中考数学专题18 相交线与平行线（学案含解析）

这是一份中考数学专题18 相交线与平行线（学案含解析），共73页。

中考数学一轮复习学案
18 相交线与平行线

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
点、线、面、角
①通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、角；②会比较角的大小，会计算角度的和与差，会进行简单的角度换算；③了解补角、余角的概念，知道等角的余角相等、等角的补角相等．
常以选择题、填空题的形式考查点、线、面、角、余角、补角的概念和等角的余角相等、等角的补角相等的性质．
2
相交线与平行线
①了解对顶角的概念，知道对顶角相等；②了解垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，了解垂线段最短的性质；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；③知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会过已知直线外一点画这条直线的平行线；④理解平行线的性质定理和判定定理，并能进行有关的计算与论证．
常以选择题、填空题的形式考查对顶角、垂线的概念、性质以及平行线的性质和判定．

知识点1：点、线、面、角


知识点梳理

1．点动成线、线动成面、面动成体．
2．角：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作由一条 射线 绕着它的端点旋转而形成的图形．
3． 度分秒的换算： 1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°． 1°= 60 '，1'= 60 ″ ．
4．量角器的使用：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数．
5. 两角间的关系：
（1）余角：如果两个角的和等于 90° ，就说这两个角互为余角． 同角 或 等角 的余角相等．
（2）补角：如果两个角的和等于 180° ，就说这两个角互为补角． 同角 或 等角 的补角相等．
6. 角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
典型例题

【例1】（2022•柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）

A． B． C． D．
【考点】认识立体图形
【分析】根据“面动成体”进行判断即可．
【解答】解：将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到圆柱体，
故选：B．
【点评】本题考查认识立体图形，理解“面动成体”是正确判断的前提．
【例2】（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】认识立体图形
【分析】简单几何体的识别．
【解答】解：A是圆柱；
B是圆锥；
C是三棱锥，也叫四面体；
D是球体，简称球；
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键．
【例3】（2022•盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A．强 B．富 C．美 D．高
【考点】几何体的展开图
【分析】正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点进行作答．
【解答】解：正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，
“盐”与“高”是相对面，
“城”与“富”是相对面，
“强”与“美”是相对面，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，关键在于要注意正方体的空间图形，从相对面入手解答问题．
【例4】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟14/26）74°19′30″= °．
【考点】度分秒的换算
【分析】先将30″化成“分”，再将19.5′化成“度”即可．
【解答】解：，
19′+0.5′=19.5′，
，
74°+0.325°=74.325°，
故答案为：74.325．
【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是得出正确答案的前提．
【例5】（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°
【考点】对顶角、邻补角
【分析】根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题关键．
【例6】（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．

【考点】方向角
【分析】根据题意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：

由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC＋∠BPC＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
【例7】（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【考点】余角和补角
【分析】根据互余两角之和为90°计算即可．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠A的余角为：90°－40°＝50°，
故选：A．
【点评】本题考查的是余角的定义，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．
【例8】（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝ °．
【考点】余角和补角
【分析】根据补角的定义即可得出答案．
【解答】解：∵∠A的补角为60°，
∴∠A＝180°－60°＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角是解题的关键．
知识点2： 直线、射线和线段


知识点梳理

1．直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．
2. 射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．
3. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两个点叫做线段的端点．
4．线段的和差：如下图，在线段AC上取一点B，则有：AB+ BC =AC；
AB= AC -BC；BC=AC- AB ． 

5．线段的中点：如下图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．几何语言：AM=MB=AB．

6. 直线的性质：
（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）．
（2）过一点的直线有无数条．
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．
（4）直线上有无穷多个点．
（5）两条不同的直线至多有一个公共点．
7. 线段的性质：
（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短．也可简单说成：两点之间线段最短．
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的中点到两端点的距离相等．
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．
典型例题

【例9】（3分）（2021•河北1/26）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（　　）

A．a B．b C．c D．d
【考点】直线、射线、线段．
【分析】利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论．
【解答】解：利用直尺画出图形如下：

可以看出线段a与m在一条直线上．
故答案为：a．
故选：A．
【点评】本题主要考查了线段，射线，直线，利用直尺动手画出图形是解题的关键．
【例10】（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【考点】线段的性质：两点之间线段最短
【分析】应用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质进行求解是解决本题的关键．
【例11】（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝ cm．

【考点】两点间的距离
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4 cm．
【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4 cm，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
【例12】（3分）（2021•包头3/26）已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【考点】两点间的距离
【分析】根据题意可分为两种情况，①点C在线段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案；②BC在线段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案．
【解答】解：根据题意分两种情况，
①如图1：

∵AB=4，BC=2，
∴AC=AB-BC=2，
∵D是线段AC的中点，
∴；
②如图2：

∵AB=4，BC=2，
∴AC=AB+BC=6，
∵D是线段AC的中点，
∴．
∴线段AD的长为1或3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并进行分情况进行计算是解决本题的关键．
知识点3： 相交线


知识点梳理

1. 相交线中的角:
（1）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．
（2）邻补角互补，对顶角相等．
（3）直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角（三线八角）．其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并且在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角．

2. 垂线：
（1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
（2）垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段 的长度，叫做点到直线的距离．如下图，点P与直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度． 

4. 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．如下图，若l⊥AB，OA=OB，则AP=BP．

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
5. 角平分线的性质定理及逆定理：
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：如下图，
逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何语言：如下图，

典型例题

【例13】（2022•桂林）如图，直线l1，l2相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝ °．

【考点】对顶角、邻补角
【分析】根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：∵∠1和∠2是一对顶角，
∴∠2＝∠1＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．
【例14】（2022•苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）

A．25° B．30° C．40° D．50°
【考点】对顶角、邻补角
【分析】先求出∠BOD的度数，再根据角的和差关系得结论．
【解答】解：∵∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°．
∵∠1＝25°，∠1＋∠2＝∠BOD，
∴∠2＝∠BOD－∠1＝75°－25°＝50°．
故选：D．

【点评】本题考查了角的和差关系，掌握“对顶角相等”是解决本题的关键．
【例15】（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【考点】垂线；角的计算
【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：

根据图形可以看出OB是反射光线，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的性质，垂线的画法，根据直线的性质补全光线是解题的关键．
【例16】（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）

A．26° B．36° C．44° D． 54°
【考点】对顶角、邻补角；垂线
【分析】首先利用垂直的定义得到∠COE＝90°，然后利用平角的定义即可求解．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1＋∠COE＋∠2＝180°，
∴∠2＝180°－∠1－∠COE＝180°－54°－90°＝36°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂直的定义和平角的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
【例17】（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）

A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；
两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
【例18】（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）

A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；
B、∠1和∠3是同位角，故B正确；
C、∠2和∠3是内错角，故C错误；
D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．
故选：B．
【点评】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
【例19】（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）

A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线段最短；平行公理及推论；平行线的性质
【分析】根据生活经验结合数学原理解答即可．
【解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．
【例20】（2分）（2021•河北12/26）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）

A．0 B．5 C．6 D．7
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，

∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2＞P1P2，
P1P2＜5.6，
故选：B．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．
【例21】（3分）（2021•青海5/25）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【考点】角平分线的性质．
【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【例22】（10分）（2021•赤峰20/26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB．

【考点】作图—基本作图
【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线；
（2）证明△ACE≌△ADE得到∠ADE＝∠C＝90°，从而得到DE⊥AB．
【解答】（1）解：如图，AE为所作；

（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠DAE，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴DE⊥AB．
【点评】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质．
知识点4：平行线


知识点梳理

1. 平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．
2. 平行线公理及其推论：
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
3. 平行线的判定：
平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．
平行线的两条判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．
4. 平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等．
（2）两直线平行，内错角相等．
（3）两直线平行，同旁内角互补．
5. 两平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 ，叫做这两条平行线之间的距离．（2）性质：两条平行线之间的距离处处 相等 ．
典型例题

【例23】（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（ ）

A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
【考点】平行线的判定
【分析】由平行的判定求解．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定方法．
【例24】（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（ ）

A．137° B．53° C．47° D．43°
【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，
∴∠2＝∠1＝43°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
【例25】（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）

A．30° B．40° C．50° D．70°
【考点】垂线；平行线的性质
【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．
【解答】解：如图所示，

∵直线a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝130°，
∴∠DAC＝130°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC－∠BAC＝130°－90°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度数．
【例26】（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）

A．∠3＝∠4 B．∠1＋∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
【考点】平行线的判定与性质
【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．
【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
B、若∠1＋∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；
D、由a∥b推知∠4＋∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1＋∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
【例27】（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．

【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD；
（2）根据角平分线的定义求出∠DAE，根据平行线的性质求出∠AEB，得到∠AEB＝∠BCD，根据平行线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
知识点5： 命题、定理、证明


知识点梳理

1. 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．
2. 命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题．
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题．
3．互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题，如果我们把其中一个命题称为　　原命题　　，那么另一个命题就是这个原命题的　逆命题　 ．
4. 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理．
5. 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．
6. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也可以称为原定理的 逆定理 ，一个定理和它的逆定理是互逆定理．
7. 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．
典型例题

【例28】（2022•上海）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
【考点】命题与定理
【分析】根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
【例29】（2022•盘锦）下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
【考点】命题与定理
【分析】由平行公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到答案．
【解答】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；
B、负数的立方根是负数；故B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D、五边形的外角和是360°，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
【例30】（2022•湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是 ．
【考点】命题与定理
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|，
故答案为：如果a＝b，那么|a|＝|b|．
【点评】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
巩固训练

1．（2022•河北）①④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择　　

A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
2．（2022•自贡）如图，将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）

A． B．
C． D．
3．（2022•广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是　　

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
4．（2022•常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是　　
A． B．
C． D．
5．（2022•临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能是　　

A． B．
C． D．
6．（2022•绥化）下列图形中，正方体展开图错误的是　　

A． B．
C． D．
7．（2022•泰州）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是　　

A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥
8．（2022•岳阳）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是　　

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
9．（2022•宿迁）下列展开图中，是正方体展开图的是　　
A． B．
C． D．
10．（2022•台湾）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？　　

A．144 B．224 C．264 D．300
11．（2022•广元）如图是某几何体的展开图，该几何体是　　

A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
12．（2022•新疆）如图是某几何体的展开图，该几何体是　　

A．长方体 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
13．（2022•六盘水）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是　　

A．① B．② C．③ D．④
14．（2022•淄博）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是　　
A． B．
C． D．
15．（2022•徐州）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是　　

A． B．
C． D．
16．（2022•恩施州）如图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是　　

A．“恩” B．“乡” C．“村” D．“兴”
17．（2022•河南）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是　　

A．合 B．同 C．心 D．人
18．（2022•贵阳）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是　　

A． B．
C． D．
19．（2022•烟台）如图，某海域中有，，三个小岛，其中在的南偏西方向，在的南偏东方向，且，到的距离相等，则小岛相对于小岛的方向是（ ）

A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西
20．（2022•自贡）如图，直线、相交于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
21．（2022•台州）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是　　

A． B． C． D．
22．（2022•内蒙古）如图，直线，截线，相交成角，，则的度数是　　

A． B． C． D．
23．（2022•东营）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线相交，，则　　

A． B． C． D．
24．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是　　

A． B． C． D．
25．（2022•襄阳）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点，分别落在直线，上．若．则的度数为　　

A． B． C． D．
26．（2022•菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿折叠，已知，则　　

A． B． C． D．
27．（2022•锦州）如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
28．（2022•济南）如图，，点在上，平分，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
29．（2022•丹东）如图，直线，直线与，分别交于，两点，过点作，垂足为，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
30．（2022•南通）如图，，，，则的度数是　　

A． B． C． D．
31．（2022•西藏）如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
32．（2022•兰州）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则　　

A． B． C． D．
33．（2022•盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是　　

A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
34．（2022•新疆）如图，与相交于点，若，，则（ ）

A． B． C． D．
35．（2022•通辽）下列命题：
①
②数据1，3，3，5的方差为2
③因式分解
④平分弦的直径垂直于弦
⑤若使代数式在实数范围内有意义，则
其中假命题的个数是　　
A．1 B．3 C．2 D．4
36．（2022•呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价元个，因原材料涨价，面包价格上涨，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了元；②等边三角形中，是边上一点，是边上一点，若，则；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
37．（2022•绥化）下列命题中是假命题的是　　
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
38．（2022•梧州）下列命题中，假命题是　　
A．的绝对值是
B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．如果直线，，那么直线
39．（2022•无锡）下列命题中，是真命题的有　　
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
40．（2022•岳阳）下列命题是真命题的是　　
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
41．（2022•台州）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是　　

A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
42．（2022•衡阳）下列命题为假命题的是　　
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
43．（2022•常德）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 ．

44．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么的大小为 ．

45．（2022•湘潭）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ．

46．（2022•玉林）已知：，则的余角是 ．
47．（2022•西藏）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；
（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交直线于点．已知线段，，则点到射线的距离为 ．

48．（2022•阜新）一副三角板如图摆放，直线，则的度数是 ．

49．（2022•镇江）一副三角板如图放置，，，，则 ．

50．（2022•枣庄）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为 ．

51．（2022•济宁）如图，直线，，被直线所截，若，，，则的度数是 ．

52．（2022•湘西州）如图，直线，点、分别在直线、上，，若，则的度数为 ．

53．（2022•绵阳）两个三角形如图摆放，其中，，，，与交于点，若，则的大小为 ．

54．（2022•张家界）如图，已知直线，，，则 ．

55．（2022•宜昌）如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是 ．

56．（2022•湖北）如图，直线，直线与直线，相交，若，则 　度．

57．（2022•眉山）如图，已知，，则的度数为 ．

58．（2022•乐山）如图，已知直线，，．则 ．

59．（2022•扬州）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 ．

60．（2022•无锡）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
61．（2022•福建）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为，令，
等式两边都乘以，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减，得．⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
62．（2022•广安）如图，点是外一点，连接、，与交于点．下列三个等式：①②③．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知： ， ．
求证： ．

巩固训练解析

1．（2022•河北）①④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择　　

A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【考点】认识立体图形
【分析】根据组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成直接判断即可．
【解答】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成，
①④符合要求，
故选：．
【点评】本题主要考查立体图形的拼搭，根据组合后的几何体形状做出判断是解题的关键．
2．（2022•自贡）如图，将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）

A． B．
C． D．
【考点】认识立体图形
【分析】将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，可知上面和下面都是平面，所以得到的立体图形是圆体．
【解答】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，
将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆柱．
故选：．
【点评】本题考查生活中的立体图形，理解“点动成线，线动成面，面动成体”，是正确判断的前提．
3．（2022•广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是　　

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱
【考点】几何体的展开图
【分析】根据基本几何体的展开图判断即可．
【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，
判断这个几何体是圆锥，
故选：．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
4．（2022•常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是　　
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以得到圆柱的侧面展开图的是长方形．
【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：．
【点评】本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是长方形．
5．（2022•临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能是　　

A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据题意和各个选项中的图形，可以判断哪个图形不可能是三棱柱的展开图．
【解答】解：如图所示的三棱柱的展开图不可能是
，
故选：．
【点评】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（2022•绥化）下列图形中，正方体展开图错误的是　　

A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．
【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故选项都不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查正方体展开图的知识，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．
7．（2022•泰州）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是　　

A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥
【考点】几何体的展开图
【分析】根据展开图直接判断即可．
【解答】解：根据展开图可以得出是四棱锥的展开图，
故选：．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
8．（2022•岳阳）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是　　

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【考点】几何体的展开图
【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
【解答】解：选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握棱柱的底面是边形是解题的关键．
9．（2022•宿迁）下列展开图中，是正方体展开图的是　　
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．
【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故选项和选项都不符合题意；
四个连成一排的小正方形可以围成前后左右四面，剩下的两面必须分在上下两面才能围成正方体，
故选项不符合题意，选项符合题意，
故选：．
【点评】本题主要考查正方体展开图的知识，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键．
10．（2022•台湾）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为何？　　

A．144 B．224 C．264 D．300
【考点】几何体的展开图
【分析】根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可．
【解答】解：设展开图的长方形的长为，宽为，
，，
解得，，
长方体的体积为：，
故选：．
【点评】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2022•广元）如图是某几何体的展开图，该几何体是　　

A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【考点】几何体的展开图
【分析】根据由两个圆和一个长方形可以围成圆柱得出结论即可．
【解答】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱，
故选：．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
12．（2022•新疆）如图是某几何体的展开图，该几何体是　　

A．长方体 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
【考点】几何体的展开图
【分析】根据展开图直接判断该几何体是圆锥即可．
【解答】解：根据展开图得该几何体是圆锥，
故选：．
【点评】本题主要考查几何题的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
13．（2022•六盘水）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是　　

A．① B．② C．③ D．④
【考点】展开图折叠成几何体
【分析】根据正方体的表面展开图，即可解答．
【解答】解：如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是①，
故选：．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．
14．（2022•淄博）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是　　
A． B．
C． D．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，“”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，故不符合题意；
、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，故不符合题意；
、因为金与题是相对面，榜与名是相对面，所以正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语金榜题名，故符合题意；
、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
15．（2022•徐州）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是　　

A． B．
C． D．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
、1点6点是相对面，3点与5点是相对面，2点与4点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；
、4点与3点是相对面，2点与6点是相对面，1点与5点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；
、3点与4点是相对面，2点与6点是相对面，1点与5点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；
、2点与5点是相对面，3点与4点是相对面，1点与6点是相对面，所以可以折成符合规则的骰子，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
16．（2022•恩施州）如图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是　　

A．“恩” B．“乡” C．“村” D．“兴”
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，
“振”与“兴”是对面，
故选：．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
17．（2022•河南）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是　　

A．合 B．同 C．心 D．人
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
【解答】解：在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是人，
故选：．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
18．（2022•贵阳）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是　　

A． B．
C． D．
【考点】截一个几何体
【分析】根据用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆即可得出答案．
【解答】解：用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆，
故选：．
【点评】本题考查了截一个几何体，掌握用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是圆是解题的关键．
19．（2022•烟台）如图，某海域中有，，三个小岛，其中在的南偏西方向，在的南偏东方向，且，到的距离相等，则小岛相对于小岛的方向是（ ）

A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西
【考点】方向角；等腰三角形的性质
【分析】根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答．
【解答】解：如图：

由题意得：
，，，
，
，
，
，
，
小岛相对于小岛的方向是北偏东，
故选：．
【点评】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．（2022•自贡）如图，直线、相交于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【考点】对顶角、邻补角
【分析】根据对顶角相等可得．
【解答】解：，与是对顶角，
．
故选：．
【点评】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．
21．（2022•台州）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的判定
【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
【解答】解：．由不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
．由，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；
．，，
，
两条铁轨平行，故该选项符合题意；
．由不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
22．（2022•内蒙古）如图，直线，截线，相交成角，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【考点】度分秒的换算；平行线的性质；三角形的外角性质
【分析】由邻补角的定义可求得，再由平行线的性质可得，利用三角形的外角性质即可求．
【解答】解：如图，

，
，
，
，
，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
23．（2022•东营）如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线相交，，则　　

A． B． C． D．
【考点】余角和补角；相交线；平行线的性质
【分析】先由已知直角三角板得，然后由，求出的度数，再由直线，根据平行线的性质，得出．
【解答】解：如图：

，，，
，
直线，
．
故选：．
【点评】此题考查了平行线性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质：两直线平行，同位角相等．
24．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
【分析】如图，易知三角板的为直角，直尺的两条边平行，则可得的对顶角和的同位角互为余角，即可求解．
【解答】解：如图，根据题意可知为直角，直尺的两条边平行，

，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
25．（2022•襄阳）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点，分别落在直线，上．若．则的度数为　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质求得，再根据角的和差关系求得结果．
【解答】解：，，

，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
26．（2022•菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿折叠，已知，则　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；矩形的性质
【分析】先根据折叠的性质可得出，再根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，最后根据周角是可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：，
矩形纸片的对边平行，即，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质和翻折变换的知识．熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
27．（2022•锦州）如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质
【分析】根据平行线的性质可得，则有，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解答】解：如图，

，，
，
，

；
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
28．（2022•济南）如图，，点在上，平分，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【考点】角平分线的定义；平行线的性质
【分析】根据平行线的性质，由，得．根据角平分线的定义，得平分，那么，进而求得．
【解答】解：，
．
平分，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
29．（2022•丹东）如图，直线，直线与，分别交于，两点，过点作，垂足为，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【考点】垂线；平行线的性质；三角形内角和定理
【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：直线，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
30．（2022•南通）如图，，，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质
【分析】根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：

，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
31．（2022•西藏）如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质定理求解即可．
【解答】解：，
，
，，
，
故选：．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
32．（2022•兰州）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质；垂线
【分析】根据平行线的性质可得，根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
33．（2022•盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是　　

A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
【考点】平行线的性质
【分析】利用平行线的性质可得出答案．
【解答】解：如图，

过点作，
，
，
，，
，

和互余，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
34．（2022•新疆）如图，与相交于点，若，，则（ ）

A． B． C． D．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】根据，得出，即可得出．
【解答】解：，
，
又，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
35．（2022•通辽）下列命题：
①
②数据1，3，3，5的方差为2
③因式分解
④平分弦的直径垂直于弦
⑤若使代数式在实数范围内有意义，则
其中假命题的个数是　　
A．1 B．3 C．2 D．4
【考点】幂的乘方与积的乘方；二次根式有意义的条件；垂径定理；命题与定理；方差
【分析】利用幂的运算性质、方差的计算公式、因式分解的方法、垂径定理及二次根式有意义的条件分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①，故原命题错误，是假命题，符合题意；
②数据1，3，3，5的方差为2，故原命题正确，是真命题，不符合题意；
③因式分解，正确，是真命题，不符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，符合题意；
⑤若使代数式在实数范围内有意义，则，正确，是真命题，不符合题意，
假命题有2个，
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解幂的运算性质、方差的计算公式、因式分解的方法、垂径定理及二次根式有意义的条件等知识，难度不大．
36．（2022•呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价元个，因原材料涨价，面包价格上涨，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了元；②等边三角形中，是边上一点，是边上一点，若，则；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理
【分析】（1）列代数式求解；
（2）利用三角形内角和及外角关系定理求解；
（3）利用三角形全等进行判断；
（4）利用作差比较代数式的大小．
【解答】解：（1）根据题意得：，故①是正确的；
（2）如图：
设，则，

，
．
．
故②是错误的．
（3）如图：为的中点，两边为，；

把中线延长加倍，得，
所以，所以与对应三角形全等，得和与对应角相等，进而转化为与对应角相等再根据两边及夹角相等，两个三角形全等，
故③是正确的．
（4）设该列自然数为，则新数为，则，
，
原数与对应新数的差是先变大，再变小．
故④是错误的．
故选：．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理及正确计算．
37．（2022•绥化）下列命题中是假命题的是　　
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【考点】命题与定理
【分析】由三角形中位线定理，邻补角定义，切线长定理，直角三角形性质逐项判断即可．
【解答】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，故是真命题，不符合题意；
如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补，故是假命题，符合题意；
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，故是真命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故是真命题，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
38．（2022•梧州）下列命题中，假命题是　　
A．的绝对值是
B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．如果直线，，那么直线
【考点】命题与定理
【分析】根据绝对值，中心对称等概念和相交线、平行线的相关定理逐项判断．
【解答】解：的绝对值是2，故是假命题，符合题意；
对顶角相等，故是真命题，不符合题意；
平行四边形是中心对称图形，故是真命题，不符合题意；
如果直线，，那么直线，故是真命题，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握绝对值、中心对称等概念和相交线、平行线的相关定理．
39．（2022•无锡）下列命题中，是真命题的有　　
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【考点】命题与定理
【分析】直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
故选：．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
40．（2022•岳阳）下列命题是真命题的是　　
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【考点】对顶角、邻补角；全等三角形的判定；平行四边形的性质；三角形的内切圆与内心；命题与定理
【分析】根据对顶角性质判断，根据平行四边形的性质判断，根据三角形的内心定义判断，根据全等三角形的判定定理判断．
【解答】解：．对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项符合题意；
．菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故选项不符合题意；
．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故选项不符合题意；
．三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．
41．（2022•台州）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是　　

A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【考点】命题与定理
【分析】根据等腰三角形性质逐项判断即可．
【解答】解：若，，则是中点，
是的垂直平分线，
，
故选项是真命题，不符合题意；
，即，
又，
是的垂直平分线，
，
故选项是真命题，不符合题意；
若，，则，是中点，
是的垂直平分线，
，
故选项是真命题，不符合题意；
若，，不能得到，故选项是假命题，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握等腰三角形的“三线合一”定理．
42．（2022•衡阳）下列命题为假命题的是　　
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【考点】命题与定理
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．
【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故是真命题，不符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故是假命题，符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故是真命题，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
43．（2022•常德）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 ．

【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】根据图形，可以直接写出“神”字对面的字．
【解答】解：由图可得，
“神”字对面的字是“月”，
故答案为：月．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
44．（2022•百色）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么的大小为 ．

【考点】角的计算
【分析】根据三角形外角定理进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
．
故答案为：135．
【点评】本题主要考查了角的计算，熟练掌握角的计算方法进行求解是解决本题的关键．
45．（2022•湘潭）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ．

【考点】角的计算
【分析】根据平面镜反射的规律得到，，在中，根据三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数．
【解答】解：一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，
，，
在中，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了角的计算，根据平面镜反射的规律得到，是解题的关键．
46．（2022•玉林）已知：，则的余角是 ．
【考点】余角和补角
【分析】根据如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角即可得出答案．
【解答】解：，
故答案为：30．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角是解题的关键．
47．（2022•西藏）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；
（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交直线于点．已知线段，，则点到射线的距离为 ．

【考点】点到直线的距离；作图—基本作图
【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可．
【解答】解：如图所示：

根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，
，，
，，
，
在中，，
即，
，
是的平分线，，
点到射线的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题．
48．（2022•阜新）一副三角板如图摆放，直线，则的度数是 ．

【考点】平行线的性质
【分析】根据题意可得：，，，然后利用平行线的性质可得，从而进行计算即可解答．
【解答】解：如图：

由题意得：
，，，
，
，


，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
49．（2022•镇江）一副三角板如图放置，，，，则 ．

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【分析】利用平行和对顶角相等求出，根据三角形内角和求出，根据外角性质求出．
【解答】解：如图，设交于点，

，
，
，
，
．
故答案为：105．
【点评】本题考查平行线的性质、对顶角和三角形内角和定理，熟练运用平行线的性质是关键．
50．（2022•枣庄）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为 ．

【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质知，结合图形求得的度数．
【解答】解：，
．
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
51．（2022•济宁）如图，直线，，被直线所截，若，，，则的度数是 ．

【考点】角的计算；平行线的性质
【分析】由平行线性质即可解答．
【解答】解：如图：

，，
，
，
；
故答案为：．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行的传递性和平行线的性质．
52．（2022•湘西州）如图，直线，点、分别在直线、上，，若，则的度数为 ．

【考点】垂线；平行线的性质
【分析】利用平行线的性质定理和垂直的意义解答即可．
【解答】解：如图，

，
，
，
．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
53．（2022•绵阳）两个三角形如图摆放，其中，，，，与交于点，若，则的大小为 ．

【考点】三角形内角和定理；平行线的性质
【分析】延长交的延长线于点，利用三角形内角和定理可得求出，的度数，再利用平行线的性质可求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：延长交的延长线于点，

，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
54．（2022•张家界）如图，已知直线，，，则 ．

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
【分析】由平行线的性质可得，再由对顶角相等得，，再由三角形的内角和即可求解．
【解答】解：如图，

，，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
55．（2022•宜昌）如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是 ．

【考点】方向角；平行线的性质
【分析】过点作，根据平行线的性质，求得与，再由角的和差可得答案．
【解答】解：过点作，如图，

，
，
，，
，
由岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，得
，．
，
故答案为：．
【点评】本题考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质得出得出，是解题关键．
56．（2022•湖北）如图，直线，直线与直线，相交，若，则 　度．

【考点】平行线的性质
【分析】根据两直线平行，同位角相等和邻补角的定义解答即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：126．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及邻补角互补的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
57．（2022•眉山）如图，已知，，则的度数为 ．

【考点】平行线的性质
【分析】根据题意，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知，再借助与为对顶角即可确定的度数．
【解答】解：如下图，

，，
，
与为对顶角，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了对顶角的性质和平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
58．（2022•乐山）如图，已知直线，，．则 ．

【考点】余角和补角；平行线的性质
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在中，，，
则，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线的性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键．
59．（2022•扬州）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 ．

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
【分析】由直角三角形的性质得出，，由平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
故答案为：105．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
60．（2022•无锡）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
【考点】命题与定理
【分析】交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题．
【解答】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”．
故答案为：如果，那么．
【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的逆命题．
61．（2022•福建）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为，令，
等式两边都乘以，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减，得．⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
【考点】推理与论证
【分析】根据等式的基本性质和分解因式判断每一步的依据，再进行判断即可．
【解答】解：设任意一个实数为，令，
等式两边都乘以，得．①依据为等式的基本性质2；
等式两边都减，得．②依据为等式的基本性质1；
等式两边分别分解因式，得．③依据为分解因式；
等式两边都除以，得．④依据为等式的基本性质2；但是用法出错，
题干中给出的条件是，所以，不能直接除．
故答案为：④．
【点评】本题主要考查等式的基本性质，推理与论证，掌握等式的基本性质是解题关键．
62．（2022•广安）如图，点是外一点，连接、，与交于点．下列三个等式：①②③．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知： ， ．
求证： ．

【考点】命题与定理
【分析】先组成一个真命题，利用三角形全等的判定求解．
【解答】解：答案不唯一．
，．
又，
，
．
【点评】本题考查真假命题，及全等三角形的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型