高考数学二轮复习课时跟踪检测04解三角形大题练（含答案）

课时跟踪检测（四）  解三角形（大题练）

A卷——大题保分练

1．(2018·惠州模拟)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0.

(1)求角C的大小；

(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．

解：(1)∵2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0，∴由正弦定理可得2cos C(sin Acos C＋sin Ccos A)＋sin B＝0.

∴2cos Csin(A＋C)＋sin B＝0，即2cos Csin B＋sin B＝0，

又0°<B<180°，∴sin B≠0，∴cos C＝－，

又0°<C<180°，∴C＝120°.

(2)由余弦定理可得(2)2＝a2＋22－2×2acos 120°＝a2＋2a＋4，

又a>0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝absin C＝，

∴△ABC的面积为.

2．(2018·陕西模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝4，△ABC的面积为，求a＋c的值．

解：(1)∵bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)，

由正弦定理可得，sin Bcos A＝(－2sin C－sin A)cos B.

∴sin(A＋B)＝－2sin Ccos B.

∴sin C＝－2sin Ccos B，

又sin C≠0，

∴cos B＝－，∴B＝.

(2)由S△ABC＝acsin B＝，得ac＝4.

又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.

∴a＋c＝2.

3．(2018·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin－cos＝.

(1)求cos B的值；

(2)若b2－a2＝ac，求的值．

解：(1)将sin－cos＝两边同时平方得，

1－sin B＝，得sin B＝，故cos B＝±，

又sin－cos＝>0，所以sin>cos，

所以∈，所以B∈，

故cos B＝－.

(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋ac，

所以a＝c－2acos B＝c＋a，

所以c＝a，故＝＝.

4．(2018·昆明模拟)在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝150°.

(1)求AB的长；

(2)延长BC至D，使∠ADC＝45°，求△ACD的面积．

解：(1)由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝2.

(2)因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝150°－45°＝105°，由正弦定理＝，得CD＝，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝，所以CD＝3＋，又∠ACD＝180°－∠ACB＝30°，所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝(＋1)．

5．(2019届高三·齐鲁名校联考)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为锐角，且满足2sin(A＋C)＋cos 2B＝4sin Bcos2.

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC的面积S＝，b＝，求△ABC的周长l.

解：(1)由已知得，2sin(π－B)＋cos 2B＝4sin Bcos2，

即2sin B＋cos 2B＝4sin Bcos2，

所以2sin B＋cos 2B＝0，

即－2sin Bcos B＋cos 2B＝0，即sin 2B＝cos 2B，

所以tan 2B＝.因为0<B<，所以0<2B<π，所以2B＝，解得B＝.

(2)由(1)知，B＝.△ABC的面积S＝acsin B＝acsin＝ac＝，整理得ac＝3，①

由b＝及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得()2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac，

整理得a2＋c2－ac＝3，②

将①代入②得，(a＋c)2＝12＋6，即a＋c＝3＋，

故△ABC的周长l＝b＋a＋c＝＋3＋＝3＋2.

B卷——深化提能练

1．(2018·贵州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.

(1)求a；

(2)求AB边上的高CD的长．

解：(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，∴a＝3或a＝－2(舍去)，∴a＝3.

(2)由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得absin∠ACB＝c×CD，∴CD＝＝＝，即AB边上的高CD＝.

2．(2018·河北模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos B＝bcos A.

(1)若sin A＝，a＋b＝10，求a；

(2)若b＝3，a＝5，求△ABC的面积S.

解：∵cos B＝bcos A，

∴由正弦定理得·cos B＝sin Bcos A，即有sin Ccos B＝sin Acos B＋cos Asin B，

则sin Ccos B＝sin C.

∵sin C>0，∴cos B＝.

(1)由cos B＝，得sin B＝，

∵sin A＝，∴＝＝，

又a＋b＝10，解得a＝4.

(2)∵b2＝a2＋c2－2accos B，b＝3，a＝5，

∴45＝25＋c2－8c，

即c2－8c－20＝0，

解得c＝10或c＝－2(舍去)，

∴S＝acsin B＝15.

3．(2018·沈阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos ＝，·＝3.

(1)求△ABC的面积；

(2)若b＋c＝6，求a的值．

解：(1)由·＝3，得bccos A＝3，又cos A＝2cos2－1＝2×2－1＝，∴bc＝5，sin A＝.由sin A＝及S△ABC＝bcsin A，得S△ABC＝2.

(2)由b＋c＝6，得b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝26，∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，∴a＝2.

4．(2019届高三·益阳、湘潭联考)已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.

(1)求角C的大小；

(2)求函数y＝sin A＋sin B的值域．

解：(1)由＝，利用正弦定理可得2sin Acos C－sin Bcos C＝sin Ccos B，

可化为2sin Acos C＝sin(C＋B)＝sin A，

∵sin A≠0，∴cos C＝，

∵C∈，∴C＝.

(2)y＝sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＋sin A＝sin，∵A＋B＝，0<A<，0<B<，∴<A<，∴<A＋<，

∴sin∈，∴y∈.

5.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．

(1)求sin∠CED；

(2)求BE的长．

解：设∠CED＝α.因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.

(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，

由题设知7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．

在△CDE中，由正弦定理得＝ ，于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.

(2)由题设知0<α<，由(1)知cos α＝＝＝，

又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，

所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－cos α＋sin α＝－×＋×＝.

在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.