高考数学二轮复习课时跟踪检测03三角恒等变换与解三角形小题练（含答案）

课时跟踪检测（三）  三角恒等变换与解三角形 （小题练）

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．(2018·河北保定一模)已知cos＝sin，则tan α的值为(　　)

A．－1　　　　　　　　　　 B．1

C.  D．－

解析：选B　由已知得cos α－sin α＝sin α－cos α，整理得sin α＝cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.

2．(2018·福州模拟)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)

A.  B.

C．1  D.

解析：选D　cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.

3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A．4  B.

C.  D．2

解析：选A　∵cos＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝4.

4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin＝(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：选C　因为α是第三象限的角，tan α＝2，且所以cos α＝－ ＝－，sin α＝－，则sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×－×＝－，选C.

5．(2018·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c，则B＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　因为2bcos C＝2a＋c，所以由正弦定理可得2sin Bcos C＝2sin A＋sin C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin C，即2cos Bsin C＝－sin C，又sin C≠0，所以cos B＝－，又0<B<π，所以B＝，故选D.

6．已知3cos 2α＝4sin，α∈，则sin 2α＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选D　由题意知3(cos2α－sin2α)＝2(cos α－sin α)，由于α∈，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝2，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－.

7．(2019届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于(　　)

A.  B.

C．－  D．－

解析：选C　因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．

8．(2018·洛阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，故A＝.对于b2＝ac，由正弦定理，得sin2B＝sin Asin C＝·sin C，由正弦定理，得＝＝＝.故选B.

9．(2019届高三·广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则tan＝(　　)

A.  B．－

C．3  D．－3

解析：选A　由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，∴tan＝＝.

10．(2018·广东佛山二模)已知tan＝，则cos2＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由tan＝＝，解得tan α＝－，所以cos2＝＝＝＋sin αcos α，又sin αcos α＝＝＝－，故＋sin αcos α＝.

11．(2018·福州模拟)已知m＝，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m＝(　　)

A.  B.

C.  D．2

解析：选D　设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，即2cos Asin B＝sin Acos B，所以tan A＝2tan B，所以m＝＝2.

12．(2018·南宁、柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为(　　)

A．2＋  B．2＋

C．3  D．3＋

解析：选A　由已知b＋2ccos A＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝.故△ABC的周长为2＋.故选A.

二、填空题

13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tan α＝________.

解析：tan＝tan＝＝，

解得tan α＝.

答案：

14．(2018·贵州模拟)如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为________海里．

解析：依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝＝＝a.即灯塔A与灯塔B的距离为a海里．

答案：a

15．(2018·贵州模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asin B＝bcos A，若△ABC的面积S＝4，则b＋c＝________.

解析：由正弦定理，得sin Asin B＝sin Bcos A，

又sin B≠0，∴tan A＝，∴A＝.

由S＝bc×＝4，得bc＝16，由余弦定理得，16＝b2＋c2－bc，∴c2＋b2＝32，∴b＋c＝8.

答案：8

16.(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE的长度为________．

解析：易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝，在三角形AEC中，＝⇒CE＝，在直角三角形CED中，DE＝CEsin 60°，所以DE＝CEsin 60°＝×＝×＝6.

答案：6

B级——难度小题强化练

1．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2θ＝2sin2β，则(　　)

A．cos β＝2cos α  B．cos2β＝2cos2α

C．cos 2β＝2cos 2α  D．cos 2β＝－2cos 2α

解析：选C　由同角三角函数的基本关系可得sin2θ＋cos2θ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin 2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin2β，即4sin2α＝1＋2sin2β.由二倍角公式可得4×＝1＋2×，整理得cos 2β＝2cos 2α.故选C.

2．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　由题意得sin2A<sin2B＋sin2C，由正弦定理得a2<b2＋c2，即b2＋c2－a2>0，则cos A＝>0.因为0<A<π，所以0<A<，又a是最大边，所以A>，即角A的取值范围为.故选D.

3．(2018·唐山统考)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　如图，设物体的运动速度为v，则PQ＝v，QR＝2v，因为∠POQ＝90°，∠QOR＝30°，所以∠POR＝120°，P＋R＝60°，所以R＝60°－P.在Rt△OPQ中，OQ＝vsin P．在△OQR中，由正弦定理得OQ＝＝4v·sin R＝4vsin(60°－P)＝2vcos P－2vsin P．所以有2vcos P－2vsin P＝vsin P，即2vcos P＝3vsin P，所以tan P＝，所以选B.

4．(2018·成都模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，△ABC的外接圆半径为.则△ABC面积的最大值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　由正弦定理，得＝＝＝2，所以sin A＝，sin B＝，sin C＝，将其代入2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cos C＝＝，又0<C<π，所以C＝.于是S△ABC＝absin C＝×2sin A×2sin B×sin＝3sin Asin B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝[cos(A－B)＋cos C]＝cos(A－B)＋.当A＝B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为，故选D.

5．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.

解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cos α＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，故β＝.

答案：

6.(2018·四川成都模拟)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围为________．

解析：设∠ACD＝θ，则∠CAD＝－θ，根据条件及余弦定理计算得AC＝2.在△ACD中，由正弦定理得＝＝＝4，

∴AD＝4sin θ，CD＝4sin，

∴DA＋DC＝4

＝4＝4

＝4＝4sin.

∵△ACD是锐角三角形，

∴θ和－θ均为锐角，∴θ∈，

∴θ＋∈，∴sin∈.

∴DA＋DC＝4sin∈.

答案：(6,4 ]