期中学业水平质量检测（A卷）-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

期中学业水平质量检测（A卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     设全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知命题p： ，那么是(    )

A.  B.  
C.  D.

3.     下列图像中不能作为函数图像的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.     “”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5.     下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     函数与的图象关于下列那种图形对称(    )

A. x轴 B. y轴 C. 直线 D. 原点中心对称

7.     已知定义在R上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

8.    高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是(    )

A. 的最大值为1，没有最小值 B. 的最小值为0，没有最大值
C. 没有最大值，没有最小值 D. 的最大值为1，最小值为0

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    已知幂函数为常数，则下列命题正确的是(    )

A. 若幂函数过点，则
B. 若，则函数在是增函数
C.
D. 若，则函数在R是增函数，且为奇函数

10. 某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系：为常数若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是(    )

A.  B. 储存温度越高保鲜时间越长
C. 在的保鲜时间是96小时 D. 在的保鲜时间是24小时

11. 已知，，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

12. 定义若关于函数的四个命题中描述正确的是(    )

A. 该函数是偶函数
B. 该函数单调递减区间为
C. 该函数值域为
D. 若方程恰有两个根，则两根之和为0

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. ______ .
14. 若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是__________.  
15. 在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为__________精确到  
16. 设函数的定义域为D，若同时满足下列两个条件：在D内是单调函数；存在，使得在区间上的值域为，则称函数为“希望函数”．若函数且是“希望函数”，则实数t的取值范围是________.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

设，集合A为函数的定义域，

求， 

若集合，满足，求实数a的取值范围.

18. 本小题分
    已知函数，
    用单调性的定义证明在上是单调减函数；
    若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围．

19. 本小题分
    若函数
    在给定的平面直角坐标系中画出函数图象；
    
    写出函数的值域、单调区间；
    在①，②，③这三个式子中任选出一个使其等于，求不等式的解集．

20. 本小题分
    医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用指定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况如图所示：当时，c与t的函数关系式为为常数；当时，c与t的函数关系式为为常数服药2h后，患者体内的药物浓度为这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险．
     

首次服药后，药物有疗效的时间是多长？

首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？参考数据：，

21. 本小题分
    定义域在R的单调函数满足恒等式，，且
    求，；
    判断函数的奇偶性，并证明；
    若对于任意都有成立，求实数k的取值范围.

22. 本小题分
    如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为
    求函数解析式；
    画出函数的图象；
    当函数有且只有一个零点时，求a的值．

期中学业水平质量检测（A卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

23. 设全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 
【解答】
解：可知：图中阴影部分所表示的集合是，
全集，集合，，
，，
所以图中阴影部分所表示的集合是，
故选：  

24. 已知命题p： ，那么是(    )

A.  B.  
C.  D.

【答案】C 

【解答】
解：由全称量词命题的否定为存在量词命题，
可得命题的否定
故选  

25. 下列图像中不能作为函数图像的是(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】B 

【解析】解：根据函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，这时称y是x的函数．
结合选项可知，只有选项B中是一个自变量x对应1或2个函数值y，不符合函数的概念，
故选：  

26. “”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 

【解析】解：，
不等式的解集为或，
是或的真子集，
“”是“”的充分而不必要条件.
故选  

27. 下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】解：对于A：是由一次函数图象将x轴下面的部分翻折得到，是偶函数，在上是增函数，故A对．
对于B：是一次函数，，在上是减函数，是非奇非偶函数，故B不对．
对于C：是反比例函数，图象在一三象限，是奇函数，在上是减函数，故C不对．
对于D：是二次函数，开口向下，对称轴是y轴，是偶函数，在上是减函数，故D不对：
故选  

28. 函数与的图象关于下列那种图形对称(    )

A. x轴 B. y轴 C. 直线 D. 原点中心对称

【答案】B 

【解析】解：在函数的图象上取一点，
可得点A对应函数图象上的点
与关于y轴对称，
由点A的任意性，得函数与的图象关于y轴对称
故选：B
 

29. 已知定义在R上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②则不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】A 

【解析】解：由题意得，偶函数在上单调递增，在上单调递减，且，
作出函数的大致图像如下：

不等式等价于或，
数形结合可知不等式的解集为：
故选：A

30. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是(    )

A. 的最大值为1，没有最小值 B. 的最小值为0，没有最大值
C. 没有最大值，没有最小值 D. 的最大值为1，最小值为0

【答案】B 

【解析】解：由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
很明显所给的函数具有周期性，绘制函数大致图象如图所示，观察可得函数有最小值0，没有最大值，

故选：

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

31. 已知幂函数为常数，则下列命题正确的是(    )

A. 若幂函数过点，则
B. 若，则函数在是增函数
C.
D. 若，则函数在R是增函数，且为奇函数

【答案】ABD 

【解析】幂函数的图象过点，即，解得，故A正确；
，
由的性质知，在内单调递增，故B正确；
函数，其中是定义域上的偶函数，且在上是减函数，
，
，
故C错误；
D：若，，由的性质知，在R上单调递增，且是奇函数，故D正确；
故答案为

32. 某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系：为常数若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是(    )

A.  B. 储存温度越高保鲜时间越长
C. 在的保鲜时间是96小时 D. 在的保鲜时间是24小时

【答案】CD 

【解析】解：该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，
，解得，
，所以，故存储的温度越高保鲜时间越短，
该食品在保鲜时间
在的保鲜时间是，
故选

33. 已知，，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】BC 

【解析】解：对于A，，，且，
，，
，，即，故A错误，
对于B，，，且，

，
当且仅当，即，时，等号成立，故B正确，
对于C，，，，
，故C正确，
对于D，令，，满足，，且，
但，故D错误．
故选：

34. 定义若关于函数的四个命题中描述正确的是(    )

A. 该函数是偶函数
B. 该函数单调递减区间为
C. 该函数值域为
D. 若方程恰有两个根，则两根之和为0

【答案】ACD 

【解析】解：令，解得，
令，解得或，
，
作出的图象，如图所示：

根据的解析式可知，，且的定义域R关于原点对称，故为偶函数，故A正确；
由图可知，函数的单调递减区间为，故B错误；
由图可知，函数的值域为，故C正确；
若方程恰有两个根，即的图象与直线有且仅有2个交点，
由图可得，则有，该方程的两根之和为，故D正确；
故选  

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

35. ______ .

【答案】 

【解析】解： 原式，
故答案为  

36. 若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是__________.

【答案】 

【解析】解：依题意可知，问题等价于恒成立，
当时，不恒成立；
当时，要使恒成立，
即的图象不在x轴的下方，
即
解得，
综上可得a的取值范围是
故答案为

37. 在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为__________精确到

【答案】 

【解析】解：因为， 
所以区间内的任何一个值都可作为方程的近似解，
故可选方程的一个近似解为
故答案为

38. 设函数的定义域为D，若同时满足下列两个条件：在D内是单调函数；存在，使得在区间上的值域为，则称函数为“希望函数”．若函数且是“希望函数”，则实数t的取值范围是________.

【答案】 

【解析】解：，或，
都是R上的增函数，
，即，即有两不等实根，
令
有两不等正根，

解得，
故实数t的取值范围是
故答案为  

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

39. 本小题分

设，集合A为函数的定义域，

求， 

若集合，满足，求实数a的取值范围.

【答案】

解：由可得，

所以，

，或

，

因为，所以，

所以，解得

40. 本小题分
    已知函数，
    用单调性的定义证明在上是单调减函数；
    若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】

解：证明：任取，，且，
则，
又，，，
，，
，即，
在上是单调减函数．
在上单调递减且恒有，
不等式对于任意恒成立，
即为，对于任意恒成立，
令，
当时取得最小值，，
所以a的取值范围是 

41. 本小题分
    若函数
    在给定的平面直角坐标系中画出函数图象；
    
    写出函数的值域、单调区间；
    在①，②，③这三个式子中任选出一个使其等于，求不等式的解集．

【答案】

解：由，图象如图所示：

由图象可得函数的值域为单调递减区间为，单调递增区间为；
若选①，则，
即或，
解得或，即不等式的解集为，
若选②，则，
即或，
解得或，即不等式的解集为R，
若选③，，
即或，
解得，即不等式的解集为 

42. 本小题分
    医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用指定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况如图所示：当时，c与t的函数关系式为为常数；当时，c与t的函数关系式为为常数服药2h后，患者体内的药物浓度为这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险．
     

首次服药后，药物有疗效的时间是多长？

首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？参考数据：，

【答案】

解：当时，，函数图象过点，
，得，
当时，，
当时，，函数图象过点，
，
，
由，解得
则药物有疗效时间为小时．
设再次服用同种规格的这种药物x小时后的药物浓度为y，
当，，
结合对勾函数知：函数y在上单调递增，
当时，，
当时，，
，
首次服药1小时后，可立即再次服用同种规格的这种药物． 

43. 本小题分
    定义域在R的单调函数满足恒等式，，且
    求，；
    判断函数的奇偶性，并证明；
    若对于任意都有成立，求实数k的取值范围.

【答案】

解：令可得，
令，，


；
令

，即
函数是奇函数．
是奇函数，且在时恒成立，
在时恒成立，
又是定义域在R的单调函数，且
是R上的增函数．
即在时恒成立．
在时恒成立．   
令，


由抛物线图象可得：

则实数k的取值范围为 

44. 本小题分
    如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为
    求函数解析式；
    画出函数的图象；
    当函数有且只有一个零点时，求a的值．

【答案】

解：当时， ，
当时，    ，
当时， .
所以    .
如右图所示：
当时，，由，解得
因为，所以，即，
当时，直线过点，这两点都在的图象上
当时，直线与射线有一个交点 ，故不满足题意;
当时，直线逆时针旋转时与图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线无交点．
此时，所以 ，
所以，解得或
当时，，所以在内．
当时不在内，
当或时，直线与的图象无交点
所以