元素中取出 m 个元素进行圆形排列，共有种排法。
多排问题单排法
一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
小集团题先整体后局部法
解小集团排列问题，先整体后局部，再结合其他策略进行处理。
两类元素的排列，组合选位法
将m个元素a，n个元素b进行全排列，我们可以从m＋n个位置中选择m个位置安置元素a，剩下的n个位置安排元素b，其方法数有种，故称这类排列为组合选位法.

分组与分配问题

对不同元素的分配问题．

整体均分
解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数．
部分均分
解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
不等分
只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
对于相同元素的“分配”问题
对相同元素的分配问题一般采用“隔板法”
数字排序问题查字典法
数字排序问题可用查字典法，查字典法应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。
实际操作穷举策略

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算时，往往利用穷举法，一个一个列出来。




考点一 直接法
1．（2023·全国·高二专题练习）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（    ）
A．20 B．90 C．120 D．240
2．（2023·全国·高三专题练习）从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为（    ）
A．6 B．8 C．12 D．16
3．（2022·全国·高二专题练习）从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到______个不同的对数值．
考点二 特殊元素和特殊位置优先法
4．（2023·全国·高三专题练习）2位教师和4名学生站成一排，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_________
5．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而数学老师因故不能上第二节和第四节，则不同排课方案的种数是（    ）
A．24 B．22 C．20 D．12
6．（2023春·北京·高二北京市第一六六中学校考阶段练习）某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（    ）
A．78 B．24 C．21 D．18
7．（宁夏银川市2023届高三教学质量检测数学（理）试题）某校在“校园艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率为________．
考点三 相邻问题捆绑法
8．（2023春·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）体育课上四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生相邻，则不同排法的种数是：__________．（用数字作答）
9．（2023春·高二课时练习）现有8个节目，5个节目由大人表演，3个节目由孩子表演，要求孩子的节目要排在一起表演，有多少种不同的表演顺序?
10．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ）
A．72种 B．81种 C．144种 D．192种
11．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了6个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及2个相同的“冰雪派对”､“青云出岫”､“如意东方”各1个．小明想将这6个摆件排成一排，要求相同的摆件相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有__________种摆放方法．
考点四 相离问题插空法
12．（2023春·高二课时练习）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1与2不相邻的六位数，可以组成________个．
13．（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）由组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数共有______个．
14．（2023春·高二课时练习）4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有____种排法．
15．（2023·高二单元测试）马路上有编号为1，2，3，…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（    ）
A． B． C． D．
16．（2023春·山东菏泽·高二曹县一中校考阶段练习）四川师大附中某停车场某处并排连续有6个停车位，现有三辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：任何两辆汽车都不得相邻停放，则不同的停车方法有（   ）
A． B． C． D．
17．（2023·四川南充·统考二模）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．
考点五 相邻问题和相离问题综合
18．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）为维护国家海洋安全权益，我国海军的5艘战舰出海执行任务，有2艘是驱逐舰，3艘是护卫舰，在一字形编队时，3艘护卫舰中恰有2艘相邻的概率是______.
19．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）把5件不同产品随机摆成一排，则产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．
20．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）新年音乐会安排了2个唱歌、2个乐器和2个舞蹈共6个节目，则2个唱歌节目不相邻且两个乐器节目相邻的节目单共有______种．（用数字表示）
21．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字）
22．（2023·湖南邵阳·统考二模）在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
23．（2023·全国·高三专题练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育“乐”主要指美育“射”和“御”就是体育和劳动“书”指各种历史文化知识“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（     ）种
A． B． C． D．
考点六 定序问题倍缩法
24．（2023·全国·高二专题练习）3名男生，4名女生，按照不同的要求排列，求不同的排队方案的方法种数.
(1)全体站成一排，甲必须在乙的右边；
(2)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变.
25．（2023·全国·高二专题练习）7个人按照下列要求排成一纵队：A，B，C三人的前后顺序一定，有多少种不同的排法？（用数字作答）
26．（2023春·高二课时练习）一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法？
27．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（    ）
A． B． C． D．
28．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_________

29．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为___________.（用数字作答）.
30．（2023春·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）甲乙丙丁戊5人站成一排，则乙在甲右侧且甲丙不相邻的方法种数为（    ）
A．12 B．24 C．36 D．48
31．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡肉、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种
32．（2023·全国·高二专题练习）（1）10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
（2）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？（具体数字作答）
（3）某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为多少？
考点七 分堆分配问题
33．（2023春·河北·高三统考阶段练习）现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（    ）
A．12 B．14 C．18 D．22
34．（2023·湖南常德·统考一模）在学雷锋志愿活动中，安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有_____种.
35．（2023·青海西宁·统考二模）有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（    ）
A．12 B．14 C．36 D．72
36．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考阶段练习）安排，，，，五名志愿者到甲，乙两个福利院做服务工作，每个福利院至少安排一名志愿者，则，被安排在不同的福利院的概率为______．
37．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）从甲､乙等6名医生中任选3名分别去三所学校进行核酸检测，每个学校去1人，其中甲､乙不能去A学校，则共有___________种不同的选派方法.
38．【多选】（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）为响应政府部门疫情防控号召.某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，下列选项正确的是（    ）
A．共有64种不同的安排方法
B．若地无人去，，两地各有2人去，则共有6种不同的安排方法
C．每地均有人去，则共有36种不同的安排方法
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法
考点八 相同元素隔板法
39．（2023·江苏·高二专题练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.
40．（2023春·高二课时练习）某学校的高一年级总共有8个班级，现学校要求高一年级组织一个篮球队，篮球队队员共12人， 每个班级中至少有一个人参加，问篮球队队员的名额分配有几种方法？
41．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解.
A． B． C． D．
42．（2023·全国·高二专题练习）的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（    ）
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
考点九 间接法
43．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有___________种.
44．（2023·全国·高三专题练习）如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（　　）

A．120种 B．240种 C．144种 D．288种
考点十 环（圆）排问题直排法
45．（2023春·高二课时练习）5个学生围桌而坐，共有多少种排法？
46．（2022·全国·高二专题练习）现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一个圆时，不同的站法种数为______（用数字作答）．
考点十一 多排问题单排法
47．（2022春·浙江台州·高二校联考期中）有3名男生、4名女生，在下列不同的条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人.
48．（2023秋·福建莆田·高二校考期末）某大学的两名教授带领四名学生外出实习，实习前在学院门口合影留念．若站成两排合影，两名教授站在前排，四名学生站在后排，则不同的排法种数为______（用数字作答）．
49．（2022春·陕西宝鸡·高二统考期末）5名学生，1名教师站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，其中教师必须站在前排，那么不同的排法共有（    ）
A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种
考点十二 小集团问题先整体后局部法
50．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有______个.
51．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（    ）
A．216 B．288
C．432 D．512
考点十三 两类元素的排列，组合选位法
52．（2023春·河南郑州·高二中牟县第一高级中学校考阶段练习）如图是由12个小正方形组成的矩形网格，一质点沿网格线从点到点的不同路径之中，最短路径有________条.

53．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考阶段练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ）

A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条
考点十四 含约束条件问题合理分类与分步法
54．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有（    ）
A．48种 B．60种 C．72种 D．96种
55．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，要求所选4人中既有男生又有女生，且男生甲与女生乙至少有1人入选，那么不同的组队方法种数为（    ）
A．696 B．736 C．894 D．930
56．（2023·河南·校联考模拟预测）2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2位教师，“自行车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（    ）
A．132种 B．112种 C．96种 D．84种
考点十五 数字排序问题查字典法
57．（2023春·天津河东·高二期中）可以组成多少个无重复数字的
(1)四位整数；
(2)比2000大的四位偶数.
58．（2023春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数__________.
59．（2023·高二单元测试）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
(1)偶数：
(2)左起第二､四位是奇数的偶数；
(3)比21034大的偶数.
考点十六 简单问题实际操作穷举法
60．（2022秋·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中
(1)若恰好有一个空盒，则有多少种放法？
(2)若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？
61．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）将编号为1至7的7个小球放入编号为1至7的7个盒子中,每个盒子中放1个小球,则恰好有3个小球与盒子的编号相同的放法有（    ）
A．315种 B．210种 C．135种 D．105种
62．（2023春·全国·高二专题练习）“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为 ，则棋子就按顺时针方向前进i个格子、一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为_________.(用数字作答)

考点十七 排列组合综合问题
63．（2022·高二课时练习）有男运动员名、女运动员名，其中男、女队长各人.现名运动员排成一排.
(1)如果女运动员全排在一起，有多少种不同排法？
(2)如果女运动员都不相邻，有多少种排法？
(3)如果女运动员不站两端，有多少种排法？
(4)其中男队长不站左端，女队长不站右端，有多少种排法？
64．（2023·江苏·高二专题练习）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.
65．（2023·全国·高二专题练习）男生3人、女生3人任意排列，求下列事件发生的概率：
(1)站成一排，至少2个女生相邻；
(2)站成一排，甲在乙的左边（可以不相邻）；
(3)站成前后两排，每排3人，甲不在前排，乙不在后排；
(4)站成前后两排，每排3人，后排每一个人都比他前面的人高；
(5)站成一圈，甲、乙之间恰好有1个人．
66．（2023春·山东菏泽·高二曹县一中校考阶段练习）现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球.
(1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；
(2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；
(3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.
67．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（    ）
A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法
D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
68．【多选】（2023春·山东烟台·高二统考阶段练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法正确的有（    ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
考点十八 涂色问题分类分步综合法
69．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）现有6种不同的颜色，给图中的5个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用四种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有______种.

70．（2023春·广东惠州·高二惠州一中校考阶段练习）用红､黄､蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（    ）

A．18 B．24 C．30 D．36
71．（2023·江苏·高二专题练习）如图，用5种不同的颜色给图中的、、、、、6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.

72．（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）小明的弟弟喜欢玩黏土，现在有4种颜色的黏土，小明的弟弟想要在如图所示圆盘（分为5个区域）上填入黏土，要求每个区域只能填入一种颜色的黏土，且相邻区域不得使用同一种颜色的黏土，则不同的填入方法共有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
73．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有（    ）种

A．24 B．72 C．120 D．144