高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测03《三角恒等变换与解三角形》小题练（教师版）

这是一份高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测03《三角恒等变换与解三角形》小题练（教师版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))，则tan α的值为( )
A．－1 B．1
C.eq \r(3) D．－eq \r(3)
解析：选B 由已知得eq \f(1,2)cs α－eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(1,2)sin α－eq \f(\r(3),2)cs α，整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)))sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)))cs α，即sin α＝cs α，故tan α＝1.
2．eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C．1 D.eq \r(2)
解析：选D eq \r(3)cs 15°－4sin215°cs 15°＝eq \r(3)cs 15°－2sin 15°·2sin 15°cs 15°＝eq \r(3)cs 15°－2sin 15°·sin 30°＝eq \r(3)cs 15°－sin 15°＝2cs(15°＋30°)＝2cs 45°＝eq \r(2).故选D.
3．在△ABC中，cseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4eq \r(2) B.eq \r(30)
C.eq \r(29) D．2eq \r(5)
解析：选A ∵cseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，∴cs C＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，∴AB＝4eq \r(2).
4．已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)
C．－eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(3\r(10),10)
解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝tan α，,sin2α＋cs2α＝1，))
所以cs α＝－ eq \r(\f(1,1＋tan2α))＝－eq \f(\r(5),5)，sin α＝－eq \f(2\r(5),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcseq \f(π,4)＋cs αsineq \f(π,4)＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(3\r(10),10)，选C.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcs C＝2a＋c，则B＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
解析：选D 因为2bcs C＝2a＋c，所以由正弦定理可得2sin Bcs C＝2sin A＋sin C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2sin Bcs C＋2cs Bsin C＋sin C，即2cs Bsin C＝－sin C，又sin C≠0，所以cs B＝－eq \f(1,2)，又06．已知3cs 2α＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，则sin 2α＝( )
A.eq \f(7,9) B．－eq \f(7,9)
C.eq \f(1,9) D．－eq \f(1,9)
解析：选D 由题意知3(cs2α－sin2α)＝2eq \r(2)(cs α－sin α)，由于α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，因而cs α≠sin α，则3(cs α＋sin α)＝2eq \r(2)，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－eq \f(1,9).
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3)
C．－eq \f(4,3) D．－eq \f(3,4)
解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcs C＋2ab，即sin C－2cs C＝2，所以(sin C－2cs C)2＝4，eq \f(sin2C－4sin Ccs C＋4cs2C,sin2C＋cs2C)＝4，所以eq \f(tan2C－4tan C＋4,tan2C＋1)＝4，解得tan C＝－eq \f(4,3)或tan C＝0(舍去)．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则eq \f(c,bsin B)＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
解析：选B 由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，故A＝eq \f(π,3).对于b2＝ac，由正弦定理，得sin2B＝sin Asin C＝eq \f(\r(3),2)·sin C，由正弦定理，得eq \f(c,bsin B)＝eq \f(sin C,sin2B)＝eq \f(sin C,\f(\r(3),2)sin C)＝eq \f(2\r(3),3).故选B.
9．已知x∈(0，π)，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝sin2x，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3 D．－3
解析：选A 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝sin2x得sin 2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(tan x－1,1＋tan x)＝eq \f(1,3).
10．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,4)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝( )
A.eq \f(7,25) B.eq \f(9,25)
C.eq \f(16,25) D.eq \f(24,25)
解析：选B 由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(3,4)，解得tan α＝－eq \f(1,7)，所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(1,2)＋sin αcs α，又sin αcs α＝eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan α,tan2α＋1)＝－eq \f(7,50)，故eq \f(1,2)＋sin αcs α＝eq \f(9,25).
11．已知m＝eq \f(tanα＋β＋γ,tanα－β＋γ)，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(3,2) D．2
解析：选D 设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin Acs B＋cs Asin B＝3(sin Acs B－cs Asin B)，即2cs Asin B＝sin Acs B，所以tan A＝2tan B，所以m＝eq \f(tan A,tan B)＝2.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccs A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( )
A．2＋eq \r(3) B．2＋eq \r(2)
C．3 D．3＋eq \r(2)
解析：选A 由已知b＋2ccs A＝0，得b＋2c·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋3c2,4ac)≥eq \f(2\r(3)ac,4ac)＝eq \f(\r(3),2)，当且仅当a＝eq \r(3)c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝eq \r(3)c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝eq \r(3).故△ABC的周长为2＋eq \r(3).故选A.
二、填空题
13．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
解析：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝eq \f(1,5)，解得tan α＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
14．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为________海里．
解析：依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝eq \r(AC2＋BC2－2AC·BCcs 120°)＝eq \r(7a2)＝eq \r(7)a.即灯塔A与灯塔B的距离为eq \r(7)a海里．
答案：eq \r(7)a
15．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asin B＝eq \r(3)bcs A，若△ABC的面积S＝4eq \r(3)，则b＋c＝________.
解析：由正弦定理，得sin Asin B＝eq \r(3)sin Bcs A，
又sin B≠0，∴tan A＝eq \r(3)，∴A＝eq \f(π,3).由S＝eq \f(1,2)bc×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)，得bc＝16，
由余弦定理得，16＝b2＋c2－bc，∴c2＋b2＝32，∴b＋c＝8.
答案：8
16.如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－eq \r(3)，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE的长度为________．
解析：易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝eq \f(AB,sin 15°)，在三角形AEC中，eq \f(AC,sin 30°)＝eq \f(CE,sin 45°)⇒CE＝eq \f(ACsin 45°,sin 30°)，
在直角三角形CED中，DE＝CEsin 60°，
所以DE＝CEsin 60°＝eq \f(sin 45°sin 60°,sin 30°)×eq \f(AB,sin 15°)＝eq \f(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2),\f(1,2))×eq \f(3－\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))＝6.
答案：6
B级——难度小题强化练
1．已知sin θ＋cs θ＝2sin α，sin 2θ＝2sin2β，则( )
A．cs β＝2cs α B．cs2β＝2cs2α
C．cs 2β＝2cs 2α D．cs 2β＝－2cs 2α
解析：选C 由同角三角函数的基本关系可得sin2θ＋cs2θ＝1，所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝1＋sin 2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin2β，即4sin2α＝1＋2sin2β.由二倍角公式可得4×eq \f(1－cs 2α,2)＝1＋2×eq \f(1－cs 2β,2)，整理得cs 2β＝2cs 2α.故选C.
2．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
解析：选D 由题意得sin2A0，则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0.因为0eq \f(π,3)，即角A的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).故选D.
3．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
解析：选B 如图，设物体的运动速度为v，则PQ＝v，QR＝2v，因为∠POQ＝90°，∠QOR＝30°，所以∠POR＝120°，P＋R＝60°，所以R＝60°－P.在Rt△OPQ中，OQ＝vsin P．在△OQR中，由正弦定理得OQ＝eq \f(QR·sin R,sin∠ROQ)＝4v·sin R＝4vsin(60°－P)＝2eq \r(3)vcs P－2vsin P．所以有2eq \r(3)vcs P－2vsin P＝vsin P，即2eq \r(3)vcs P＝3vsin P，所以tan P＝eq \f(2\r(3),3)，所以选B.
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2eq \r(3)(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，△ABC的外接圆半径为eq \r(3).则△ABC面积的最大值为( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(9\r(3),8) D.eq \f(9\r(3),4)
解析：选D 由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2eq \r(3)，所以sin A＝eq \f(a,2\r(3))，sin B＝eq \f(b,2\r(3))，sin C＝eq \f(c,2\r(3))，将其代入2eq \r(3)(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，又05．定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.若cs α＝eq \f(1,7)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α sin β,cs α cs β))＝eq \f(3\r(3),14)，0<β<α解析：依题意有sin αcs β－cs αsin β＝sin(α－β)＝eq \f(3\r(3),14)，又0<β<α＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2)，故β＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
6.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝eq \f(π,3)，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围为________．
解析：设∠ACD＝θ，则∠CAD＝eq \f(2π,3)－θ，根据条件及余弦定理计算得AC＝2eq \r(3).在△ACD中，由正弦定理得eq \f(AD,sin θ)＝eq \f(CD,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ)))＝eq \f(2\r(3),sin\f(π,3))＝4，
∴AD＝4sin θ，CD＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))，
∴DA＋DC＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin θ＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))))
＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋\f(\r(3),2)cs θ＋\f(1,2)sin θ))＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)sin θ＋\f(\r(3),2)cs θ))
＝4eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin θ＋\f(1,2)cs θ))＝4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))).
∵△ACD是锐角三角形，
∴θ和eq \f(2π,3)－θ均为锐角，∴θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
∴θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)).
∴DA＋DC＝4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(6，4\r(3))).
答案：(6,4eq \r(3) ]