高考数学二轮复习课时跟踪检测 03三角恒等变换与解三角形小题练（含答案解析）

2020高考数学二轮复习课时跟踪检测03

三角恒等变换与解三角形 小题练

一         、选择题

1.已知cos=sin，则tan α的值为(　　)

A．－1　             B．1          C.            D．－

2.cos 15°－4sin215°cos 15°=(　　)

A.         B.          C．1           D.

3.已知α是第三象限的角，且tan α=2，则sin=(　　)

A．－           B.          C．－           D.

4.已知3cos 2α=4sin，α∈，则sin 2α=(　　)

A.            B．－            C.            D．－

5.已知x∈(0，π)，且cos=sin2x，则tan=(　　)

A.            B．－          C．3           D．－3

6.已知tan=，则cos2=(　　)

A.          B.        C.           D.

7.在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=(　　)

A．4            B.          C.            D．2

8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C=2a＋c，则B=(　　)

A.           B.            C.           D.

9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=(a＋b)2－c2，

则tan C等于(　　)

A.            B.           C．－           D．－

10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2=c2＋ac－bc，

则=(　　)

A.           B.          C.           D.

11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc=1，b＋2ccos A=0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为(　　)

A．2＋           B．2＋      C．3                D．3＋

12.在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，

如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为(　　)

A.        B.          C.         D.

13.在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ的值为(　　)

A.            B.          C.              D.

14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2(sin2A－sin2C)=(a－b)sin B，

△ABC的外接圆半径为.则△ABC面积的最大值为(　　)

A.           B.            C.            D.

二         、填空题

15.已知tan=，则tan α=________.

16.定义运算=ad－bc.若cos α=，=，0<β<α<，则β=________.

17.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为________海里．

18.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a=4，asin B=bcos A，若△ABC的面积S=4，则b＋c=________.

19.如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD=∠EDB=90°，C是BD上一点，AB=3－，∠ACB=15°，

∠ECD=60°，∠EAC =45°，则线段DE的长度为________．

20.如图，在△ABC中，AB=4，BC=2，∠ABC=∠D=，若△ADC是锐角三角形，

则DA＋DC的取值范围为________．

答案解析

1.答案为：B；

解析：由已知得cos α－sin α=sin α－cos α，

整理得sin α=cos α，即sin α=cos α，故tan α=1.

2.答案为：D；

解析：cos 15°－4sin215°cos 15°=cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°

=cos 15°－2sin 15°·sin 30°=cos 15°－sin 15°=2cos(15°＋30°)

=2cos 45°=.故选D.

3.答案为：C；

解析：因为α是第三象限的角，tan α=2，且

所以cos α=－ =－，sin α=－，

则sin=sin αcos＋cos αsin=－×－×=－，选C.

4.答案为：D；

解析：由题意知3(cos2α－sin2α)=2(cos α－sin α)，由于α∈，

因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)=2，那么9(1＋sin 2α)=8，sin 2α=－.

5.答案为：A；

解析：由cos=sin2x得sin 2x=sin2x，∵x∈(0，π)，∴tan x=2，

∴tan==.

6.答案为：B；

解析：由tan==，解得tan α=－，

所以cos2===＋sin αcos α，

又sin αcos α===－，故＋sin αcos α=.

7.答案为：A；

解析：∵cos=，∴cos C=2cos2－1=2×2－1=－.在△ABC中，由余弦定理，

得AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cos C=52＋12－2×5×1×=32，∴AB=4.

8.答案为：D；

解析：因为2bcos C=2a＋c，所以由正弦定理可得2sin Bcos C=2sin A＋sin C

=2sin(B＋C)＋sin C=2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin C，即2cos Bsin C=－sin C，

又sin C≠0，所以cos B=－，又0<B<π，所以B=，故选D.

9.答案为：C；

解析：因为2S=(a＋b)2－c2=a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，

得absin C=2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C=2，

所以(sin C－2cos C)2=4，=4，

所以=4，解得tan C=－或tan C=0(舍去)．

10.答案为：B；

解析：由a，b，c成等比数列得b2=ac，则有a2=c2＋b2－bc，

由余弦定理得cos A===，故A=.

对于b2=ac，由正弦定理，得sin2B=sin Asin C=·sin C，由正弦定理，

得===.故选B.

11.答案为：A；

解析：由已知b＋2ccos A=0，得b＋2c·=0，整理得2b2=a2－c2.

由余弦定理，得cos B==≥=，

当且仅当a=c时等号成立，此时角B取得最大值，将a=c代入2b2=a2－c2可得b=c.

又bc=1，所以b=c=1，a=.故△ABC的周长为2＋.故选A.

12.答案为：D；

解析：由题意得sin2A<sin2B＋sin2C，由正弦定理得a2<b2＋c2，即b2＋c2－a2>0，

则cos A=>0.因为0<A<π，所以0<A<，又a是最大边，所以A>，

即角A的取值范围为.故选D.

13.答案为：B；

解析：如图，设物体的运动速度为v，则PQ=v，QR=2v，因为∠POQ=90°，∠QOR=30°，

所以∠POR=120°，P＋R=60°，所以R=60°－P.在Rt△OPQ中，OQ=vsin P．

在△OQR中，由正弦定理得OQ==4v·sin R=4vsin(60°－P)=2vcos P－2vsin P．

所以有2vcos P－2vsin P=vsin P，即2vcos P=3vsin P，所以tan P=，所以选B.

14.答案为：D；

解析：由正弦定理，得===2，

所以sin A=，sin B=，sin C=，将其代入2(sin2A－sin2C)=(a－b)sin B，

得a2＋b2－c2=ab，由余弦定理，得cos C==，

又0<C<π，所以C=.

于是S△ABC=absin C=×2sin A×2sin B×sin=3sin Asin B

=[cos(A－B)－cos(A＋B)]=[cos(A－B)＋cos C]=cos(A－B)＋.

当A=B=时，S△ABC取得最大值，最大值为，故选D.

15.答案为：1.5；

解析：tan=tan==，解得tan α=.

16.答案为：；

解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β=sin(α－β)=，

又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)==，

而cos α=，∴sin α=，

于是sin β=sin[α－(α－β)]=sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

=×－×=，故β=.

17.答案为：a；

解析：依题意知∠ACB=180°－20°－40°=120°，在△ABC中，

由余弦定理知AB===a.

即灯塔A与灯塔B的距离为a海里．

18.答案为：8；

解析：由正弦定理，得sin Asin B=sin Bcos A，

又sin B≠0，∴tan A=，∴A=.

由S=bc×=4，得bc=16，由余弦定理得，16=b2＋c2－bc，∴c2＋b2=32，∴b＋c=8.

19.答案为：6；

解析：易知∠ACE=105°，∠AEC=30°，在直角三角形ABC中，AC=，

在三角形AEC中，=⇒CE=，

在直角三角形CED中，DE=CEsin 60°，

所以DE=CEsin 60°=×=×=6.

20.答案为：(6,4 ]；

解析：设∠ACD=θ，则∠CAD=－θ，根据条件及余弦定理计算得AC=2.在△ACD中，

由正弦定理得===4，∴AD=4sin θ，CD=4sin，

∴DA＋DC=4

=4=4

=4=4sin.

∵△ACD是锐角三角形，∴θ和－θ均为锐角，∴θ∈，

∴θ＋∈，∴sin∈.

∴DA＋DC=4sin∈.