【同步讲义】（人教A版2019）高一数学必修一：期末学业水平质量检测（B卷）

期末学业水平质量检测（B卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

【答案】A 

【解析】解：由题意：命题，，否定为：，

2.    已知全集，集合，，则=(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】解：易得，又，

则=

故选

3.    下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】解：函数的定义域为R，但不过坐标原点，则函数不是奇函数，不满足题意；

函数的定义域为R，且，则函数是偶函数，不满足题意；

函数的定义域为R，且，则函数是奇函数且是增函数，满足题意；

函数定义域为，，则是奇函数，
在和上单调递增，在和上单调递减，故不满足题意.

故选

4.    已知幂函数R，R的图像经过点，则(    )

A.  B. 2 C.  D. 1

【答案】C 

【解析】解：幂函数的图象经过点，
，解得，，

故选

5.    下列四个函数：①，②，③，④，其中定义域和值域相同的函数有(    )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【答案】B 

【解析】解：对于①；是一次函数，定义域和值域均为
对于②，定义域为R，值域为
对于③，定义域为，值域为R；
对于④，定义域为，值域为
定义域与值域相同的函数是①②④．

6.    函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】D 

【解析】解： 由题意知，，解得，所以定义域，关于原点对称，
又因为，所以此函数为奇函数，图象关于原点对称，排除
当时，，排除，函数只有1个零点，排除
故选：

7.    已知，“不等式与的解集相同”是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D 

【解析】解：不等式与的解集均为空集，但，所以充分性不成立；
不妨令，，，，，，满足，
但的解集为，的解集为，
所以与的解集不同，必要性不成立;
故选：

8.    已知实数满足，函数有两个零点，则关于函数的零点的下列关系式一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】D 

【解析】解：令，即，
即为，
，
令，
，则
，
，
，
根据零点存在定理得出在，上函数各有零点，
所以

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】BD 

【解析】解：设，则，，，
对于A和C，，故AC错误；
对于B和D，，化简可得，故BD正确;

故选：

10. 已知角是锐角，若是关于x的方程的两个实数根，则下列关于实数的判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD 

【解析】解：是关于x的方程的两个实数根，

所以，

因为角是锐角，所以，则，故B错误；

又，即，

所以，故A正确；

而，故C正确，

又， ，

所以 ，

由A知 ，则 ，故D正确；

故选：

11. 已知函数是定义域为R的奇函数，且，则(    )

A.  B. 函数在上单调递增
C. 的解集是 D. 的最大值是

【答案】ABC 

【解析】解：是定义域为R的奇函数，可知，则，A选项正确；
又，则得，则，又，结合对勾函数性质，可知在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性性质有在上单调递增，在上单调递减，可知B选项正确；
，解得，故C正确;
结合函数的单调性，可知，可知选项D错误.

12. 如图所示，点是函数的图像与x轴的交点，点P在之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则下列说法正确的有(    )

A.
B. 的图象关于直线对称
C. 的单调增区间为
D. ，均有

【答案】ABD 

【解析】解：为定值，且为点P到x轴的距离，
当h最大时，最大，
此时点P为M，N之间的图象上的最高点，，
，故是以为直角的等腰直角三角形，
∴
，，，
，，
∴
函数的图象过点，
∴，
，，，
∴，
，故A正确，
又，
的图象关于直线对称，故B正确；
由，，
可得，，
的单调增区间为，，故C错误，
，由函数的图象可知函数为凸函数，
则，故D正确.
故选

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 时钟走过了40分钟，时针所转过的弧度数是__________.

【答案】 

【解析】解：时针每小时走，
所以时针每分钟走，经过40分钟，
那么它转过的角度是
所以，经过40分钟，时针所转过的弧度数是
故答案为： 

14. 十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”.如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示.在一个黄金三角形ABC中，黄金分割比，根据这些信息，可以得出__________.

【答案】 

【解析】

解：由图形知，，则，，

所以，

故，

故答案为：

15. 已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且，则的值为__________.

【答案】0 

【解析】解：由题意，得，是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，
，，，
，，
的周期为4，，
又，，
故答案为：0

16. 若实数满足为常数，为减小计算量，我们可以借助二元基本不等式求出的最大值.基本步骤如下：

，当且仅当时，等号成立.这样得到的最大值为；类比上面的解题原理，我们可以解决下面的问题：若为锐角，则函数得最大值为__________，当且仅当__________时，等号成立.

【答案】  

【解析】解：因为为锐角，所以，所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点

求的值；

若角满足，求的值.

解：角的终边经过点，
由三角函数的定义得，

故

（2）∵，，

∴，

当时，；

当时，

综上所述：或

18. 本小题分

已知函数

当时，用定义法证明函数在上是减函数；

已知二次函数满足，，若不等式恒成立，求m的取值范围.

解：证明：当时，，任取，


，
由题意知，，
，
在上单调递减；设，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
恒成立，
恒成立，
∴恒成立，
由于，当时取等号，
，m的取值范围是 

19. 本小题分

已知函数

求函数的最小正周期及对称轴方程；

将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.

解：
，
，

所以函数的最小正周期为，
令，
解得：，
所以对称轴方程为：；将函数的图象向左平移个单位，
所得图象的解析式为：，
再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，
得到：，
令：，
所以：，
又，所以在上的单调递减区间为：， 

20. 本小题分

已知函数，其中

当时，求的值域；

若有两个零点，求a的取值范围．

解：当时，
，
当时，，
当时，单调递增，所以，
综上所述：的值域为；

当时，，
当时，单调递增； 
①若，有一个零点，则，
则时，也应有一个零点，所以， 
而，所以；
②若，无零点，则，则时，有两个零点，所以满足题意，即；
综上所述：a的取值范围为

21. 本小题分
    一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为单位：，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费单位：万元与成反比，每月库存货物费单位：万元与成正比；若在距离车站3km处建仓库，则与分别为万元和万元．记两项费用之和为求w关于x的解析式；这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．

解：每月土地占地费单位：万元与成反比，
可设，
每月库存货物费单位：万元与成正比，
可设，
在距离车站3km处建仓库，则与分别为万元和万元，
，，则，，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为万元． 

22. 本小题分

已知函数，

恒成立，求实数a的取值范围；

当时，求不等式的解集；

若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值.

解：由题有恒成立，
即恒成立，
当时，恒成立，符合题意，
当时，则，得，
得，
综上，a的取值范围为由题，即，
由，则，且，
①当时，，不等式的解集为或，
②当时，不等式的解集为R，
③当时，，不等式解集为或，
综上可得当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为R，
当时，不等式解集为或，当时，令，
当且仅当时取等号，
则关于x的方程可化为，
关于x的方程为有四个不等的实数根，
即，有两个不同的实数正根，
则，解得，
由可知存在使得不等式成立，
故，即，
解得或，
综上可得，
所以a的取值范围为